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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.3
正切函数的性质与图象
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解正切函数的周期性、单调性.
2.掌握正切函数的性质及其应用.
1.直观想象—会画正切函数的图象,能利用图象求解相关问题.
2.数学运算—能利用正切函数的性质求解相关问题.
要点一
周期性
由诱导公式
,
,且
，
可知,正切函数是①
,周期是②
.
要点二
奇偶性
由诱导公式
,且
可知,正切函数是③
.
要点三
正切曲线
正切函数
，
的图象,我们把它叫做④
.
要点四
单调性
正切函数在每一个区间
上都⑤
.
要点五
值域
正切函数的值域是⑥
.
自主思考
1.
与
有什么关系?
2.正切曲线与直线
有公共点吗?
3.观察正切曲线，正切函数值是有界的吗?
名师点睛
1.一般地,函数
的最小正周期为
,常常利用此公式来求周期.
2.画正切函数
的简图时取的三个关键点为
,两条平行线为
.
3.正切函数
（
,且
）的图象与性质如表所示：
解析式
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
奇
对称中心
单调性
在开区间
内都是增函数
互动探究·关键能力
探究点一
正切（型）函数的定义域、值域
精讲精练
例
求下列函数的定义域和值域.
（1）
（2）
.
2.求正切型函数
的定义域时,要将“
”视为一个整体.令
,求解
.
迁移应用
1.求函数
的定义域和值域.
探究点二
正切（型）函数的相关性质
精讲精练
类型1
周期性
例1
分别求下列函数的最小正周期.
（1）
;
（2）
.
解题感悟
求函数
的周期的三种方法：
（1）定义法：由恒等式
确定周期
;
（2）公式法：由
计算;
（3）图象法：画出函数图象,确定基本单位,求最小正周期.
类型2
奇偶性
例2
判断下列函数的奇偶性.
（1）
;
（2）
.
解题感悟
与正切函数有关的函数的奇偶性问题的解决策略
判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断
与
的关系.
类型3
图象的对称性
例3
函数
图象的一个对称中心是(
)
A.(0,0)
B.
C.
D.
解题感悟
正切函数图象的对称中心是
,不存在对称轴.
迁移应用
1.函数
图象的对称中心为
.
2.求下列函数的最小正周期.
（1）
;
（2）
.
3.判断函数
的奇偶性.
探究点三
正切（型）函数的单调性
精讲精练
类型1
正切（型）函数的单调区间
例1
求函数
的单调区间.
解题感悟
求函数
(
且
都是常数)的单调区间的方法：
（1）若
,由于
在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令
,求
的取值范围即可.
（2）若
,可先利用诱导公式先把
转化为
即把
的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求
的取值范围即可.
类型2
利用正切函数的单调性比较大小
例2
利用正切函数的单调性,比较
与
的大小.
解题感悟
运用正切函数的单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;
（2）运用单调性比较函数值的大小.
迁移应用
1.函数
的单调递增区间是
.
2.比较大小：
和
.
评价检测·素养提升
1.与函数
的图象不相交的一条直线是(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
的最小正周期是(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数
的值域为(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列各式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
的最小正周期
满足
,求正整数
的值,并写出
的奇偶性、单调区间.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020山西朔州高一期末）函数
的周期为(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
3.在下列函数中同时满足：①在
上递增;②以
为周期;③是奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.函数
在一个周期内的图象是(
)
A.B.C.D.
5.（2021重庆西南师范大学附属中学高一期末）
在
上的图象大致是(
)
A.B.C.D.
6.函数
的单调递减区间为
.
7.（2021湖南长沙铁路第一中学高一期末）满足
的
的取值集合是
.
8.已知
,则
的最小值为
,最大值为
.
素养提升练
9.（2021安徽黄山高一期末）函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
D.
10.（多选）（2021江苏南通高一期末）已知函数
,则下列说法正确的是(
)
A.若
的最小正周期是
,则
B.当
时,
图象的对称中心的坐标为
C.当
时,
D.若
在区间
上单调递增,则
11.（2020山西朔州怀仁一中高一月考）若
,则
的取值范围是
.
12.已知函数
.
（1）求
的定义域、值域;
（2）讨论
的周期性、奇偶性和单调区间.
创新拓展练
13.已知函数
.
（1）求
的定义域;
（2）设
,且
,求
的值.
方法感悟
求正切型函数
的定义域时,要将“
”视为一个“整体”,令
,解得
.对于同时含有正切函数、正弦和余弦函数的方程,一般将正切函数转化为正弦和余弦函数求解,需特别注意角的取值范围.
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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.3
正切函数的性质与图象
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解正切函数的周期性、单调性.
2.掌握正切函数的性质及其应用.
1.直观想象—会画正切函数的图象,能利用图象求解相关问题.
2.数学运算—能利用正切函数的性质求解相关问题.
要点一
周期性
由诱导公式
,
,且
，
可知,正切函数是①
周期函数
,周期是②
.
要点二
奇偶性
由诱导公式
,且
可知,正切函数是③
奇函数
.
要点三
正切曲线
正切函数
，
的图象,我们把它叫做④
正切曲线
.
要点四
单调性
正切函数在每一个区间
上都⑤
单调递增
.
要点五
值域
正切函数的值域是⑥
实数集
.
自主思考
1.
与
有什么关系?
答案：提示
.
2.正切曲线与直线
有公共点吗?
答案：提示
没有.正切曲线是由被直线
隔开的无穷多支曲线组成的.
3.观察正切曲线，正切函数值是有界的吗?
答案：提示不是,正切函数没有最大值和最小值.
名师点睛
1.一般地,函数
的最小正周期为
,常常利用此公式来求周期.
2.画正切函数
的简图时取的三个关键点为
,两条平行线为
.
3.正切函数
（
,且
）的图象与性质如表所示：
解析式
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
奇
对称中心
单调性
在开区间
内都是增函数
互动探究·关键能力
探究点一
正切（型）函数的定义域、值域
精讲精练
例
求下列函数的定义域和值域.
（1）
（2）
.
答案：（1）由
得
所以函数
的定义域为
,其值域为
.
（2）由
得,
.
结合
的图象(图略)可知,在
上,满足
的
应满足
所以函数
的定义域为
,其值域为
.
解题感悟1.求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数
有意义,即
.
2.求正切型函数
的定义域时,要将“
”视为一个整体.令
,求解
.
迁移应用
1.求函数
的定义域和值域.
答案：由
,得
,所以函数的定义域为
.
设
,则
,
所以原函数的值域是
.
探究点二
正切（型）函数的相关性质
精讲精练
类型1
周期性
例1
分别求下列函数的最小正周期.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）
,
,
令
,则
,
所以
的最小正周期为
.
（2）函数
的图象如图所示.
所以函数的最小正周期
.
解题感悟
求函数
的周期的三种方法：
（1）定义法：由恒等式
确定周期
;
（2）公式法：由
计算;
（3）图象法：画出函数图象,确定基本单位,求最小正周期.
类型2
奇偶性
例2
判断下列函数的奇偶性.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）因为函数的定义域
不关于原点对称,
所以它既不是奇函数也不是偶函数.
（2）定义域为
,关于原点对称,
因为函数
,所以它是偶函数.
解题感悟
与正切函数有关的函数的奇偶性问题的解决策略
判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断
与
的关系.
类型3
图象的对称性
例3
函数
图象的一个对称中心是(
)
A.(0,0)B.
C.
D.
答案：
解析：令
,得
,所以函数
图象的对称中心是
,
令
,可得函数图象的一个对称中心为
.
解题感悟
正切函数图象的对称中心是
,不存在对称轴.
迁移应用
1.函数
图象的对称中心为
.
答案：
解析：由
,
解得
.
所以函数图象的对称中心是
.
2.求下列函数的最小正周期.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）因为
,
所以
.
（2）
.
令
,则
,
所以
的最小正周期为
.
3.判断函数
的奇偶性.
答案：函数的定义域为
,且其关于原点对称,
因为函数
,所以它是奇函数.
探究点三
正切（型）函数的单调性
精讲精练
类型1
正切（型）函数的单调区间
例1
求函数
的单调区间.
答案：由
,
得
,
所以函数
的单调递增区间是
,无单调递减区间.
解题感悟
求函数
(
且
都是常数)的单调区间的方法：
（1）若
,由于
在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令
,求
的取值范围即可.
（2）若
,可先利用诱导公式先把
转化为
即把
的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求
的取值范围即可.
类型2
利用正切函数的单调性比较大小
例2
利用正切函数的单调性,比较
与
的大小.
答案：因为
,
且
在
上是增函数,
所以
,
所以
,
即
.
解题感悟
运用正切函数的单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;
（2）运用单调性比较函数值的大小.
迁移应用
1.函数
的单调递增区间是
.
答案：
解析：由
,
得
.
因此,函数
的单调递增区间是
.
2.比较大小：
和
.
答案：
,
.
因为
在
内单调递增,
所以
,即
.
评价检测·素养提升
1.与函数
的图象不相交的一条直线是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.函数
的最小正周期是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
的最小正周期
,所以
.
3.函数
的值域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
,在
上为减函数,所以值域为
.
4.下列各式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
5.已知函数
的最小正周期
满足
,求正整数
的值,并写出
的奇偶性、单调区间.
答案：因为
,所以
,即
.因为
,
所以
,则
,
由
得
,定义域不关于原点对称,
所以
是非奇非偶函数.
由
,
得
.
所以
的单调递增区间为
,无单调递减区间.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020山西朔州高一期末）函数
的周期为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.在下列函数中同时满足：①在
上递增;②以
为周期;③是奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.函数
在一个周期内的图象是(
)
A.B.C.D.
答案：
5.（2021重庆西南师范大学附属中学高一期末）
在
上的图象大致是(
)
A.B.C.D.
答案：
解析：由题意得
,
所以
为奇函数,图象关于原点对称,故排除C、D,
又当
时,
,
所以排除B,故只有选项A中的图象满足题意,故选A.
6.函数
的单调递减区间为
.
答案：
解析：因为
,所以
,所以
,
则
,
当
时,
是增函数,
所以
是减函数,
即
的单调递减区间为
.
7.（2021湖南长沙铁路第一中学高一期末）满足
的
的取值集合是
.
答案：
解析：把
看作一个整体,利用正切函数图象可得
,
所以
.
故满足
的
的取值集合是
.
8.已知
,则
的最小值为
,最大值为
.
答案：1;
5
解析：因为
,
所以
,
又
.
所以当
,即
时,
有最小值1,
当
,即
时,
有最大值5.
素养提升练
9.（2021安徽黄山高一期末）函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
10.（多选）（2021江苏南通高一期末）已知函数
,则下列说法正确的是(
)
A.若
的最小正周期是
,则
B.当
时,
图象的对称中心的坐标为
C.当
时,
D.若
在区间
上单调递增,则
答案：
;
解析：若
的最小正周期是
,即
,则
,故选项A中说法正确;
当
时,
,令
,解得
,
所以函数
图象的对称中心的坐标为
,故选项B中说法错误;
当
时,
,
,
,
由于
在
上单调递增,
故
,故选项C中说法错误;
对于D选项,令
,解得
,
所以函数的单调递增区间为
,因为
在区间
上单调递增,所以
,解得
,另一方面,
,所以
,即
,因为
,所以
,故
,故选项D中说法正确.
故选AD.
11.（2020山西朔州怀仁一中高一月考）若
,则
的取值范围是
.
答案：
解析：令
,在
上满足
的
的取值范围是
,在整个定义域上有
,解
,得
.
12.已知函数
.
（1）求
的定义域、值域;
（2）讨论
的周期性、奇偶性和单调区间.
答案：（1）由
,
解得
.
所以定义域为
,值域为
.
（2）
为周期函数,周期
.
由定义域知
为非奇非偶函数.
由
,
解得
.
所以函数的单调递增区间为
.
创新拓展练
13.已知函数
.
（1）求
的定义域;
（2）设
,且
,求
的值.
解析：命题分析
本题考查正切函数的定义域以及三角变换求角,考查运算求解能力以及数学运算的核心素养.
答题要领
（1）由正切函数的性质,求
的定义域;
（2）根据已知等式,变换得到
的值,进而可得
的值.
答案：详细解析
（1）由
,得
.
所以函数
的定义域是
.
（2）依题意得
,
所以
,
整理得
,
所以
或
.
因为
,
所以
,
由
,得
,
由
,得
,
所以
或
.
方法感悟
求正切型函数
的定义域时,要将“
”视为一个“整体”,令
,解得
.对于同时含有正切函数、正弦和余弦函数的方程,一般将正切函数转化为正弦和余弦函数求解,需特别注意角的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
5.4三角函数的图象和性质
5.4.3
正切函数的性质与图象
学习目标
1.借助图象理解正切函数在区间
内的性质.
2.能画出y＝tan
x的图象.
3.会用正切函数的性质解决有关问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
如何研究正切函数的性质和图象？
【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的
图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？
【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，
再从代数的角度对性质作出严格表述.
(2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究
其图象.
【问题】正切函数
的定义域是什么？
?
【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是
?
如何研究正切函数的性质和图象？
【正切函数的性质】
【1】周期性：
由诱导公式
可知，
正切函数是周期函数，周期是π.
?
【2】奇偶性：
由诱导公式
可知，
正切函数有奇偶性，是奇函数.
?
表明正切函数的定义域关于原点对称
表明正切函数的图象关于原点对称
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】你能证明正切函数的周期性吗？
【答】①当k是偶数时，
?
②当k是奇数时，
?
综上，有
?
由周期函数的定义可知，正切函数的周求是
是它的最小正周期.
?
【再问】这有什么用？
【再答】可以先研究正切函数在
之间的图象和性质，再加以拓展.
?
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】如何画出函数
的图象？
【答】如图，设
，在坐标系中画出角
的终边与单
位圆的交点
.过点B作
轴的垂线，垂足为
M；过点A(1，0)作
轴的垂线与角
的终边交于点T，则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由此可见，当
时，线段AT的长度就是角
的正切值，利用线段AT画出函数
的图象如图所示.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
观察可知，函数图象呈类似于指数
型的增长，向右上方无限接近直线
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】如何画出正切函数的全部图象？
【答】利用奇偶性和对称性，把函数在
之间的部分进行复制平移即可.
?
我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴
平行的一系列直线
所隔开的无数个形状相同的曲线组成的
?
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】正切函数的图象有怎样的特征？
【答】①图象关于原点对称
②图象在
轴上方的部分下凹；在
轴下方的部分上凸.
②图象被相互平行的直线
隔开，图象无限
接近这些直线，但永不相交。?
?
?
?
正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。
或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线法.
正切函数的单调性和值域
【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间
上单调递增；
由周期性可知，正切函数在每个区间
上都单调递增
?
?
【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能
发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？
【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与
横轴的交点。
正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.
正切函数的单调性和值域
【值域】观察图象，当
时，
在
内可以取到任意实数
值，但没有最大值或者最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.
?
?
?
?
?
?
?
奇函数
?
?
【例1】求函数
的定义域和周期.
?
【解】自变量
的取值满足条件
?
?
所以函数的定义域是
?
设
，又
，所以
?
?
?
即
?
因为
都有
?
?
所以，函数的周期为2
即时巩固
【例2】观察正切曲线，直接写出满足下列条件的
的范围.
【解】
?
?
?
?
?
即时巩固
【例3】求下列函数的周期.
【解】
?
?
所以函数
的周期为
.
?
?
?
所以函数
的周期为
.
?
?
即时巩固
【例4】若
在
内为减函数，则（
）
【解】由题意有
，且
，所以
?
?
?
?
?
?
答案选择C
即时巩固
随堂小测
√
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
√
√
4.将tan
1，tan
2，tan
3按大小顺序排列为______________.(用“<”连接)
tan
231
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
