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5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简、求值和证明.
1.数学运算——能熟练运用二倍角的公式进行简单的化简、求值.
2.逻辑推理——能熟练运用二倍角的公式证明等式成立.
自主学习·必备知识
要点一
二倍角的正弦公式
①
.
要点二
二倍角的余弦公式
②
,
,
.
要点三
二倍角的正切公式
③
.
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了
的三角函数与
的三角函数之间的关系.
自主思考
1.二倍角的正切公式的适用范围是任意角吗？
2.倍角公式中“倍角”仅是指
与
吗？
名师点睛
二倍角公式的逆用、变形用
（1）逆用形式：
.
.
.
（2）变形用形式：
.
.
.
互动探究·关键能力
探究点一
给角求值
精讲精练
例
求下列各式的值：
（1）
;（2）
;（3）
.
解题感悟
对于给角求值问题,一般分为两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
迁移应用
1.求下列各式的值：
（1）
;（2）
.
精讲精练
例
（1）已知
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知
,则
.
解题感悟
解决给值求值问题的方法
（1）给值求值问题,注意寻找已知式子与未知式子之间的联系,有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
（2）注意几种公式的灵活应用,如：
①
.
②
.
迁移应用
1.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
探究点三
给值求角
精讲精练
例
已知
,则锐角
.
解题感悟
给值求角问题一般涉及特殊角的三角函数值,解题思路是先利用三角函数公式、角的变换求出待求角的某一三角函数值,再根据已知条件或角的范围确定结论.
迁移应用
1.已知
,且
均为锐角,则
的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
评价检测·素养提升
1.（2021北京实验学校高一月考）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
,则
的值等于(
)
A.2
B.3
C.4
D.6
3.已知
为第二象限角,
,则
.
4.已知
,则
,
.
5.已知
为第二象限角,
,则
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020陕西西北大学附中高一月考）下列各式中,值为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020湖北钢城四中高一检测）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知角
的顶点与原点
重合,始边与
轴的非负半轴重合,终边经过点
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2021山东潍坊高一检测）关于函数
,下列说法正确的是(
)
A.最小正周期是
B.最小正周期是
C.该函数是偶函数D.该函数的最大值为1
5.（2021山东单县第一中学高一期末）若
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2020湖北枣阳高一月考）若
,则
的值为(
)
A.-3
B.3
C.-2
D.
.
7.（2021海南万宁民族中学高一期末）已知
,则
.
8.（2020四川成都第七中学高一月考）若
,则
.
9.（2020湖南长沙第一中学高一检测）化简：
.
10.求证：
.
素养提升练
11.（2021湖北恩施高一期末）
的化简结果是(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2021陕西渭南高一月考）函数
的最大值为(
)
A.
B.2
C.
D.3
13.（2021天津红桥高一期末）已知
,且
,则
.
14.已知
均为锐角,
.
（1）求
的值;
（2）求
的值.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）求函数
在
上的单调区间;
（2）已知角
满足
,求
的值.
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人教A版（2019）
必修第一册
5.5三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
两角差的余弦公式
【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？
【分析】如图，设单位圆与
轴的正半轴相交于点
，
以
轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的
终边分别与单位圆相交于点
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
连接
，
.若把扇形
绕着点
旋转β角，则
点A、P分别与点
重合.根据圆的旋转对称性可知，
与
重合，从而
=
，所以
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
α终边
β终边
α-β终边
根据两点间距离公式，得到等式：
?
?
化简得
?
两角差的余弦公式
【探究】由此我们得到了
当
时，容易证明上式依然成立.
所以，对于任意角α，β，都有
?
?
?
?
?
?
?
α终边
β终边
α-β终边
?
?
?
此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为
差角的余弦公式，记为
?
由公式
可知，只要知道了
的值，就可以求出
的值.
?
?
?
另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如：
?
【例1】利用公式
证明
【证明】
?
?
?
?
?
即时巩固
【例2】已知
β是第三象限角，求
的值.
【解】由
，得
?
?
?
?
又由
，β是第三象限角，得
?
?
所以
?
即时巩固
两角和的余弦公式
【推导】我们以
为基础，推导出其他公式.
?
?
?
?
这样就可以得到两角和的余弦公式，即
?
也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
与两角差的余弦公式相比较下
?
余余正正
符号相反
两角和与差的正弦公式
【1】由诱导公式五：
，可得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
两角和与差的正弦公式
【2】由诱导公式六：
，可得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即
?
?
?
?
正余余正
符号相同
两角和与差的正切公式
根据推导经验，有
?
在上式中，用-β替换β，得到
?
即
?
?
?
?
分子同相加，
1减他们俩
分子同相减，
1加他们俩
式中的α、β、α+β可以是任意值吗？
六个公式之间的关系和推导
【和角公式】
?
?
【差角公式】
?
?
?
以-β替换β
?
以-β
替换β
?
?
作
商
作
商
以-β替换β
当α=β时，有：
?
?
【例3】已知
α是第四象限角，求
的值.
【解】由
α是第四象限角，得
?
?
?
?
则
?
?
?
?
即时巩固
【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.
【解】(1)由公式S(α+β)，得
?
?
?
?
(2)由公式C(α+β)，得
?
(3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得
?
即时巩固
二倍角的正弦、余弦、正切公式
【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式
?
?
当α=β时，
?
当α=β时，
?
?
当α=β时，
?
?
?
?
这样我们就得到了二倍角公式：
?
?
?
在
中，结合公式
，得到
?
?
?
?
【例5】已知
，求
的值.
【解】由
，得
?
?
?
?
?
【例6】已知
，求
的值.
?
?
【解】由
，即
?
?
化简得
?
?
所以
即时巩固
随堂小测
课堂小结
1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函
数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
3.应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.
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5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.能熟练运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简、求值与证明.
数学运算——掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行化简、求值与证明.
自主学习·必备知识
要点一
两角和的余弦公式
.
要点二
两角和与差的正弦公式
①
,
.
要点三
两角和与差的正切公式
,
②
.
自主思考
1.是否存在
，使得
，
成立？
答案：提示
存在.当
，
时，
成立.当
，
时，
成立.
2.
等价于
吗？
答案：提示
等价.当
，
，
时，
两边同乘
可得
.
名师点睛
1.注意公式的结构特征和符号规律
对于公式
，
，可记为“同名相乘,符号反”.
对于公式
，
，可记为“异名相乘,符号同”.
对于公式
，
，可记为“分子同,分母异”.
2.在两角和与差的正切公式中,
，
，
，
均不等于
,这是由正切函数的定义域决定的.
3.两角和与差的正切公式的变形与特例
（1）变形公式：
;
;
.
（2）公式的特例：
；
.
互动探究·关键能力
探究点一
化简求值
精讲精练
例
（1）
.
（2）
.
（3）已知
,
为锐角,则
.
（4）
.
（5）求
的值.
答案：（1）
（2）-2
（3）
（4）
（5）
解析：（1）因为
，
所以原式
.
（2）原式
.
（3）因为
，
,所以
.
所以
.
所以
.
（4）因为
，
所以
.
（5）因为
,
所以
所以
.
解题感悟
化简求值的策略
（1）当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
（2）当“已知角”有一个时,此时需注意“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（3）在利用两角和与差的公式时先从所要化简式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
（4）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简的式子中出现特殊的数值时,例如：“1”“3”,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如"
""
"，这样可以构造出利用公式的条件,从而进行化简求值.
迁移应用
（1）
.
（2）已知
为钝角,且
,则
.
（3）
.
（4）
.
答案：（1）2
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式
.
（2）因为
为钝角,且
,
所以
,
所以
.
（3）原式
.
（4）因为
，
所以
，
所以
.
探究点二
给值求角
精讲精练
例
（1）已知锐角
，
满足
，
,则
.
（2）已知
，
，
,则
的值为
.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得
，
,
所以
.
因为
,所以
.
（2）由题意得
,
.
因为
,
,
所以
,
,所以
.
又因为
,
所以
,
.
又
,所以
.
解题感悟
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是
或
时,选取求余弦值,当所求角范围是（
）或（
）时,选取求正弦值.
迁移应用
1.（2021湖北黄冈高一月考）已知
,
为锐角,且
,
,则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：（1）因为
为锐角,且
,
所以
,
由
为锐角,
可得
,
,
故
,
故选B.
2.（2021湖南邵阳邵东县第一中学高一月考）若锐角
满足
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得
,
则
,
故
.
因为
是锐角,
所以
,
故
.故选C.
探究点三
两角和与差三角函数公式的综合运用
精讲精练
例
（1）求函数
的最小正周期,值域,单调递增区间;
（2）设
是一元二次方程
的两个根,求
的值.
答案：（1）
,
所以
,值域为
.
由
,
得
的单调递增区间为
.
（2）由根与系数的关系得,
所以
.
因为
,
且
,
所以
,
所以
,
所以
.
解题感悟
1.三角函数公式可以正用、逆用和变形用.熟记公式
；
；
.
2.当化简的式子中出现“
”与“
”形式时,要把它们看成两个整体,一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,进而缩小角的范围.
迁移应用
1.已知
的三个内角分别为
,
,
,若
是方程
的两个根,试判断
的形状.
答案：依题意得
所以
,
又
,
所以
,
又
,
所以
,
所以
为钝角三角形.
评价检测·素养提升
1.（2021湖北荆州高一检测）
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021山东德州夏津第一中学高一检测）已知
,
,则
的值为(
)
A.0B.
C.0或
D.0或
答案：
3.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由已知得
,所以
.
4.已知
,则
.
答案：
解析：因为
,
所以
,所以
.
5.已知
，
为第二象限角,且
,求
的值.
答案：由
,
为第二象限角得,
,则
,
所以
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021江西玉山一中高一月考）
的值为(
)
A.
B.
C.1D.
答案：
解析：原式
.
2.已知函数
,则
(
)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
答案：
解析：
,
所以
为奇函数.
3.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
,
因为
,所以
,
所以
,故选A.
4.已知
,则
等于(
)
A.
或7B.7C.
D.7或
答案：
解析：因为
,
所以
,
所以
.
当
时,
;
当
时,
.
综上,
或7.
5.
.
答案：1
解析：
.
6.已知
,则
的值为
.
答案：
解析：因为
,
所以
,解得
,
所以原式
.
7.
的值等于
.
答案：
解析：因为
,
所以
,
所以原式=
.
8.已知
,求证：
.
答案：证明
因为
,
且
,
所以
,
所以
,
所以
,
所以
.
故原等式成立.
素养提升练
9.（2021安徽宣城高一检测）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,
所以
.
又
,
所以
,
所以
.
故选B.
10.（2020安徽蚌埠第三中学高一检测）定义运算
.若
,
,则
.
答案：
解析：由题意得,
.
因为
,所以
.
又因为
,所以
,
所以
,所以
.
11.（2020山东高唐第一中学月考）如图,在平面直角坐标系中,以
轴非负半轴为始边作两个锐角
,它们的终边分别与单位圆交于
,
两点,已知
,
的横坐标分别为
.
（1）求
的值;
（2）求
的值.
答案：（1）
由已知条件得
.
因为
为锐角,
所以
,
,所以
.
.
（2）易知
,
所以
,又
为锐角,所以
,所以
.
创新拓展练
12.已知
,且
,求
及角
的值.
答案：由
,且
,得
,
由
,且
,
得
,
所以
,
.
又
,所以
,
又
,所以
,
所以
,则
.
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5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时
两角差的余弦公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
数学运算——会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
自主学习·必备知识
对于任意角
，
有
.
此公式给出了任意角
，
的正弦、余弦与其差角
的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作
.
自主思考
1.利用差角的余弦公式求
的值.
答案：提示
.
名师点睛
1.两角差的余弦公式不要记为
或
;同时还要注意公式的适用条件是
，
为任意角.
2.应用两角差的余弦公式时,要明确公式的特点：公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.
互动探究·关键能力
探究点一
给角求值
精讲精练
例
求值：
（1）
;
（2）
（3）
;
（4）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
解题感悟
解含非特殊角的三角函数式的求值问题,可把非特殊角转化为特殊角的和或差,用公式直接求值.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
迁移应用
1.求值：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
探究点二
给值求值
精讲精练
例
（1）已知
,
,求
的值;
（2）已知
,
,求
的值.
答案：（1）因为
,所以
,
所以
.
因为
,所以
.
（2）因为
,所以
,
又
,所以
,
所以
,
所以
.
解题感悟
已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系,在解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换有：
①
；
②
；
③
；
④
.
迁移应用
1.已知
，
,求
的值.
答案：因为
,
所以
,
所以
,
所以
.
探究点三
给值求角
精讲精练
例
已知
，
，
,求角
的大小.
答案：因为
,
所以
.
因为
,所以
.
因为
,且
,所以
,
所以
,
所以
.
因为
,所以
.
解题感悟
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）根据条件确定所求角的范围;
（2）求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数;
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
迁移应用
1.已知
，
,且
，
,求角
的大小.
答案：由
，
,可知
.
因为
，
,
所以
,
.
因为
，
,
所以
,所以
,故
.
评价检测·素养提升
1.
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若
,则
的值为(
)
A.0
B.1
C.
D.-1
答案：
3.（2020湖南益阳箴言中学高一检测）已知
为锐角,
为第三象限角,且
,
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
为锐角,
,所以
,
因为
为第三象限角,
,
所以
,
所以
.
4.化简：
.
答案：
解析：原式
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020湖北荆州高一检测）
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
2.满足
的一组
，
的值是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：
解析：因为
,所以
,
即
,
验证可知选项B正确.
3.（多选）下面各式化简正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
4.已知
,且
为第三象限角,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得
,
因为
为第三象限角,
所以
.
5.已知点
是角
的终边上一点,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意可得
，
,
所以
.
6.
.
答案：
7.已知
，
是第二象限角,则
,
.
答案：
;
8.（2020湖北咸宁崇阳第一中学高一月考）已知
,则
的值为
.
答案：
解析：因为
,
所以
.
9.已知
，
,且
,求
的值.
答案：因为
,
所以
.
又
，
,
所以
,
.
又
,
所以
.
素养提升练
10.（2021江苏苏州实验中学高一月考）
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：原式
.
故选C.
11.已知
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，
所以
，
又
,
所以
,
所以
.
故选D.
12.（2020广东揭阳第三中学高一检测）在
中,
,
,则
.
答案：
解析：因为
,且
,
所以
,
所以
.又
,
所以
，
所以
.
13.已知函数
.
（1）求
的最小正周期;
（2）求
的值域.
答案：（1）由题意得,
.
的最小正周期
.
（2）
的值域为
.
创新拓展练
14.已知函数
（其中
，
）的最小正周期为
.
（1）求
的值;
（2）设
，
，
,求
的值.
答案：（1）因为函数
的最小正周期为
,所以
,所以
.
（2）因为
,
所以
,
所以
.
又因为
,
所以
,
所以
.
因为
,
所以
，
,
所以
.
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5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.能熟练运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简、求值与证明.
数学运算——掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行化简、求值与证明.
自主学习·必备知识
要点一
两角和的余弦公式
.
要点二
两角和与差的正弦公式
①
,
.
要点三
两角和与差的正切公式
,
②
.
自主思考
是否存在
，使得
，
成立？
等价于
吗？
名师点睛
1.注意公式的结构特征和符号规律
对于公式
，
，可记为“同名相乘,符号反”.
对于公式
，
，可记为“异名相乘,符号同”.
对于公式
，
，可记为“分子同,分母异”.
2.在两角和与差的正切公式中,
，
，
，
均不等于
,这是由正切函数的定义域决定的.
3.两角和与差的正切公式的变形与特例
（1）变形公式：
;
;
.
（2）公式的特例：
；
.
互动探究·关键能力
探究点一
化简求值
精讲精练
例
（1）
.
（2）
.
（3）已知
,
为锐角,则
.
（4）
.
（5）求
的值.
解题感悟
化简求值的策略
（1）当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
（2）当“已知角”有一个时,此时需注意“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（3）在利用两角和与差的公式时先从所要化简式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
（4）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简的式子中出现特殊的数值时,例如：“1”“3”,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如"
""
"，这样可以构造出利用公式的条件,从而进行化简求值.
迁移应用
（1）
.
（2）已知
为钝角,且
,则
.
（3）
.
（4）
.
探究点二
给值求角
精讲精练
例
（1）已知锐角
，
满足
，
,则
.
（2）已知
，
，
,则
的值为
.
解题感悟
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是
或
时,选取求余弦值,当所求角范围是（
）或（
）时,选取求正弦值.
迁移应用
1.（2021湖北黄冈高一月考）已知
,
为锐角,且
,
,则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021湖南邵阳邵东县第一中学高一月考）若锐角
满足
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
探究点三
两角和与差三角函数公式的综合运用
精讲精练
例
（1）求函数
的最小正周期,值域,单调递增区间;
（2）设
是一元二次方程
的两个根,求
的值.
解题感悟
1.三角函数公式可以正用、逆用和变形用.熟记公式
；
；
.
2.当化简的式子中出现“
”与“
”形式时,要把它们看成两个整体,一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,进而缩小角的范围.
迁移应用
1.已知
的三个内角分别为
,
,
,若
是方程
的两个根,试判断
的形状.
评价检测·素养提升
1.（2021湖北荆州高一检测）
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021山东德州夏津高一检测）已知
,
,则
的值为(
)
A.0
B.
C.0或
D.0或
3.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
,则
.
5.已知
，
为第二象限角,且
,求
的值.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021江西玉山一中高一月考）
的值为(
)
A.
B.
C.1
D.
2.已知函数
,则
(
)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
3.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
,则
等于(
)
A.
或7
B.7
C.
D.7或
5.
.
6.已知
,则
的值为
.
7.
的值等于
.
8.已知
,求证：
.
素养提升练
9.（2021安徽宣城高一检测）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
10.（2020安徽蚌埠第三中学高一检测）定义运算
.若
,
,则
.
11.（2020山东高唐第一中学月考）如图,在平面直角坐标系中,以
轴非负半轴为始边作两个锐角
,它们的终边分别与单位圆交于
,
两点,已知
,
的横坐标分别为
.
（1）求
的值;
（2）求
的值.
创新拓展练
12.已知
,且
,求
及角
的值.
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5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时
两角差的余弦公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
数学运算——会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
自主学习·必备知识
对于任意角
，
有
.
此公式给出了任意角
，
的正弦、余弦与其差角
的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作
.
自主思考
1.利用差角的余弦公式求
的值.
名师点睛
1.两角差的余弦公式不要记为
或
;同时还要注意公式的适用条件是
，
为任意角.
2.应用两角差的余弦公式时,要明确公式的特点：公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.
互动探究·关键能力
探究点一
给角求值
精讲精练
例
求值：
;
;
.
解题感悟
解含非特殊角的三角函数式的求值问题,可把非特殊角转化为特殊角的和或差,用公式直接求值.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
迁移应用
1.求值：
（1）
；
；
.
探究点二
给值求值
精讲精练
例
（1）已知
,
,求
的值;
已知
,
,求
的值.
解题感悟
已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系,在解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换有：
①
；
②
；
③
；
④
.
迁移应用
1.已知
，
,求
的值.
探究点三
给值求角
精讲精练
例
已知
，
，
,求角
的大小.
解题感悟
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）根据条件确定所求角的范围;
（2）求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数;
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
迁移应用
1.已知
，
,且
，
,求角
的大小.
评价检测·素养提升
1.
等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
,则
的值为(
)
A.0
B.1
C.
D.-1
3.（2020湖南益阳箴言中学高一检测）已知
为锐角,
为第三象限角,且
,
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.化简：
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020湖北荆州高一检测）
(
)
A.
B.
C.
D.
2.满足
的一组
，
的值是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
3.（多选）下面各式化简正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
,且
为第三象限角,则
(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知点
是角
的终边上一点,则
(
)
A.
B.
C.
D.
6.
.
7.已知
，
是第二象限角,则
,
.
8.（2020湖北咸宁崇阳第一中学高一月考）已知
,则
的值为
.
9.已知
，
,且
,求
的值.
素养提升练
10.（2021江苏苏州实验中学高一月考）
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2020广东揭阳第三中学高一检测）在
中,
,
,则
.
13.已知函数
.
（1）求
的最小正周期;
（2）求
的值域.
创新拓展练
14.已知函数
（其中
，
）的最小正周期为
.
（1）求
的值;
（2）设
，
，
,求
的值.
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5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简、求值和证明.
1.数学运算——能熟练运用二倍角的公式进行简单的化简、求值.
2.逻辑推理——能熟练运用二倍角的公式证明等式成立.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一
二倍角的正弦公式
①
.
要点二
二倍角的余弦公式
②
,
,
.
要点三
二倍角的正切公式
③
.
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了
的三角函数与
的三角函数之间的关系.
自主思考
1.二倍角的正切公式的适用范围是任意角吗？
答案：提示
不是.二倍角的正切公式，要求
且
.
2.倍角公式中“倍角”仅是指
与
吗？
答案：提示
倍角公式不仅可运用于
是
的二倍的情况,还可运用于
作为
的二倍,
作为
的二倍,
作为
的二倍,
作为
的二倍等情况.
名师点睛
二倍角公式的逆用、变形用
（1）逆用形式：
.
.
.
（2）变形用形式：
.
.
.
互动探究·关键能力
探究点一
给角求值
精讲精练
例
求下列各式的值：
（1）
;（2）
;（3）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
解题感悟
对于给角求值问题,一般分为两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
迁移应用
1.求下列各式的值：
（1）
;（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
探究点二
给值求值
精讲精练
例
（1）已知
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知
,则
.
答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
（2）由
,得
,
则
,
故
.
解题感悟
解决给值求值问题的方法
（1）给值求值问题,注意寻找已知式子与未知式子之间的联系,有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
（2）注意几种公式的灵活应用,如：
①
.
②
.
迁移应用
1.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
探究点三
给值求角
精讲精练
例
已知
,则锐角
.
答案：
解析：由原式,得
,
所以
,
所以
,
所以
.
因为
为锐角,所以
,
所以
,
所以
,所以
.
解题感悟
给值求角问题一般涉及特殊角的三角函数值,解题思路是先利用三角函数公式、角的变换求出待求角的某一三角函数值,再根据已知条件或角的范围确定结论.
迁移应用
1.已知
,且
均为锐角,则
的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得,
,
所以
.
因为
均为锐角,
且
,
所以
,所以
,
所以
.故选C.
评价检测·素养提升
1.（2021北京实验学校高一月考）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若
,则
的值等于(
)
A.2B.3C.4D.6
答案：
3.已知
为第二象限角,
,则
.
答案：
4.已知
,则
,
.
答案：
;
解析：因为
,
所以
.
因为
,所以
.
5.已知
为第二象限角,
,则
.
答案：
解析：将
两边平方可得,
,则
.因为
是第二象限角,所以
,所以
,
所以
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020陕西西北大学附中高一月考）下列各式中,值为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020湖北钢城四中高一检测）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.已知角
的顶点与原点
重合,始边与
轴的非负半轴重合,终边经过点
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（多选）（2021山东潍坊高一检测）关于函数
,下列说法正确的是(
)
A.最小正周期是
B.最小正周期是
C.该函数是偶函数D.该函数的最大值为1
答案：
;
;
5.（2021山东单县第一中学高一期末）若
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,
所以
,
所以
.
6.（2020湖北枣阳高一月考）若
,则
的值为(
)
A.-3B.3C.-2D.
答案：
解析：
,所以
,
所以
.
7.（2021海南万宁民族中学高一期末）已知
,则
.
答案：
解析：因为
,所以
,
所以
.
8.（2020四川成都第七中学高一月考）若
,则
.
答案：
解析：因为
,且
,所以
与
互余.
因为
,
所以
,
故
.
9.（2020湖南长沙第一中学高一检测）化简：
.
答案：
解析：原式
.
10.求证：
.
答案：证明
,
所以原等式成立.
素养提升练
11.（2021湖北恩施高一期末）
的化简结果是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：原式
.
12.（2021陕西渭南高一月考）函数
的最大值为(
)
A.
B.2C.
D.3
答案：
解析：
,
当
时,
.
故选C.
13.（2021天津红桥高一期末）已知
,且
,则
.
答案：
解析：因为
,且
,
所以
,
则
,
,
因此
.
14.已知
均为锐角,
.
（1）求
的值;
（2）求
的值.
答案：（1）因为
,
所以
.
因为
,所以
,
因此
.
（2）因为
均为锐角,所以
.
又因为
,所以
,
所以
,
因此
.
因为
,所以
,
因此
.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）求函数
在
上的单调区间;
（2）已知角
满足
,求
的值.
答案：（1）
.
函数
在
上的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
（2）因为
,所以
,
所以
,
所以
,
所以
.
因为
,所以
,
所以
,解得
,
所以
.
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