中小学教育资源及组卷应用平台
5.6
函数y=Asin（ωx+φ）
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解参数
的变化对函数
图象的影响，以及函数
图象上午变换过程.
2.会用“五点法”画函数
的简图.
3.能根据函数
的部分图象，确定其解析式.
4.掌握函数
的性质，并能熟练运用.
直观想象——会将函数图象进行平移变换，会求函数图象进行变换后的解析式.
第1课时
函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其变换
自主学习·必备知识
要点一
对
图象的影响
一般地,把正弦曲线上的所有点①
（当
时）或②
（当
时）③平移
个单位长度,就得到函数
的图象.
要点二
对
图象的影响
一般地,函数
的周期是
,把
图象上所有点的④
缩短（当
时）或伸长（当
时）到原来的
倍（⑤
不变）
,就得到
的图象.
要点三
对
图象的影响
一般地,函数
的图象,可以看作是把
图象上所有点的纵坐标伸长（当⑥
时）或缩短（当⑦
时）到原来的
倍（横坐标不变）而得到.
要点四
函数
（
）图象的变换
一般地,函数
（
）的图象,可以用下面的方法得到:先画出函数
的图象;再把正弦曲线向左（或右）平移
个单位长度,得到函数
的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
,得到函数
的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
,这时的曲线就是函数
的图象.
自主思考
1.将
（
）的图象向左平移
个单位长度能得到
（
）的图象吗?
2.函数
的图象经过怎样的变换可得到
与
的图象?
名师点睛
函数
的性质
性质
符号
定义域
值域
周期性
对称性
对称中心
对称轴
奇偶性
当
时,是奇函数;当
时,是偶函数
单调性
在
上单调递增;
在
上单调递减
互动探究·关键能力
探究点一
平移变换
精讲精练
例（1）将函数
的图象沿
轴向右平移
个单位长度,得到的函数图象的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）为了得到余弦曲线
,只需将正弦曲线
沿
轴
个单位长度(填所有正确的序号).①向右平移
;②向左平移
;③向右平移
；④向左平移
.
解题感悟
函数图象的平移变换
1.左右平移:已知
平移规律为“左加右减”,即：
(1)若将函数
的图象沿
轴向右平移φ个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
.
(2)若将函数
的图象沿
轴向左平移φ个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
2.上下平移:
已知
平移规律为“上加下减”,即：
(1)若将函数
的图象沿
轴向上平移
个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
.
(2)若将函数
的图象沿
轴向下平移
个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
迁移应用
1.要得到函数
的图象,只需将函数
的图象(
)
A.向右平移
个单位长度B.向左平移
个单位长度C.向右平移
个单位长度D.向左平移
个单位长度
2.将函数
的图象向下平移3个单位长度,所得函数图象的解析式的最大值为
,最小值为
.
探究点二
伸缩变换
精讲精练
例（1）将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的3倍,所得函数图象的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）将函数
图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的
,所得到的函数图象的解析式为
.
解题感悟
函数图象的伸缩变换
1.横向伸缩:已知
横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”,即将函数
图象上各点的横坐标伸长（当
时)或缩短（当
时)到原来的1ω倍（纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为
2.纵向伸缩:已知
纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”,即将函数
图象上各点的纵坐标伸长（当
时)或缩短（当
时)到原来的
倍（横坐标不变),得到的函数图象的解析式为
迁移应用
1.将函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到的函数图象的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020山东泰安高一期中）将函数
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再沿
轴向右平移
个单位长度,所得函数图象的解析式为
.
评价检测·素养提升
1.（2021江西贵溪实验中学高一月考）要得到函数
的图象,只需将函数
的图象(
)
A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度
C.向右平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度
2.用“五点法”作
的图象时,首先应描出的五点的横坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021黑龙江大庆第四中学高一月考）将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则
的一个可能取值为(
)
A.
B.
C.0
D.
4.（2021江苏盐城中学高一月考）已知函数
的最大值为5,最小值为-1,则
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021湖师大附中高一期末）若要得到函数
的图象,只需将函
的图象(
)
A.向左平移
个单位长度B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度D.向右平移
个单位长度
2.（2020陕西渭南铁路自立中学高一检测）将函数
的图象向左平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得函数图象的解析式是(
)
A.
B.
C.
D.
3.将函数
的周期变为原来的4倍,所得函数的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2021辽宁锦州高一期末）将函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象,则函数
的解析式是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（多选)函数
的图象可由函数
的图象(
)
A.向左平移
个单位长度,横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
B.向左平移
个单位长度,横坐标缩短到原来的
,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
C.横坐标缩短到原来的
,向左平移
个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
D.横坐标缩短到原来的
,向左平移
个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
6.（2020山东五莲第一中学高一检测）已知
是实数,则函数
的图象不可能是(
)
A.B.C.D.
7.（2020湖北咸宁高一检测）将函数
的图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象,则
的值为
.
8.（2021吉林长春外国语学校高一月考）给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
;
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移
个单位长度;
④图象向左平移
个单位长度;
⑤图象向右平移
个单位长度;
⑥图象向左平移
个单位长度.
如果用上述变换中的两种变换,将函数
的图象变换为函数
的图象,那么这两种变换的序号是
（按变换先后顺序填上你认为正确的序号即可).
9.（2020安徽定远育才学校高一检测）将函数
的图象向右平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为
,则函数
的表达式可以是
.
10.函数
的图象是由
的图象经过怎样的变换得到的？
素养提升练
11.（2021山西新绛第二中学高一期末）为得到函数
的图象,可以把
的图象向右平移
个单位长度,那么
的最小正值是(
)
A.
B.
C.
D.
12.（多选）如果由函数
的图象变换得到函数
的图象,那么下列变换正确的是(
)
A.纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍
B.纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半
C.向左平移
个单位长度,再将横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变
13.若将函数
的图象向右平移
个单位长度后,与函数
的图象重合,则
的最小值为
.
14.将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象.若
在区间
上为增函数,则
的取值范围是
.
15.（2020山东滨州一中高一月考）已知函数
.
（1）请用“五点法”画出函数
在一个周期的闭区间上的简图;
（2）求函数
的单调递增区间;
（3）
的图象是由
的图象经过怎样的变换得到的？
创新拓展练
16.将函数
的图象向左平移1个单位长度,可得函数
的图象,将函数
的图象向左平移
个单位长度,可得函数
的图象.
（1）在同一平面直角坐标系中画出函数
和
的图象;
（2）判断方程
的解的个数.
方法感悟
求解本题的易错点：①对函数图象平移法则理解不透彻,导致函数
和
的解析式求错;②作图不规范,导致函数图象的交点个数出错.
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5.6
函数y=Asin（ωx+φ）
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解参数
的变化对函数
图象的影响，以及函数
图象上午变换过程.
2.会用“五点法”画函数
的简图.
3.能根据函数
的部分图象，确定其解析式.
4.掌握函数
的性质，并能熟练运用.
直观想象——会将函数图象进行平移变换，会求函数图象进行变换后的解析式.
第2课时
函数y=Asin（ωx+φ）的性质及其应用
互动探究·关键能力
探究点一
由函数图象求解析式
精讲精练
例
函数
的部分图象如图所示,求此函数的解析式．
答案：由题图易知
,点
和
分别是“五点法”作图中的第3个点和第5个点,所以
解得
所以
.
解题感悟
给出函数
图象的一部分,确定
,
,
的方法：
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定
和
,那么求φ时,选取“五点法”中的“第一个点”的数据代入“
”求解(要注意正确判断哪一点是“第一个点”),或选取最大值点代入
或选取最小值点代入
求解.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数
,
,
.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式
,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
迁移应用
1.已知函数
的部分图象如图所示,若
,求
的解析式.
答案：1.由题图可知
.所以
.由周期
知
.由
得
,所以
,
所以
,所以
,又
,所以
.
所以
.
探究点二
函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性
精讲精练
例已知函数
的最小正周期是
,将其图象上所有的点向左平移
个单位长度后得到的函数图象的一个对称轴的方程是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：例
解析：例由函数
的最小正周期是
,得
,解得
,则函数
,}将其图象上所有的点向左平移
个单位长度后得到的函数图象的解析式为
,令
,得
,当
时,
,即所得到的函数图象的一个对称轴方程为
.
解题感悟
函数
图象的对称轴方程由
,
求得,为
，
；对称中心由
求得,为
迁移应用
1.已知函数
的最小正周期为
,则该函数图象(
)
A.关于点
对称
B.关于直线
对称
C.关于点
对称
D.关于直线
对称
答案：1.
探究点三
三角函数性质的综合问题
精讲精练
例已知函数
.
（1）求
的最小正周期及单调递增区间;
（2）求
图象的对称轴方程和对称中心;
（3）求
的最小值及取得最小值时
的取值集合.
答案：（1）函数
的最小正周期
.令
,得
,所以
的单调递增区间为
.
（2）令
,则
,所以函数
图象的对称轴方程为
.令
,则
,所以函数
图象的对称中心为
.
（3）令
,则
,所以
时,
取得最小值,所以
的最小值为
,此时
的取值集合是
.
解题感悟
确定函数
单调区间的方法：采用“换元法”整体代换,将
看作一个整体,令“
”,即通过求
的单调区间从而求出函数的单调区间．
迁移应用
1.已知函数
是
上的偶函数,其图象关于点
对称,且在区间
上具有单调性,求
和
的值.
答案：1.由
是偶函数,得函数
的图象关于
轴对称,所以
在
处取得最值,即
,即
,因为
,所以
.由
的图象关于点
对称,可知
,即
,解得
.又
在
上具有单调性,所以
,即
,所以
.又
,所以当
时,
;当
时,
.故
.
评价检测·素养提升
1.若函数
是偶函数,则
的值可以是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：1.
2.若
在区间
上单调递增,则
的最大值为
.
答案：2.
解析：2.由题意可得
,且
,解得
,故
的最大值为
.
3.已知函数
图象的一条对称轴是直线
,则
的值为
.
答案：3.
解析：3.由题意知
,则
,又
,所以
.
4.函数
的部分图象如图所示,则其解析式为
.
答案：4.
解析：4.由题图知,
,所以
,又函数图象过点
,所以
,所以
,所以
,故
可取
,所以
.
素养演练
直观想象——数形结合思想在函数中的应用
1.已知关于
的方程
在
上有两个不同的实数根,则
的取值范围是
答案：1.(
.
解析：1.方程
在
上有两个不同的实数根等价于方程①
在
上有两个不同的实数根,即函数②
的图象与直线③
在
上有两个不同的交点.
如图,需满足④
,解得
,即实数
的取值范围为(
.
审：本题根据方程在闭区间上有两个不同的实数根求参数的取值范围.
联：函数
的图象与直线
在
上有两个不同的交点.
思：本题是将方程根的问题转化为函数图象和直线交点的问题,再利用数形结合思想进行求解,充分体现数形结合、转化与化归的数学思想.
迁移应用
1.已知函数
在一个周期内的图象如图所示.若方程
在区间
上有两个不同的实数解
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：1.
解析：1.要使方程
在区间
上有两个不同的实数解,只需函数
的图象与直线
在区间
上有两个不同的交点,由题图知,两个交点关于直线
或直线
对称,因此
.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的部分图象如图所示,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：1.
2.下列能表示函数
在区间
上的简图的是(
)
A.B.C.D.
答案：2.
3.同时具有性质“①最小正周期是
;②图象关于直线
对称;③在
上单调递增”的一个函数是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：3.
解析：3.由①知
,排除A选项.由②③知,当
时,
取得最大值.验证选项知只有C选项符合要求.
4.已知函数
的图象关于直线
对称,且
,则
的最小值为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：4.
解析：4.由题意得函数
的最小正周期
,则
,解得
,故
的最小值为2.
5.
的图象关于点
对称,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：5.
解析：5.因为点
为
图象的对称中心,所以
,即
,即
,所以
.
6.（多选）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象对应的函数是奇函数,则关于函数
的图象,下列说法不正确的有(
)
A.关于点
对称
B.关于直线
对称
C.关于点
对称
D.关于直线
对称
答案：6.
;
;
解析：6.将函数
的图象向右平移
个单位长度后,可得到
的图象,根据得到的图象对应的函数是奇函数,可得
,即
,又
,所以
,所以
.令
,则
,故A中说法不正确.令
,则
,故B中说法不正确.令
,则
,为函数的最大值,故C中说法不正确,D中说法正确.
7.若函数
对任意
都有
,则
.
答案：7.-3或3
解析：7.由于函数
对任意
都有
,故函数
的图象关于直线
对称,则
是函数
的最大值或最小值,
则
.
8.已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求
的解析式;
（2）把
的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
答案：（1）由题图知
,所以
.所以
.因为函数
的图象过点
,所以
,所以
,即
,又
,所以
,所以
.
（2）设
的图象向左平移
个单位长度,则由
为偶函数,知
,即
.因为
,所以
.故至少把
的图象向左平移
个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
9.（2021陕西西安铁一中学高一期末）已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求函数
的解析式,并求出
的单调递增区间;
（2）将函数
的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移
个单位长度得到
的图象,若存在
,使得等式
成立,求实数
的取值范围.
答案：9.（1）由题图可知,
,所以
,则
,所以
.因为
的图象过点
,所以
,所以
,所以
又
所以
所以
.令
,得
,
所以
的单调递增区间为
.
（2）由图象变换得
的图象,所以存在
,使得等式
成}立,即
在
上有解,令
则
则
,所以
,即
.
素养提升练
10.将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,且
的图象关于点
对称,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：10.
解析：10.由题意得
,因为
的图象关于点
对称,所以
,所以
,即
,
因为
,所以
.故选D.
11.（2021河南林州一中高一检测）将函数
的}图象向左平移
个单位长度后关于
轴对称,则函数
在
上的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：11.
解析：11.平移得到的图象对应的解析式为
,因为
的图象关于
轴对称,所以
为偶函数,所以
,所以
,所以
,因为
,所以
,当
时,
,所以
,当且仅当
时,
故选B.
12.（2020湖北潜江高一检测）将函数
的图象向右平移
个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则
的最小值为
.
答案：12.
解析：12.将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象,由于新的函数图象关于原点对称,故
,故
,因为
,所以当
时,
取得最小值
.
13.（2020陕西铜川第一中学高一检测）如果函数
的图象关于直线
对称,那么
的值为
.
答案：13.-1
解析：13.因为函数
的图象以直线
为对称轴,所以到
距}离相等的
值对应的函数值应相等,所以
对任意
恒成立.令
,得
,
,所以
.
14.已知函数
在区间
上的图象如图所示.
（1）求函数
的解析式;
（2）若把函数
的图象向左平移
个单位长度
后与函数
的图象重合,求
的最小值.
答案：14.（1）由题意得
,周期
,故
.
因为
在
处取得最大值,所以
,则
,又
,所以
.所以
.
（2）因为
,所以离
轴最近的最大值处的对称轴在
处取得,故把函数
的图象向左平移
个单位长度后与函数
的图象重合,即
的最小值为
.
创新拓展练
15.已知函数
,其中常数
.
（1）若
在
上单调递增,求
的取值范围;
（2）令
,将函数
的图象向左平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数
的图象,区间
满足：
在
上至少有30个零点.在所有满足上述条件的
中,求
的最小值.
答案：15.（1）
,根据题意有
解得
.所以
的取值范围是（
.
（2）由
可得,
,由
得
,所以
或
,即
或
,即
的零点相邻间隔依次为
,…,故若
在
上至少有30个零点,则
的最小值为
.
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人教A版（2019）
必修第一册
5.6函数y＝Asin（ωx+φ）
学习目标
1.了解匀速圆周运动的数学模型.
2.了解y＝Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助图象理解参数A，ω，φ的实际意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
核心素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算
新知学习
匀速圆周运动的数学模型
【解读教材】我们知道，单位圆上的点，以(1，0)为起点，以单位速度按逆时针方
向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以
怎样用数学模型刻画呢？
【问题】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图.
假定筒车做的是匀速圆周运动，你能用一个函数模型来刻画盛水筒距离水面
的高度和时间的关系吗？
匀速圆周运动的数学模型
【思考】因为筒车上的盛水筒运动具有周期性，可以考虑用三角函数来刻画.
如图，把筒车抽象成数学模型，设经过t秒后，盛水筒M
从点P0运动到点P，易知它距离水面的高度H由以下量决定：
筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的
角速度
，盛水筒的初始位置P0，以及时间t.
?
?
?
?
?
水面
以O为原点，建立坐标系如图.设t=0时，盛水筒M位于
点P0，以
为始边，OP0为终边的角为
，经过t秒后运动到点
，于是，
以
为始边，OP为终边的角为
，并且有：
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
?
?
?
?
?
?
?
函数②就是要建立的数学模型，而h是常量，所以只要研究①即可
?
?
?
?
?
(2)函数
含有三个参数，该进行什么样的思路来研究？
函数
的图像
?
刚才我们利用三角函数的知识构建了一个形如
的函数.
显然，这个函数由参数
，
，
所确定.因此，只要了解了这些参数的意义，
知道它们的变化对于函数图像的影响，就可以搞清楚这个函数的性质.
?
?
?
?
从解析式看，函数
就是函数
在
时的特殊情况.
?
?
?
?
(1)能否借助我们熟悉的函数
的图像与性质研究参数
对
函数
的影响？
?
?
?
?
函数
的图像
?
①探究
对
图像的影响
?
?
如图，取
，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运
动.如果点M以Q0为起点，(此时
)，经过
秒后运动到点P，那么点P的纵坐
标
就等于
.以
为坐标描点，可得正弦函数
的图像.
?
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?
函数
的图像
?
①在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转
到Q1，图像有什么变化？
?
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?
【图像向左平移
个长度】
?
②如果使点Q0绕点O1旋转
个长度，又会得到什么图像呢？
?
【分别能得到函数
,
,
的图像】
?
?
?
函数
的图像
?
①在一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为
时，对应的函数是
，把正弦曲线
上的所有点向左平移
个长度，就得到函数
的图像(左加右减/作家有钱)
总结
?
?
?
?
?
是的，
我有钱！
注意
【1】
的变化只改变图像的左右变化，形状、大小完全不变
?
【2】左右平移改变的是
，若
前面的系数不是1，则要先提取系数在再平移
【3】这种变化引起的是初始位置的变换，一般称为相位变换.
?
?
?
向左平移
个单位
向右平移
个单位
也可以是任
意一个函数
?
?
?
?
探索
对
图像的影响
?
?
我们通过数学实验来探索.如图，取圆的半径A=1，为了研究方便，我们令
，当
时得到
的图像.
导学
?
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?
?
?
?
?
?
取
时，得到函数
的图像.
?
?
取
时，得到函数
的图像.
?
?
探索
对
图像的影响
?
?
一般地，函数
的周期是
，把
图像上所有点的横坐标缩短(当
时)或伸长(当
时)到原来的
倍(纵坐标不变)，就得到
的图像.
结论
?
?
?
?
?
?
?
注意
①
的作用：引起周期
的改变，这种变换叫做横向伸缩
?
?
②
的变化引起的横向伸缩，会导致图像形状改变(被横向拉长或缩短)
?
③
时，函数
的图像相比函数
横向缩短，周期变小；
?
?
?
④
时，函数
的图像相比函数
横向伸长，周期变大；
?
?
?
探索
对
图像的影响
?
?
老规矩，还是通过数学实验来探索.如图，令
，
，当A=1时，
可得
的图像.
导学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
的图像
?
的图像
横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
一般地，函数
的图像,可以看做是把
图像上所有点的纵坐标伸长(当
时)或缩短(当
时)到原来的A倍而
得到(横坐标不变)，所以函数
的值域是[-A,A]
结论
?
?
?
?
?
探索
对
图像的影响
?
?
注意
①若A＞0，则函数
的值域为[-A，A]
?
②若A＜0，则函数
的值域为[A，-A]
?
③A的作用：引起值域的改变，这种变换叫做纵向伸缩
④A的变化引起的纵向伸缩，会导致图像形状改变(被纵向拉长或缩短)
⑤推广到一般情况：函数
的图像，可以看做是把函
数
的图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A
倍(横坐标不变)二得到的，即：
?
?
的图像
的图像
横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍
?
?
函数
总结
?
一般地，函数
的图像，可以先画出函数
的
图像，再把这个正弦曲线向左(或者向右)平移
个长度，得到函数
的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的
倍(纵坐标不变)，得到函数
的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数
的图像.
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
画出正弦曲线
?
横向移动
个长度
?
横坐标变为
倍
?
横坐标变为
倍
?
?
?
?
【例1】画出函数
的简图.
?
【解】先画出函数
的图像，再把这个曲线向右平移
个长度，得到
函数
的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的
得到函数
的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来
的3倍，就可以得到
的图像。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
【例2】画出下列函数的简图.
【解】如图
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
√
√
y＝－cos
2x
课堂小结
1.由y＝sin
x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin
x
y＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
(2)y＝sin
x
y＝sin
ωx
y＝sin[ω(x＋
)]＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移
个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.
2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos
x的图象变换得到.
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5.6
函数y=Asin（ωx+φ）
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解参数
的变化对函数
图象的影响，以及函数
图象上午变换过程.
2.会用“五点法”画函数
的简图.
3.能根据函数
的部分图象，确定其解析式.
4.掌握函数
的性质，并能熟练运用.
直观想象——会将函数图象进行平移变换，会求函数图象进行变换后的解析式.
第1课时
函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其变换
自主学习·必备知识
要点一
对
图象的影响
一般地,把正弦曲线上的所有点①
向左
（当
时）或②
向右
（当
时）③平移
个单位长度,就得到函数
的图象.
要点二
对
图象的影响
一般地,函数
的周期是
,把
图象上所有点的④
横坐标
缩短（当
时）或伸长（当
时）到原来的
倍（⑤
纵坐标
不变）
,就得到
的图象.
要点三
对
图象的影响
一般地,函数
的图象,可以看作是把
图象上所有点的纵坐标伸长（当⑥
时）或缩短（当⑦
时）到原来的
倍（横坐标不变）而得到.
要点四
函数
（
）图象的变换
一般地,函数
（
）的图象,可以用下面的方法得到:先画出函数
的图象;再把正弦曲线向左（或右）平移
个单位长度,得到函数
的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
,得到函数
的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
,这时的曲线就是函数
的图象.
自主思考
1.将
（
）的图象向左平移
个单位长度能得到
（
）的图象吗?
答案：1.提示︰不能,将
（
）的图象向左平移
个单位长度得到函数
（
）的图象.
2.函数
的图象经过怎样的变换可得到
与
的图象?
答案：2.提示：将函数
图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍得到函数
的图象；将函数
图象上各点的纵坐标缩短为原来的一半得到函数
的图象.
名师点睛
函数
的性质
性质
符号
定义域
值域
周期性
对称性
对称中心
对称轴
奇偶性
当
时,是奇函数;当
时,是偶函数
单调性
在
上单调递增;
在
上单调递减
互动探究·关键能力
探究点一
平移变换
精讲精练
例（1）将函数
的图象沿
轴向右平移
个单位长度,得到的函数图象的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）为了得到余弦曲线
,只需将正弦曲线
沿
轴
个单位长度(填所有正确的序号).①向右平移
;②向左平移
;③向右平移
；④向左平移
.
答案：例（1）
（2）②③
解析：例（1）将函数
的图象沿
轴向右平移
个单位长度,得到的函数图象的解析式为
（2）将正弦曲线
沿
轴向右平移
个单位长度,得到曲线
,①不正确;
将正弦曲线
沿
轴向左平移
个单位长度,得到曲线
,②正确;
将正弦曲线
沿
轴向右平移
个单位长度,得到曲线
,③正确;
将正弦曲线
沿
轴向左平移
个单位长度,得到曲线
,④不正确.
解题感悟
函数图象的平移变换
1.左右平移:已知
平移规律为“左加右减”,即：
(1)若将函数
的图象沿
轴向右平移φ个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
.
(2)若将函数
的图象沿
轴向左平移φ个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
2.上下平移:
已知
平移规律为“上加下减”,即：
(1)若将函数
的图象沿
轴向上平移
个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
.
(2)若将函数
的图象沿
轴向下平移
个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
迁移应用
1.要得到函数
的图象,只需将函数
的图象(
)
A.向右平移
个单位长度B.向左平移
个单位长度C.向右平移
个单位长度D.向左平移
个单位长度
答案：1.
解析：1.因为
,所以要得到函数
的图象,只需将函数
的图象向右平移
个单位长度.
2.将函数
的图象向下平移3个单位长度,所得函数图象的解析式的最大值为
,最小值为
.
答案：2.3;
1
解析：2.将函数
的图象向下平移3个单位长度,所得函数图象的解析式为
,故最大值为3,最小值为1.
探究点二
伸缩变换
精讲精练
例（1）将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的3倍,所得函数图象的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）将函数
图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的
,所得到的函数图象的解析式为
.
答案：例（1）
（2）
解析：例（1）将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到
的图象,纵坐标伸长为原来的3倍,得到
的图象.故选C.
（2）将函数
图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的
,所得到的函数图象的解析式为
.
解题感悟
函数图象的伸缩变换
1.横向伸缩:已知
横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”,即将函数
图象上各点的横坐标伸长（当
时)或缩短（当
时)到原来的1ω倍（纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为
2.纵向伸缩:已知
纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”,即将函数
图象上各点的纵坐标伸长（当
时)或缩短（当
时)到原来的
倍（横坐标不变),得到的函数图象的解析式为
迁移应用
1.将函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到的函数图象的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：1.
2.（2020山东泰安高一期中）将函数
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再沿
轴向右平移
个单位长度,所得函数图象的解析式为
.
答案：2.
解析：2.将函数
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数
的图象,再沿
轴向右平移
个单位长度,得到函数
的图象.
评价检测·素养提升
1.（2021江西贵溪实验中学高一月考）要得到函数
的图象,只需将函数
的图象(
)
A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度
C.向右平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度
答案：1.
2.用“五点法”作
的图象时,首先应描出的五点的横坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：2.
3.（2021黑龙江大庆第四中学高一月考）将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则
的一个可能取值为(
)
A.
B.
C.0
D.
答案：3.
解析：得到的偶函数图象的解析式为
,结合选项可知,
可取
.
4.（2021江苏盐城中学高一月考）已知函数
的最大值为5,最小值为-1,则
.
答案：4.3
解析：4.因为
,所以当
时,函数取得最大值,当
时,函数取得最小值,即
解得
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021湖师大附中高一期末）若要得到函数
的图象,只需将函
的图象(
)
A.向左平移
个单位长度B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度D.向右平移
个单位长度
答案：1.
2.（2020陕西渭南铁路自立中学高一检测）将函数
的图象向左平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得函数图象的解析式是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：2.
3.将函数
的周期变为原来的4倍,所得函数的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：3.
4.（2021辽宁锦州高一期末）将函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象,则函数
的解析式是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：4.
5.（多选)函数
的图象可由函数
的图象(
)
A.向左平移
个单位长度,横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
B.向左平移
个单位长度,横坐标缩短到原来的
,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
C.横坐标缩短到原来的
,向左平移
个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
D.横坐标缩短到原来的
,向左平移
个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
答案：5.
;
解析：5.先平移后伸缩：
的图象
的图象
的图象
的图象.
先伸缩后平移：
的图象
的图象
的图象
的图象.故B、D正确.
6.（2020山东五莲第一中学高一检测）已知
是实数,则函数
的图象不可能是(
)
A.B.C.D.
答案：6.
解析：6.当
时,
选项中的图象符合.当
时,
,且最小值为正数,A选项中的图象符合.当
时,
,且最小值为负数,B选项中的图象符合.D选项中,由题意得
,所以
,而由图象知
,矛盾,故选D.
7.（2020湖北咸宁高一检测）将函数
的图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象,则
的值为
.
答案：7.
解析：7.将函数
的图象向左平移
个单位长度,得到
的图象,所以
.
8.（2021吉林长春外国语学校高一月考）给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
;
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移
个单位长度;
④图象向左平移
个单位长度;
⑤图象向右平移
个单位长度;
⑥图象向左平移
个单位长度.
如果用上述变换中的两种变换,将函数
的图象变换为函数
的图象,那么这两种变换的序号是
（按变换先后顺序填上你认为正确的序号即可).
答案：8.④②或②⑥
解析：8.按“先平移,后伸缩”变换：
的图象
的图象
的图象.
按“先伸缩,后平移”变换：
的图象
的图象
的图象.故答案为④②或②⑥.
9.（2020安徽定远育才学校高一检测）将函数
的图象向右平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为
,则函数
的表达式可以是
.
答案：9.
解析：9.将函数
的图象向下平移1个单位长度得到
的图象,再把函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象.
10.函数
的图象是由
的图象经过怎样的变换得到的？
答案：10.先把函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变)得到
的}图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横坐标不变)得到函
的图象;最后将所得的函数图象向下平移3个单位长度得到函数
的图象.
素养提升练
11.（2021山西新绛第二中学高一期末）为得到函数
的图象,可以把
的图象向右平移
个单位长度,那么
的最小正值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：11.
12.（多选）如果由函数
的图象变换得到函数
的图象,那么下列变换正确的是(
)
A.纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍
B.纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半
C.向左平移
个单位长度,再将横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变
D.将横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向左平移
个单位长度
答案：12.
;
解析：12.函数
,函数
.
函数
图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到
的图象,故A不正确.函数
图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半,得到
的图象,故B不正确.将函数
的图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象,再将所有点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到函数
的图象,故C正确.将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到函数
的图}象,再向左平移
个单位长度,得到函数
的图象,故D正确.故选CD.
13.若将函数
的图象向右平移
个单位长度后,与函数
的图象重合,则
的最小值为
.
答案：13.
解析：13.将
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象,故
,
即
,解得
,
的最小值为
.
14.将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象.若
在区间
上为增函数,则
的取值范围是
.
答案：14.（
解析：14.将函数
的图象向左平移
个单位长度,可得到
的图象,因为
在
上为增函数,且
的图象过原点,所以
解得
,又
,所以
15.（2020山东滨州一中高一月考）已知函数
.
（1）请用“五点法”画出函数
在一个周期的闭区间上的简图;
（2）求函数
的单调递增区间;
（3）
的图象是由
的图象经过怎样的变换得到的？
答案：15.（1）列表如下：
0
0
1
0
-1
0
答案：描点、连线,图象如图所示.
（2）令
,解得
,所以函数
的单调递增区间是
.
（3）先将
的图象向右平移
个单位长度,再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的
,即可得到
的图象.
创新拓展练
16.将函数
的图象向左平移1个单位长度,可得函数
的图象,将函数
的图象向左平移
个单位长度,可得函数
的图象.
（1）在同一平面直角坐标系中画出函数
和
的图象;
（2）判断方程
的解的个数.
解析：16.答题要领
（1）先根据图象的平移变换求函数
和
的解析式,再分别作出图象;
（2）观察两图象的交点个数,即得方程
的解的个数.
答案：16.（1）将函数
的图象向左平移1个单位长度,可得函数
的图象;将函数
的图象向左平移
个单位长度,可得函数的图象.
画出函数
和
的图象,如图所示.
（2）由图象可知,两个图象共有5个交点,即方程
的解的个数为5.
命题分析
本题考查对数函数图象与三角函数图象,求方程
的解的个数,考查数形结合思想,过程中体现直观想象的核心素养.
方法感悟
求解本题的易错点：①对函数图象平移法则理解不透彻,导致函数
和
的解析式求错;②作图不规范,导致函数图象的交点个数出错.
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5.6
函数y=Asin（ωx+φ）
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解参数
的变化对函数
图象的影响，以及函数
图象上午变换过程.
2.会用“五点法”画函数
的简图.
3.能根据函数
的部分图象，确定其解析式.
4.掌握函数
的性质，并能熟练运用.
直观想象——会将函数图象进行平移变换，会求函数图象进行变换后的解析式.
第2课时
函数y=Asin（ωx+φ）的性质及其应用
互动探究·关键能力
探究点一
由函数图象求解析式
精讲精练
例
函数
的部分图象如图所示,求此函数的解析式．
解题感悟
给出函数
图象的一部分,确定
,
,
的方法：
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定
和
,那么求φ时,选取“五点法”中的“第一个点”的数据代入“
”求解(要注意正确判断哪一点是“第一个点”),或选取最大值点代入
或选取最小值点代入
求解.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数
,
,
.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式
,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
迁移应用
1.已知函数
的部分图象如图所示,若
,求
的解析式.
探究点二
函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性
精讲精练
例已知函数
的最小正周期是
,将其图象上所有的点向左平移
个单位长度后得到的函数图象的一个对称轴的方程是(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
函数
图象的对称轴方程由
,
求得,为
，
；对称中心由
求得,为
迁移应用
1.已知函数
的最小正周期为
,则该函数图象(
)
A.关于点
对称
B.关于直线
对称
C.关于点
对称
D.关于直线
对称
探究点三
三角函数性质的综合问题
精讲精练
例已知函数
.
（1）求
的最小正周期及单调递增区间;
（2）求
图象的对称轴方程和对称中心;
（3）求
的最小值及取得最小值时
的取值集合.
解题感悟
确定函数
单调区间的方法：采用“换元法”整体代换,将
看作一个整体,令“
”,即通过求
的单调区间从而求出函数的单调区间．
迁移应用
1.已知函数
是
上的偶函数,其图象关于点
对称,且在区间
上具有单调性,求
和
的值.
评价检测·素养提升
1.若函数
是偶函数,则
的值可以是(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
在区间
上单调递增,则
的最大值为
.
3.已知函数
图象的一条对称轴是直线
,则
的值为
.
4.函数
的部分图象如图所示,则其解析式为
.
素养演练
直观想象——数形结合思想在函数中的应用
1.已知关于
的方程
在
上有两个不同的实数根,则
的取值范围是
思：本题是将方程根的问题转化为函数图象和直线交点的问题,再利用数形结合思想进行求解,充分体现数形结合、转化与化归的数学思想.
迁移应用
1.已知函数
在一个周期内的图象如图所示.若方程
在区间
上有两个不同的实数解
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的部分图象如图所示,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列能表示函数
在区间
上的简图的是(
)
A.B.C.D.
3.同时具有性质“①最小正周期是
;②图象关于直线
对称;③在
上单调递增”的一个函数是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知函数
的图象关于直线
对称,且
,则
的最小值为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
5.
的图象关于点
对称,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
6.（多选）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象对应的函数是奇函数,则关于函数
的图象,下列说法不正确的有(
)
A.关于点
对称
B.关于直线
对称
C.关于点
对称
D.关于直线
对称
7.若函数
对任意
都有
,则
.
8.已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求
的解析式;
（2）把
的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
9.（2021陕西西安铁一中学高一期末）已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求函数
的解析式,并求出
的单调递增区间;
（2）将函数
的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移
个单位长度得到
的图象,若存在
,使得等式
成立,求实数
的取值范围.
素养提升练
10.将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,且
的图象关于点
对称,则
(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2021河南林州一中高一检测）将函数
的}图象向左平移
个单位长度后关于
轴对称,则函数
在
上的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2020湖北潜江高一检测）将函数
的图象向右平移
个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则
的最小值为
.
13.（2020陕西铜川第一中学高一检测）如果函数
的图象关于直线
对称,那么
的值为
.
14.已知函数
在区间
上的图象如图所示.
（1）求函数
的解析式;
（2）若把函数
的图象向左平移
个单位长度
后与函数
的图象重合,求
的最小值.
创新拓展练
15.已知函数
,其中常数
.
（1）若
在
上单调递增,求
的取值范围;
（2）令
,将函数
的图象向左平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数
的图象,区间
满足：
在
上至少有30个零点.在所有满足上述条件的
中,求
的最小值.
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