(共25张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
5.7三角函数的应用
学习目标
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
【解读典例】某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过
程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如
下表所示.请根据这些数据确定振子的位移关于时间的函数解
析式.
【分析】根据振动循环往复特点，描出五点并作图
t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
-20.0
-17.8
-10.1
0.1
10.3
17.7
20.0
17.7
10.3
0.1
-10.1
-17.8
-20.0
问题【1】
问题【1】
【思考】现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等等.
★
A就是这个简谐运动的振幅，它表示物体离开平衡位置的最大位移.
这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复
运动，在物理学中，把这样的运动成为“简谐运动”.
在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数
表示.
★
这个简谐运动的周期是
，它表示物体运动往复一次需要的时间
★
这个简谐运动的频率由公式
得到，它是物体单位时间内运动的次数
★
称为相位，
时的相位
称为初相.
【分析】由交流电的产生原理可知，电流
随时
间
的变化规律可用
来刻画，
其中
表示频率，A表示振幅，
表示初相.
问题【2】
某次实验测得的交变电流
(单位：A)随时间
(单位：s)变化的图像放大之
后如图，求电流
随时间
变化的函数关系式
由图可知，电流最大值为5A，因此A=5；电流变化的周期为
s，频率为
50Hz，即
，解得
；再由初始状态(t=0)的电流约为4.33A，可
得
，因此
约为
；所以电流
随时间
变化的解析式是
问题【2】
①频率指的是单位时间内完成周期性变化的次数，一般是指一秒内周期性变化
的次数，频率=
，单位是赫兹，简称“赫”，记为Hz.
②利用图像确定函数
的解析式，实质上就是确定其中的
参数
、
、
的值，其中——
★
A由最大(小)值决定；
★
由最小正周期决定；
★
由图像上的关键点求得，确定
时，要注意它的不唯一性，一般是
求
最小时的
值.
【例1】已知某函数的表达式为
，图像如图所示，则当t=0.01
时，y是多少？
【解】由图像可知A=10，
所以
故
把
代入，得
，即
因为
，所以
，所以
,
所以
即时巩固
【例2】弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C两点相距
20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点.求：
【解】(1)设振幅为A，则2A=20cm，即A=10cm.
设周期为T，频率为f，则
(1)振动的振幅、周期和频率.
(2)振子在5s内通过的路程及5s时相对平衡位置的位移的大小.
即
(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t=5s=5T内，
通过的路程为5×4A=20A=20×10=200cm=2m
5
s时物体处在B点，所以相对于平衡位置的位移是10cm
即时巩固
【例3】某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈以下模型波动：
【解】由题意可知当
时，函数有最大值9；
时有最小值5，即
已知
3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件，请
你确定
的解析式.
，解得
，∵函数的周期T=2(7-3)=8，由
有
，∵当
时函数有最大值，即
∵
，取
，得
∴
的解析式为
即时巩固
【例4】如图所示的是一个单摆，以平衡位置A为始边，OB为终边
的角θ
与时间t(s)满足函数解析式
，则
当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是多少？
【解】当t=0时，
由函数的解析式可知，函数的周期为
则函数的频率为
即时巩固
【例5】在两个弹簧上各挂一个质量分别是M1和M2的小球，它们在竖直方向上作
自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移S1(cm)和S2(cm)分别是由
下列两式决定：
则在时间
时，S1与S2的大
小关系如何？
【解】当
时，
所以此时的关系是
即时巩固
【例6】商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，元旦期间某商场的人流量
满足函数
，则下列时间段内人流量增加的是哪个？
【解】由
A.
[0，5]
B.
[5，10]
C.
[10，15]
D.
[15，20]
可知函数
的增区间为
当
时，
，而
所以本题选C
即时巩固
【例7】某城市一年中12个月的平均气温
与月份
的关系可近似的用函数
来表示，已知6月份的平均气温最高，为
28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温是多少度？
【解】由题意有
解得
所以
当
时，
所以10月份的平均气温是20.5℃
即时巩固
随堂小测
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是
√
(1)求实验室这一天的最大温差；
又0≤t<24，
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解 依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.
即10故在10时至18时实验室需要降温.
课堂小结
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
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5.7
三角函数的应用
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解三角函数的性质.
2.掌握三角函数的实际应用.
1.直观想象——会用三角函数图象的性质解决实际问题.2.数学运算——会用三角恒等变换解决相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
简谐运动
在物理学中,把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数
表示,其中
.
要点二
描述简谐运动的物理量
就是这个简谐运动的①
,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是
,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的②
；
这个简谐运动的顿率由公式
给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的③
；
称为④
；
时的相位
称为⑤
.
自主思考
1.
的周期是多少？
2.
的相位、初相
互动探究·关键能力
探究点一
三角函数模型的实际应用
精讲精练
例
已知某海滨浴场的海浪高度
（米）是时间
（时）的函数,其中
,记
,下表是某日各时的浪高数据:
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,
的图象可近似地看成是函数
的图象.
（1）根据以上数据,求函数
的解析式及其最小正周期、振幅；
（2）根据规定,当海浪高度大于1米时该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,请依据（1）中的结论,判断一天内从8:00到20:00之间,有多少时间可对冲浪爱好者开放.
解题感悟
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模
迁移应用
1.某实验室一天的温度（单位：
）随时间
（单位：
）的变化近似满足函数关系：
.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于
,则在哪段时间内实验室需要降温？
探究点二
三角函数在物理中的应用
精讲精练
例
单摆从某点开始来回摆动,已知离开平衡位置的位移
（单位:
）和时间
（单位:
）的函数关系式为
.
（1）作出函数的图象；
（2）当单摆开始摆动
时,离开平衡位置的位移是多少?
（3）当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4）单摆来回摆动一次需要多长时间?
解题感悟
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
迁移应用
1.交流电的电压
（单位:
）与时间
（单位:
）的关系可用
来}表示,求:
（1）开始
时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
评价检测·素养提升
1.下图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是(
)
A.该质点的振动周期为
B.该质点的振幅为
C.该质点在
和
时的振动速度最大
D.该质点在
和
时的加速度为零
2.电流强度
与时间
的函数关系式为
,其在一个周期内的函数图象如图所示,则该函数的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
3.当心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.健康成年人的收缩压和舒张压的范围一般为90~140
和60~90
.设某人的血压满足函数
,其中
为血压
,
为时间
,则函数
的周期为
；此人每分钟心跳的次数为
.
4.如图,某市拟在长为
的道路
的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段
,该曲线段为函数
的部分图象,且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段
.为保证参赛运动员的安全,限定
.求
的值和
两点间的距离．
素养演练
数学建模——三角函数模型的实际应用
1.一半径为
的水轮如图所示,水轮圆心
距离水面
.已知水轮按逆时针方向匀速转动,每
转一圈,如果当水轮上点
从水中浮现时(图中点
)开始计算时间.
（1）试建立适当的坐标系,将点
距离水面的高度
表示为时间
的函数;
（2）点
第一次到达最高点大约需要多长时间?
（3）记
,求证:
为定值.
解析：思：数学建模的步骤：发现问题、提出问题;分析问题、建立模型;确定参数、计算求解;验证结果、改进模型.
迁移应用
1.（2021江苏淮安高一期末）如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图,该摩天轮近似看作半径为
的圆,圆上最低点
与地面的距离为
,摩天轮每60秒匀速转动一圈,摩天轮上某点
的起始位置在最低点
处.图中
与地面垂直,以
为始边,逆时针转动
角到
,设
点与地面间的距离为
.
（1）求
关于
的函数解析式;
（2）设从
开始转动,经过
秒后到达
,求
与
之间的函数关系式;
（3）如果离地面高度不低于
才能获得最佳观景效果,在摩天轮转动的一圈内,有多长时间
点在最佳观景效果的高度上？
课时评价作业
基础达标练
1.下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过
个周期后,乙将移至(
)
A.
轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
2.如图为一直径为
的水轮,水轮圆心
距水面
,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点
到水面的距离
与时间
满足关系
（其中
表示
在水面下,则(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021山东济宁高一检测）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式
,据此可知,这段时间水深（单位：米）的最大值为(
)
A.5
B.6
C.8
D.10
4.如图所示,一个单摆从
运动到
,角
与时间
满足函数关系式
,则当
时,角
的大小及单摆的摆动频率分别是(
)
A.
B.2,
C.
D.2,
5.（2021湖南长沙南雅中学高一月考）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量
（单位：辆/分钟）与时间
（单位：分钟）的函数关系式为
,则车流量增加的时间段是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2021福建宁德一中高一月考）如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界上最大的观景摩天轮,已知其旋转半径是60米,最高点距离地面135米,运行一周大约为30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约(
)
A.95米
B.100米
C.105米
D.110米
7.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数
来表示,已知6月份的月平均气温最高,为
月份的月平均气温最低,为
,则10月份的平均气温为
.
8.（2021江西南昌二中高一检测）如图所示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度
在某天
内的变化情况,则水面高度
关于从夜间0时开始的时间
的函数关系式为
.
9.（2021陕西西安庆安高级中学高一月考）某港口的水深
是时间
,单位：小时）的函数,下面是每天时间与水深的关系表：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
10
13
9.9
7
10
13
10.1
7
10
经过长期观测,
可近似看成函数
）.
（1）根据以上数据,求出
的解析式;
（2）若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？
素养提升练
10.在两个弹簧上各有一个质量分别为
和
的小球做上下自由振动．已知它们在时间
离开平衡位置的位移
和
分别由
确定,则当
时,
与
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.不能确定
11.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间
,纵轴表示振动的位移
,则这个振子振动的函数解析式是
.
12.国际油价在某一段时间内呈现正弦波动规律:
的单位:美元,
的单位:天,
）,现获取到下列信息:最高油价为80美元,当
时达到最低油价,则
的最小值为
.
13.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律：
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
已知入住客栈的游客人数
与月份
之间的关系可用函数
近似描述.
（1）求该函数的解析式;
（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
创新拓展练
14.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距
,低潮时水的深度为
,高潮时为
,其中有一次高潮发生的时间是10月10日4：00.每天涨潮落潮时,水的深度
与时间
近似满足关系式
（其中
）.
（1）若从10月10日0：00时开始计算时间,求该港口的水深
和时间
之间的函数关系式;
（2）10月10日17：00时,该港口水深约为多少？（精确到
,参数数据：
）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于
?
章末总结
体系构建
题型整合
题型1
同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用
例1
已知
.
（1）化简
;
（2）若
,且
,求
的值;
（3）若
,求
的值.
方法归纳
1.牢记两个基本关系式
及
，并能应用这两个关系式进行三角函数的化简、求值、证明．
2．诱导公式可概括为
的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.
迁移应用
1.（2021湖南长沙雅礼中学高一月考）已知
,则
.
题型2
三角函数的图象与性质
例2（1）函数
图象的对称轴方程可能是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）函数
在
上的图象大致为(
)
A.B.C.D.
（3）若
是偶函数,则
的值为
.
方法归纳
正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.
迁移应用
2.设函数
.
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间;
（2）求函数
在区间
上的最小值和最大值,并求出取得最值时
的值.
题型3
两角和与差的正弦、余弦与正切公式、二倍角公式的应用
例3
（2021辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若
,则
.
例4
求证：
.
方法归纳
1.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”．
2.三角恒等式证明的常用方法：
（1）执因索果法：证明的形式一般为化繁为简;
（2）左右归一法：证明左、右两边都等于同一个式子;
（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;（4）比较法：设法证明“左边
右边
”或“左边/右边
”;
（5）分析法：从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到得到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
迁移应用
3.已知
,则
的值为
.
4.
.
题型4
三角恒等变换的综合应用
例5
（2021吉林辽源高一月考）已知函数
.
（1）求函数
的单调递增区间;
（2）当
时,求函数
的最大值及相应的
的值.
方法归纳
利用二倍角公式降幂,利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为
的形式,然后把
看作一个整体,利用正弦（余弦）函数的性质求解.
迁移应用
5.（2021贵州铜仁高一月考）已知函数
.
（1）求
的最小正周期和单调递减区间;
（2）若
为
的一个零点,求
的值.
题型5
函数y=Asin（ω
x+φ）性质的应用
例6
（2021四川泸县第四中学高一月考）函数
的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(
)
A.函数
在区间
上单调递增
B.函数
的最小正周期为
C.函数
的图象关于点
对称
D.函数
的图象可以由
的图象向右平移
个单位长度得到.
方法归纳
根据函数的图象求解析式,先由图象的最高点、最低点确定
的值,根据函数的周期确定
的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定
的值．进行函数图象平移变换时,应注意“左加右减”.
迁移应用
6.（多选）（2021江苏苏州星海中学高一调研）把函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数
的图象,对于函数
有以下四个判断,其中正确的有(
)
A.
B.函数
的图象关于点
对称
C.函数
在
上是增函数
D.若函数
在
上的最小值为
,则
题型6
三角函数的实际应用
例7
如图所示,一条直角走廊宽2米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形
,它的宽为1米.直线
分别交直线
于
两点,过墙角
作
于点
于点
,且
.
（1）若平板车卡在直角走廊内,试求平板面
的长（用
表示）;
（2）若平板车想顺利通过直角走廊,其长度（设为
）不能超过多少米?
方法归纳
在三角函数的实际应用中,要根据题干信息构造三角函数式,在一个三角函数式中同时含有
时,需要用换元法求解,应注意新元的取值范围
迁移应用
7.如图,某动物种群数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．
（1）求出种群数量
关于时间
的函数表达式;（其中
以年初以来的月为计量单位）
（2）估计当年3月1日该动物种群数量.
高考链接
1.（2020课标Ⅱ,2,5分）若
为第四象限角,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020课标Ⅰ,7,5分）设函数
在
的图象大致如图,则
的最小正周期为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020课标Ⅰ,9,5分）已知
,且
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020新高考Ⅰ,10,5分）如图是函数
的部分图象,则
(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2020天津,8,5分）已知函数
.给出下列结论：
①
的最小正周期为
;
②
是
的最大值;
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度,可得到函数
的图象.
其中所有正确结论的序号是(
)
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
6.（2018天津,6,5分）将函数
的图象向右平移
个单位长度,所得图象对应的函数(
)
A.在区间
上单调递增
B.在区间
上单调递减
C.在区间
上单调递增
D.在区间
上单调递减
7.（2019课标Ⅱ,9,5分）下列函数中,以
为周期且在区间
单调递增的是(
)
A.
B.
C.
D.
8.（2019课标Ⅰ,5,5分）函数
在
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
9.（2019天津,7,5分）已知函数
是奇函数,将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图象对应的函数为
.若
的最小正周期为
,且
,则
(
)
A.-2
B.
C.
D.2
10.（2020北京,14,5分）若函数
的最大值为2,则常数
的一个取值为
.
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5.7
三角函数的应用
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解三角函数的性质.
2.掌握三角函数的实际应用.
1.直观想象——会用三角函数图象的性质解决实际问题.2.数学运算——会用三角恒等变换解决相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
简谐运动
在物理学中,把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数
表示,其中
.
要点二
描述简谐运动的物理量
就是这个简谐运动的①
振幅
,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是
,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的②
时间
；
这个简谐运动的顿率由公式
给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的③
次数
；
称为④
相位
；
时的相位
称为⑤
初相
.
自主思考
1.
的周期是多少？
答案：提示
，故周期为8.
2.
的相位、初相
答案：提示
相位是
，初相是
.
互动探究·关键能力
探究点一
三角函数模型的实际应用
精讲精练
例
已知某海滨浴场的海浪高度
（米）是时间
（时）的函数,其中
,记
,下表是某日各时的浪高数据:
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,
的图象可近似地看成是函数
的图象.
（1）根据以上数据,求函数
的解析式及其最小正周期、振幅；
（2）根据规定,当海浪高度大于1米时该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,请依据（1）中的结论,判断一天内从8:00到20:00之间,有多少时间可对冲浪爱好者开放.
答案：（1）由题表中的数据可知,
,所以
.
因为
时,
,所以
,又
时,
,所以
,所以
,
所以函数的解析式为
.
（2）因为当
时,该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,
所以
,即
,所以
,即
.又
,所以
或
或
,
所以在规定时间内只有6个小时对冲浪爱好者开放.
解题感悟
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模
迁移应用
1.某实验室一天的温度（单位：
）随时间
（单位：
）的变化近似满足函数关系：
.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于
,则在哪段时间内实验室需要降温？
答案：（1）因为
,
,所以
,
所以
.
当
时,
；
当
时,
.
所以
在
上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天内的最高温度为
,最低温度为
,最大温差为
.
（2）依题意,当
时实验室需要降温.
由（1）得
,
故有
,
即
.
所以
,又
,所以
.
故在10时至18时内实验室需要降温.
探究点二
三角函数在物理中的应用
精讲精练
例
单摆从某点开始来回摆动,已知离开平衡位置的位移
（单位:
）和时间
（单位:
）的函数关系式为
.
（1）作出函数的图象；
（2）当单摆开始摆动
时,离开平衡位置的位移是多少?
（3）当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4）单摆来回摆动一次需要多长时间?
答案：（1）函数的图象如图所示.
（2）当
时,
,
所以此时离开平衡位置的位移是
.
（3）当单摆摆动到最右边时,
有最大值6,即此时离开平衡位置的位移是
.
（4）因为
,
所以单摆来回摆动一次所需的时间为
.
解题感悟
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
迁移应用
1.交流电的电压
（单位:
）与时间
（单位:
）的关系可用
来}表示,求:
（1）开始
时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
答案：（1）当
时,
,
即开始时的电压为
.
（2）
,即电压值重复出现一次的时间间隔为
.
（3）电压的最大值为
,
当
,即
时第一次取得最大值.
评价检测·素养提升
1.下图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是(
)
A.该质点的振动周期为
B.该质点的振幅为
C.该质点在
和
时的振动速度最大
D.该质点在
和
时的加速度为零
答案：
2.电流强度
与时间
的函数关系式为
,其在一个周期内的函数图象如图所示,则该函数的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题图可知,
,所以
,
所以
.将点
代入,得
,即
,解得
,令
,得
,所以
.故选C.
3.当心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.健康成年人的收缩压和舒张压的范围一般为90~140
和60~90
.设某人的血压满足函数
,其中
为血压
,
为时间
,则函数
的周期为
；此人每分钟心跳的次数为
.
答案：
;
80
4.如图,某市拟在长为
的道路
的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段
,该曲线段为函数
的部分图象,且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段
.为保证参赛运动员的安全,限定
.求
的值和
两点间的距离．
答案：
连接
(图略).依题意,有
,
所以
,又
,所以
,
所以
.
当
时,
,所以
.又
,所以
,即
两点相距
.
素养演练
数学建模——三角函数模型的实际应用
1.一半径为
的水轮如图所示,水轮圆心
距离水面
.已知水轮按逆时针方向匀速转动,每
转一圈,如果当水轮上点
从水中浮现时(图中点
)开始计算时间.
（1）试建立适当的坐标系,将点
距离水面的高度
表示为时间
的函数;
（2）点
第一次到达最高点大约需要多长时间?
（3）记
,求证:
为定值.
解析：审：以水轮旋转为背景,需要将点
距离水面的高度
表示为时间
的函数,再求解点
第一次到达最高点大约需要的时间,最后证明
为定值.
联：
（1）建立平面直角坐标系,设
,根据条件求出参数;
（2）用正弦函数的性质求解点
第一次到达最高点需要的时间;
（3）将
代入
的解析式中,并证明.
答案：（1）解：根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系.
设
,则
①2,
②1,
因为
,所以
,所以
,
因为
时,
,所以
,解得
,
因为
,所以
,
所以
③
.
（2）令
,得
,
所以
,解得
,
所以当
④0时,点
第一次到达最高点,
所以点
第一次到达最高点大约需要
.
（3）证明：由（1）知
,
⑤
,
,
所以
⑥3,
即
为定值.
解析：思：数学建模的步骤：发现问题、提出问题;分析问题、建立模型;确定参数、计算求解;验证结果、改进模型.
迁移应用
1.（2021江苏淮安高一期末）如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图,该摩天轮近似看作半径为
的圆,圆上最低点
与地面的距离为
,摩天轮每60秒匀速转动一圈,摩天轮上某点
的起始位置在最低点
处.图中
与地面垂直,以
为始边,逆时针转动
角到
,设
点与地面间的距离为
.
（1）求
关于
的函数解析式;
（2）设从
开始转动,经过
秒后到达
,求
与
之间的函数关系式;
（3）如果离地面高度不低于
才能获得最佳观景效果,在摩天轮转动的一圈内,有多长时间
点在最佳观景效果的高度上？
答案：（1）以圆心
为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则以
为始边,
为终边的角为
,
故点B的坐标为
,
所以
.
（2）点
在圆上转动的角速度是
,故t秒转过的弧度数为
,
所以
）.
（3）由
,
解得
,
所以
,
则
,
故在摩天轮转动的一圈内,B点在最佳观景效果的高度上持续的时间为20秒.
课时评价作业
基础达标练
1.下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过
个周期后,乙将移至(
)
A.
轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
答案：
2.如图为一直径为
的水轮,水轮圆心
距水面
,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点
到水面的距离
与时间
满足关系
（其中
表示
在水面下,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2021山东济宁高一检测）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式
,据此可知,这段时间水深（单位：米）的最大值为(
)
A.5
B.6
C.8
D.10
答案：
4.如图所示,一个单摆从
运动到
,角
与时间
满足函数关系式
,则当
时,角
的大小及单摆的摆动频率分别是(
)
A.
B.2,
C.
D.2,
答案：
5.（2021湖南长沙南雅中学高一月考）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量
（单位：辆/分钟）与时间
（单位：分钟）的函数关系式为
,则车流量增加的时间段是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：令
,得
.
因为
,所以当
时,函数
的单调递增区间为
,当
时,函数
的单调递增区间为
.
因为
,所以车流量在时间段
内是增加的,故选C.
6.（2021福建宁德一中高一月考）如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界上最大的观景摩天轮,已知其旋转半径是60米,最高点距离地面135米,运行一周大约为30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约(
)
A.95米
B.100米
C.105米
D.110米
答案：
解析：设人在摩天轮上距离地面的高度（米）与时间
（分钟）的函数关系为
,
由题意可知
,所以
,
即
,
因为
,
所以
,故
,
所以
,
所以
.故选C.
7.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数
来表示,已知6月份的月平均气温最高,为
月份的月平均气温最低,为
,则10月份的平均气温为
.
答案：
20.5
8.（2021江西南昌二中高一检测）如图所示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度
在某天
内的变化情况,则水面高度
关于从夜间0时开始的时间
的函数关系式为
.
答案：
9.（2021陕西西安庆安高级中学高一月考）某港口的水深
是时间
,单位：小时）的函数,下面是每天时间与水深的关系表：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
10
13
9.9
7
10
13
10.1
7
10
经过长期观测,
可近似看成函数
）.
（1）根据以上数据,求出
的解析式;
（2）若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？
答案：（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13,最小值为7,
所以
则
,
且相隔12小时达到一次最大值,说明周期为12,因此
,
故
.
（2）要想船舶安全,必须
,即
,
所以
,所以
,解得
,
当
时,
;当
时,
.故船舶能安全进出该港的时间段为1:00至5:00,13:00至17:00,共8个小时.
素养提升练
10.在两个弹簧上各有一个质量分别为
和
的小球做上下自由振动．已知它们在时间
离开平衡位置的位移
和
分别由
确定,则当
时,
与
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.不能确定
答案：
解析：当
时,
故
11.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间
,纵轴表示振动的位移
,则这个振子振动的函数解析式是
.
答案：
解析：
由题图可设
,则
,所以
,所以
,
将
代入
中,得
,
所以
,即
,令
,得
,所以
.
12.国际油价在某一段时间内呈现正弦波动规律:
的单位:美元,
的单位:天,
）,现获取到下列信息:最高油价为80美元,当
时达到最低油价,则
的最小值为
.
答案：
解析：
因为
的最大值为80,
,所以
,
当
时达到最低油价,即
,
此时
,
因为
,所以当
时,
取得最小值,
所以
,解得
.
13.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律：
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
已知入住客栈的游客人数
与月份
之间的关系可用函数
近似描述.
（1）求该函数的解析式;
（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
答案：
（1）由①得最小正周期
,所以
.
由②得
最小,
最大,且
.由③得
在
,
上单调递增,且
,所以
,
所以
解得
又
最小,
最大，所以
因为
,所以
,
所以
（2）由
，得
所以
,
解得
，
因为
且
,所以
即6月,7月,8月,9月,10月这五个月份要准备不少于400人的用餐.
创新拓展练
14.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距
,低潮时水的深度为
,高潮时为
,其中有一次高潮发生的时间是10月10日4：00.每天涨潮落潮时,水的深度
与时间
近似满足关系式
（其中
）.
（1）若从10月10日0：00时开始计算时间,求该港口的水深
和时间
之间的函数关系式;
（2）10月10日17：00时,该港口水深约为多少？（精确到
,参数数据：
）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于
?
答案：
（1）依题意知
,
故
,
,所以
,
因为
时,
,所以
,
所以
,所以
.
（2）
时,
,即该港口的水深约为
.
（3）令
,
则
,
因此
,
所以
,
所以
.
令
,得
;
令
,得
.
故这一天共有
的时间水深低于
.
章末总结
体系构建
题型整合
题型1
同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用
例1
已知
.
（1）化简
;
（2）若
,且
,求
的值;
（3）若
,求
的值.
答案：
（1）
.
（2）由
可知,
,
因为
,所以
,
即
,
所以
.
（3）因为
,
所以
.
方法归纳
1.牢记两个基本关系式
及
，并能应用这两个关系式进行三角函数的化简、求值、证明．
2．诱导公式可概括为
的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.
迁移应用
1.（2021湖南长沙雅礼中学高一月考）已知
,则
.
答案：
解析：
因为
,
所以
,
所以
,
所以
.
题型2
三角函数的图象与性质
例2（1）函数
图象的对称轴方程可能是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）函数
在
上的图象大致为(
)
A.B.C.D.
（3）若
是偶函数,则
的值为
.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：
（1）令
,得
,
令
,得该函数图象的一条对称轴为直线
.
（2）因为函数
为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除B.
当
时,
,所以排除
.
,所以排除
,
故选C.
（3）若
为偶函数,
则
,
所以
.
因为
,所以
.
方法归纳
正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.
迁移应用
2.设函数
.
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间;
（2）求函数
在区间
上的最小值和最大值,并求出取得最值时
的值.
答案：（1）函数
的最小正周期
,
由
得,
,所以函数
的单调递增区间是
.
（2）令
,则由
可得
,所以当
,即
时,
,当
即
时,
.
题型3
两角和与差的正弦、余弦与正切公式、二倍角公式的应用
例3
（2021辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若
,则
.
答案：
解析：
由已知得
,
所以
.
例4
求证：
.
答案：证明
左边
右边,
所以原等式成立.
方法归纳
1.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”．
2.三角恒等式证明的常用方法：
（1）执因索果法：证明的形式一般为化繁为简;
（2）左右归一法：证明左、右两边都等于同一个式子;
（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;（4）比较法：设法证明“左边
右边
”或“左边/右边
”;
（5）分析法：从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到得到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
迁移应用
3.已知
,则
的值为
.
答案：
解析：因为
,所以
,因为
,
所以
,即
.
又
,所以
,
所以
,
所以
.
4.
.
答案：
解析：
原式
.
题型4
三角恒等变换的综合应用
例5
（2021吉林辽源高一月考）已知函数
.
（1）求函数
的单调递增区间;
（2）当
时,求函数
的最大值及相应的
的值.
答案：
（1）
,
令
,
得
,
所以
的单调递增区间为
.
（2）由
可得
,
所以当
,即
时,
取得最大值,最大值为2.
方法归纳
利用二倍角公式降幂,利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为
的形式,然后把
看作一个整体,利用正弦（余弦）函数的性质求解.
迁移应用
5.（2021贵州铜仁高一月考）已知函数
.
（1）求
的最小正周期和单调递减区间;
（2）若
为
的一个零点,求
的值.
答案：
（1）
则
的最小正周期
.
令
得,
,
所以函数
的单调递减区间为
.
（2）若
,则
即
,
因为
,所以
,所以
,
所以
题型5
函数y=Asin（ω
x+φ）性质的应用
例6
（2021四川泸县第四中学高一月考）函数
的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(
)
A.函数
在区间
上单调递增
B.函数
的最小正周期为
C.函数
的图象关于点
对称
D.函数
的图象可以由
的图象向右平移
个单位长度得到
答案：
解析：由题图可得
,所以
,由
,得
,
因为
的图象过
两点,
所以
,又
,
所以当
时,
,
所以函数
.
由
,解得
,当
时,
的单调递增区间为
,所以A中说法错误;
函数
的最小正周期
,所以B中说法错误;
由
得,
,当
时,
,所以
图象的一个对称中心为
,所以C中说法错误;
因为
,所以函数
的图象可以由
的图象向右平移
个单位长度得到,所以D中说法正确.故选D.
方法归纳
根据函数的图象求解析式,先由图象的最高点、最低点确定
的值,根据函数的周期确定
的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定
的值．进行函数图象平移变换时,应注意“左加右减”.
迁移应用
6.（多选）（2021江苏苏州星海中学高一调研）把函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数
的图象,对于函数
有以下四个判断,其中正确的有(
)
A.
B.函数
的图象关于点
对称
C.函数
在
上是增函数
D.若函数
在
上的最小值为
,则
答案：
;
解析：将函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象,
再将纵坐标伸长到原来的2倍得到
的}图象,所以A不正确;
,
所以函数
的图象关于点
对称,所以B正确;
由
,得
,
即函数
的单调增区间为
,
当
时,
的增区间为
,所以C不正确;
当
时,
,
故
,
所以当
,即
时,函数
取得最小值
,所以
,所以
,所以D正确.故选BD.
题型6
三角函数的实际应用
例7
如图所示,一条直角走廊宽2米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形
,它的宽为1米.直线
分别交直线
于
两点,过墙角
作
于点
于点
,且
.
（1）若平板车卡在直角走廊内,试求平板面
的长（用
表示）;
（2）若平板车想顺利通过直角走廊,其长度（设为
）不能超过多少米?
答案：
（1）由直角三角形中三角函数的定义得,
,
所以
.
（2）若平板车想顺利通过直角走廊,
则对任意角
,平板车的长度不能超过
的最小值.
设
,则
,
所以
,
因为
都是减函数,
所以当
时,
取得最小值
.
故若平板车想顺利通过直角走廊,则其长度不能超过
米.
方法归纳
在三角函数的实际应用中,要根据题干信息构造三角函数式,在一个三角函数式中同时含有
时,需要用换元法求解,应注意新元的取值范围
迁移应用
7.如图,某动物种群数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．
（1）求出种群数量
关于时间
的函数表达式;（其中
以年初以来的月为计量单位）
（2）估计当年3月1日该动物种群数量.
答案：
（1）设种群数量
关于时间
的解析式为
,
则
解得
.
又
,所以
,
所以
.
又当
时,
,
所以
,
即
,解得
,
因为
,所以
,
所以
.
（2）当
时,
,即当年3月1日该动物种群数量约是750.
高考链接
1.（2020课标Ⅱ,2,5分）若
为第四象限角,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
为第四象限角可得,
,
所以
,
此时
的终边落在第三、四象限及
轴的非正半轴上,所以
的值可正、可负、可为零,故选D.
2.（2020课标Ⅰ,7,5分）设函数
在
的图象大致如图,则
的最小正周期为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题图可得,函数
的图象过点
,代入函数
的解析式可得,
,
又
是函数
的图象与
轴负半轴的第一个交点,所以
,解得
,所以函数
的最小正周期
,故选C.
3.（2020课标Ⅰ,9,5分）已知
,且
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
得,
,即
,解得
（舍去）
故选A.
4.（多选）（2020新高考Ⅰ,10,5分）如图是函数
的部分图象,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：由题图可知
,所以
,则
,所以A错误.
不妨取
,则
,当
时,
,所以
,解得
,则函数的解析式为
,故B、C正确.
又
,故D错误.故选BC.
5.（2020天津,8,5分）已知函数
.给出下列结论：
①
的最小正周期为
;
②
是
的最大值;
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度,可得到函数
的图象.
其中所有正确结论的序号是(
)
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
答案：
解析：因为
,所以
,故①中结论正确;
,故②中结论不正确;
将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度,得到
的图象,故③中结论正确.故选B.
6.（2018天津,6,5分）将函数
的图象向右平移
个单位长度,所得图象对应的函数(
)
A.在区间
上单调递增
B.在区间
上单调递减
C.在区间
上单调递增
D.在区间
上单调递减
答案：
解析：将
的图象向右平移
个单位长度,所得图象对应的函数解析式为
,当
,即
时,
单调递增,令
,则
,所以
在
上单调递增,故选A.
7.（2019课标Ⅱ,9,5分）下列函数中,以
为周期且在区间
单调递增的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：对于选项A,作出
的部分图象,如图1所示,则
在
上单调递增,且最小正周期
,故A正确.
对于选项B,作出
的部分图象,如图2所示,则
在
上单调递减,故B不正确.
对于选项C,因为
,所以其最小正周期
,故C不正确.
对于选项D,作出
的部分图象,如图3所示,显然
不是周期函数,故D不正确.故选A.
图1
图2
图3
8.（2019课标Ⅰ,5,5分）函数
在
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,所以
是奇函数.
又
,故选D.
9.（2019天津,7,5分）已知函数
是奇函数,将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图象对应的函数为
.若
的最小正周期为
,且
,则
(
)
A.-2
B.
C.
D.2
答案：
解析：因为
为奇函数,
所以
,
又
,所以
,
所以
,
则
.
由
的最小正周期
得,
,所以
.
又
,所以
,
所以
,
所以
,故选C.
10.（2020北京,14,5分）若函数
的最大值为2,则常数
的一个取值为
.
答案：
解析：
的最大值为2,
,解得
,
且
,
,
可取
.
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