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5.2
三角函数的概念
5.2.1
三角函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解三角函数的概念.
2.会求给定角的三角函数值.
3.掌握任意角三角函数在各象限的符号.
4.掌握公式一,并会熟练应用.
1.直观想象——会用三角函数的定义求给定角的三角函数值.会判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
2.数学运算——能用三角函数的定义解决相关问题.能熟练运用公式一解决相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
设
是一一个任意角
,它的终边
与单位圆相交于点
.
（1）把点
的纵坐标
叫做
的正弦函数,记作
,即
;
（2）把点
的横坐标
叫做
的余弦函数,记作①
,即
;
（3）把点
的纵坐标与横坐标的
叫做
的正切,记作②
,1即
.
要点二
三角函数
我们将正弦函数,余弦丽数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为:正弦函数
;余弦函数
;正切函数
,
③
.
要点三
诱导公式一
的角的同一三角函数的值④
.
⑤
,
⑥
,
⑦
,其中
.
自主思考
1.
可看作是
与
的乘积,这种说法对吗?
答案：提示
不表示
与
的乘积.
表示角
的正弦值,是-一个“
整体”.
2.三角函数值的大小与点
在角
终边上的位置是否有关?
答案：提示三角函数值是比值,
是一个实数,它的大小与点
在角
的终边上的位置无关,只与角
的终边的位置有关,即三角丽数值的大小只与角有关
3.若角
与
的终边相同，根据三角函数的定义，你认为
与
与
，
与
之间有什么关系？
答案：提示
.
名师点睛
1.在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点
,则对应角的三角函数值分别为
.
2.三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.
互动探究·关键能力
探究点一
根据三角函数的定义求三角函数值
精讲精练
例1
（1）已知角
的终边与单位圆的交点坐标为
,则下列表示正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）若角
的终边经过点
,则
,
,
.
解题感悟
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
（1）若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出该角的三角函数值．
（2）若已知角α的终边上一点
,
是单位圆上一点,则
（3）若已知角α的终边上一点
不是单位圆上一点,则先求
,再求
.
迁移应用
1.设
,角
的终边经过点
,则
的值等于
.
2.求
的正弦、余弦和正切值.
3.已知角
的终边经过点
,求
.
探究点二
三角函数的定义与参数问题
精讲精练
例
已知角
的终边过点
为坐标原点,且
.
（1）求实数
的值;
（2）求
的值.
解题感悟
当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
迁移应用
1.若
,且角
的终边经过点
,则点
的横坐标
是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021安徽蚌埠四校高一联考）若角
的终边上有一点
,且
,则
的值为
.
探究点三
三角函数值的符号
精讲精练
例1
已知点
在第三象限,则角
的终边在(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
例2
（多选）下列选项中,符号为负的是(
)
A.
B.
C.
D.
例3
若
,则
的终边在(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解题感悟
（1）先判断三角函数值的符号,再结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”判断角所在的象限;
（2）由三角函数值求出角
的取值范围,先将其写成
的形式,再判断角
的终边所在的象限.
迁移应用
1.若
,且
,则角
是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.判断下列各式的符号.
（1）
（2）
.
精讲精练
例
（1）已知
,则
.
（2）（2020山东济南高一期末）
.
解题感悟
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
（1）定形：将已知的任意角写成
的形式,其中
.
（2）转化：根据诱导公式一,转化为求角
的某个三角函数值.
（3）求值：若角为特殊角,则可以直接求出该角的三角函数值.
迁移应用
1.计算：
（1）
（2）
.
评价检测·素养提升
1.角
的终边上有一点
,则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.1
2.已知
,则角
的终边与单位圆的交点坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
3.点
位于第
象限.
4.已知角
的终边经过点
,且
,其中
,则
的值为
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021广东潮州高一期末）给出下列三角函数值：
①
;②
;③
.其中符号为负的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
2.（2021江苏扬州江都中学高一检测）在平面直角坐标系中,若角
的终边经过点
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021安徽六安第一中学高一检测）若角
的终边上有一点
,则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2020北京首都师范大学附中高一期末）“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.（多选）下列三角函数值的符号判断正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
6.
的值为
.
7.（2021江西宜春丰城九中高一检测）已知点
在第一象限,则在
内,
的取值范围是
.
8.计算下列各式的值：
（1）
（2）
.
素养提升练
9.（多选）已知扇形的半径为6,弧长为
,圆心角的绝对值为
,则下列结论正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
10.（2021北京中国人民大学附属中学高一月考）已知
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知角
的终边经过点
,且
,则实数
的取值范围是
.
12.已知角
的终边在直线
上,则
的值为
.
13.已知
,且
,求
的值.
创新拓展练
14.已知角
的终边上有一点
,且满足
,问：能否求出
的值？若能,求出其值;若不能,请说明理由.
方法感悟
已知角
的终边上一点
的坐标,则可先求出点
到原点的距离
,然后用三角函数的定义求解;当角
的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
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5.2
三角函数的概念
5.2.1
三角函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解三角函数的概念.
2.会求给定角的三角函数值.
3.掌握任意角三角函数在各象限的符号.
4.掌握公式一,并会熟练应用.
1.直观想象——会用三角函数的定义求给定角的三角函数值.会判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
2.数学运算——能用三角函数的定义解决相关问题.能熟练运用公式一解决相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
设
是一一个任意角
,它的终边
与单位圆相交于点
.
（1）把点
的纵坐标
叫做
的正弦函数,记作
,即
;
（2）把点
的横坐标
叫做
的余弦函数,记作①
,即
;
（3）把点
的纵坐标与横坐标的
比值
叫做
的正切,记作②
,1即
.
要点二
三角函数
我们将正弦函数,余弦丽数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为:正弦函数
;余弦函数
;正切函数
,
③
.
要点三
诱导公式一
终边相同
的角的同一三角函数的值④
相等
.
⑤
,
⑥
,
⑦
,其中
.
自主思考
1.
可看作是
与
的乘积,这种说法对吗?
答案：提示
不表示
与
的乘积.
表示角
的正弦值,是-一个“
整体”.
2.三角函数值的大小与点
在角
终边上的位置是否有关?
答案：提示三角函数值是比值,
是一个实数,它的大小与点
在角
的终边上的位置无关,只与角
的终边的位置有关,即三角丽数值的大小只与角有关
3.若角
与
的终边相同，根据三角函数的定义，你认为
与
与
，
与
之间有什么关系？
答案：提示
.
名师点睛
1.在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点
,则对应角的三角函数值分别为
.
2.三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.
互动探究·关键能力
探究点一
根据三角函数的定义求三角函数值
精讲精练
例1
（1）已知角
的终边与单位圆的交点坐标为
,则下列表示正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）若角
的终边经过点
,则
,
,
.
答案：（1）
（2）
;
;
解析：（1）因为角
的终边与单位圆的交点坐标为
,
所以
.故选C.
（2）因为
,
所以
,
所以
,
.
例2
求
的正弦、余弦和正切值.
答案：如图,在平面直角坐标系中,
作
,
易知
的终边与单位圆的交点坐标为
,
所以
.
解题感悟
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
（1）若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出该角的三角函数值．
（2）若已知角α的终边上一点
,
是单位圆上一点,则
（3）若已知角α的终边上一点
不是单位圆上一点,则先求
,再求
.
迁移应用
1.设
,角
的终边经过点
,则
的值等于
.
答案：
解析：因为
,角
的终边经过点
,所以点
与原点的距离
,故
,所以
.
2.求
的正弦、余弦和正切值.
答案：如图,在平面直角坐标系中,作
,易知
的终边与单位圆的交点坐标为
,所以
.
3.已知角
的终边经过点
,求
.
答案：当
时,
,
则
;
则
,
.
综上可知,当
时,
;
当
时,
.
探究点二
三角函数的定义与参数问题
精讲精练
例
已知角
的终边过点
为坐标原点,且
.
（1）求实数
的值;
（2）求
的值.
答案：（1）由题意知
,
所以
,
所以
,
整理得
显然
,
所以
.
（2）由题意及（1）知
,
所以
,
所以
,
.
解题感悟
当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
迁移应用
1.若
,且角
的终边经过点
,则点
的横坐标
是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,所以
,
又
所以
所以
.
2.（2021安徽蚌埠四校高一联考）若角
的终边上有一点
,且
,则
的值为
.
答案：
解析：因为角
的终边上有一点
,所以
,
因为
,所以
,所以
,解得
.
探究点三
三角函数值的符号
精讲精练
例1
已知点
在第三象限,则角
的终边在(
)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案：
解析：因为点
在第三象限,所以
所以
为第三象限角.故选C.
例2
（多选）下列选项中,符号为负的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
角的终边在第三象限,故
角的终边在第二象限,故
,其终边在第三象限,故
.故选ABD.
例3
若
,则
的终边在(
)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案：
解析：因为
,所以
,所以
.当
为偶数时,
是第一象限角;
当
为奇数时,
为第三象限角.
所以
是第一或第三象限角.
又因为
,所以
为第三象限角.故选C.
解题感悟
（1）先判断三角函数值的符号,再结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”判断角所在的象限;
（2）由三角函数值求出角
的取值范围,先将其写成
的形式,再判断角
的终边所在的象限.
迁移应用
1.若
,且
,则角
是(
)
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案：
2.判断下列各式的符号.
（1）
（2）
.
答案：（1）因为
角,
角分别为第二、三象限角,所以
.
于是
.
（2）因为
,所以3是第二象限角,所以
,
又
是第三象限角,所以
,
所以
.
探究点四
利用诱导公式一求值
精讲精练
例
（1）已知
,则
.
（2）（2020山东济南高一期末）
.
答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
,
所以
.
（2）
.
解题感悟
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
（1）定形：将已知的任意角写成
的形式,其中
.
（2）转化：根据诱导公式一,转化为求角
的某个三角函数值.
（3）求值：若角为特殊角,则可以直接求出该角的三角函数值.
迁移应用
1.计算：
（1）
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
评价检测·素养提升
1.角
的终边上有一点
,则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.1
答案：
2.已知
,则角
的终边与单位圆的交点坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.点
位于第
象限.
答案：四
4.已知角
的终边经过点
,且
,其中
,则
的值为
.
答案：
解析：因为
,所以
.
又角
的终边经过点
,
所以
,
显然
,所以
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021广东潮州高一期末）给出下列三角函数值：
①
;②
;③
.其中符号为负的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：
2.（2021江苏扬州江都中学高一检测）在平面直角坐标系中,若角
的终边经过点
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2021安徽六安第一中学高一检测）若角
的终边上有一点
,则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：根据三角函数的定义可得
,即
,故选C.
4.（2020北京首都师范大学附中高一期末）“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
解析：由
可得
,由
可得
,
所以“
”是“
”的充分不必要条件,故选A.
5.（多选）下列三角函数值的符号判断正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
;
;
.
6.
的值为
.
答案：
解析：如图所示,在平面直角坐标系中画出角
的终边.
设角
的终边与单位圆的交点为
,则
的坐标为
.
所以
,
所以
.
7.（2021江西宜春丰城九中高一检测）已知点
在第一象限,则在
内,
的取值范围是
.
答案：
解析：因为点
在第一象限,
所以
又
,
所以
在第一或第三象限,且
,
若
在第一象限,则
,故
;若
在第三象限,则
,故
.
综上,
的取值范围是
.
8.计算下列各式的值：
（1）
（2）
.
答案：（1）原式
.（2）原式
.
素养提升练
9.（多选）已知扇形的半径为6,弧长为
,圆心角的绝对值为
,则下列结论正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：由题意得圆心角的绝对值
,如图,设
的终边与单位圆交于点
,易得点
的横坐标与纵坐标分别为
,
由三角函数的定义得,
,
.故选AD.
10.（2021北京中国人民大学附属中学高一月考）已知
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,
所以
.故选A.
11.已知角
的终边经过点
,且
,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：因为点
在角
的终边上,
,所以
解得
,所以实数
的取值范围是
.
12.已知角
的终边在直线
上,则
的值为
.
答案：
0
解析：
设角
的终边上任意一点为
,则
.
当
时,
,
是第四象限角,
,
所以
.
当
时,
,
为第二象限角,
,
所以
.
综上,
.
13.已知
,且
,求
的值.
答案：
.
因为
,且
,
所以可设
的终边上一点为
,
所以
所以原式
.
创新拓展练
14.已知角
的终边上有一点
,且满足
,问：能否求出
的值？若能,求出其值;若不能,请说明理由.
解析：命题分析
本题是探究性问题,考查三角函数定义的运用,考查运算求解的能力,考查直观想象与数学运算的核心素养.
答题要领
先求
,再用三角函数的定义求
,进而确定点
的坐标,然后用三角函数定义求结论.
答案：详细解析
由题意得
则
.
因为
,所以
.
因为
,所以
或
.
当
时,点
的坐标为(1,3),角
为第一象限角,此时
;
当
时,点
的坐标为(-1,3),角
为第二象限角,此时
.
方法感悟
已知角
的终边上一点
的坐标,则可先求出点
到原点的距离
,然后用三角函数的定义求解;当角
的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
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人教A版（2019）
必修第一册
5.2三角函数的概念
5.2.1
三角函数的概念
学习目标
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
2.会利用相似关系，由角α终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.
3.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值.
4.理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模
新知学习
教材引入&任意角的三角函数定义
?
【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个
问题.如图，以单位圆的圆心为原点，
以射线OA为
轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P
射线OA从
轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向
旋转角α，终止位置为OP.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【探究】当
时，点P的坐标是什么？当
或
时，点P的坐标又是什么？给
定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
?
?
教材引入&任意角的三角函数定义
【分析】利用勾股定理可以发现，当
时，点P的坐标是
；当
或
时，点P的坐标分别是
和
，它们都是唯一确定的(如图).
?
?
?
【结论】一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无
论是横坐标
还是纵坐标
，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标
和
纵坐标
都是角α的函数.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
教材引入&任意角的三角函数定义
【定义】设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P
?
（1）把点P的纵坐标
叫做α的正弦函数，记作sinα，即
=sinα
（2）把点P的横坐标
叫做α的余弦函数，记作cosα，即
=cosα
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值
叫做α的正切，记作tanα，即
=tanα
(
).
?
?
?
?
?
?
?
可以看出，当
时，α的终边始终在y轴上，这时
，即此时tanα无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称
为正切函数.
?
?
?
?
=tanα
(
)
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
（3）正切函数：
?
?
?
角
实数
(角的弧度)
三角
函数值
【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数
（2）
是自变量，离开自变量
的sin,con,tan是没有意义的
（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的
位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.
?
?
【1】求
的正弦、余弦和正切值.
【解】在坐标系中作出∠AOB=
，易知∠AOB的
终边与单位圆的
交点坐标为
，所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
常见角的三角函数值
?
?
?
?
?
?
?
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无
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牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！
三角函数的定义域和函数值的符号
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【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
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因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
Y轴的负半轴重合；
又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0，
cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
即时巩固
诱导公式一
由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.
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公式一：
其中k∈Z
【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？
【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系：
即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；
反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因.
【启发】做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算.
【1】已知角α、β的顶点在原点，始边在
轴的正半轴上，终边关于
轴对称，
若角α的终边上有一点的坐标为
，则tanβ的值是多少？
【解】易知sinα=
，cosα=
.
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因为角α和角β的终边关于y轴对称，则
它们的正弦值相等，即sinα=sinβ
同时角α和角β的余弦值相反，
即cosβ=-cosα
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β
α
所以sinβ=
，cosβ=
，所以tanβ=
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即时巩固
【2】填表.
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即时巩固
【3】选择适当的条件填空
①sinθ＞0
②sinθ＜0
③cosθ＞0
④
cosθ＜0
⑤tanθ＞0
⑥tanθ＜0
(1)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
(2)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
(3)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
(4)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
①③或①⑤或③⑤或①③⑤
①④或①⑥或④⑥或①④⑥
②④或②⑤或④⑤或②④⑤
②③或②⑥或③⑥或②③⑥
即时巩固
随堂小测
1.(2021·牌头中学月考)已知角α的终边过点(－2,1)，则cos
α的值为
√
3.(2021·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则
A.tan
α＝1
B.sin
α＝－1
√
4.
若α是第二象限角，则点P(sin
α，cos
α)在
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin
α＞0，cos
α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
5.
已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin
α，cos
α，tan
α的值.
解 ①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
课堂小结
1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
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