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5.2.2 同角三角函数的基本关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系. 2.掌握由一个三角函数值求同角的另外两个三角函数值. 数学运算——会用同角三角函数的基本关系化简、求值和证明.
自主学习·必备知识
=① .当 ② 时,有 ,这就是说,同一角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切.
自主思考
1. 中，角 是不是任意角？
2.对任意角 ， 都成立吗？
名师点睛
1.平方关系中强调的是同一个角且是任意的,与角的表达形式无关．
2.若已知 中的一个,则利用方程思想进一步可以求得 的值,从而求出其余的三角函数值．
3.常用的等价变形
互动探究·关键能力
探究点一 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值
精讲精练
例 已知 ,且 是第二象限角,求 和 .
解题感悟
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）若已知 ，则可以先用公式 求得 的值,再用公式 求得 的值．
（2）若已知 ，则可以先用公式 求得 的值,再用公式 ，求得 的值．
（3）若已知 ，则可以用公式 ,与 联立,求得
（4）注意要根据角的终边所在的象限,判断三角函数的符号.
迁移应用
1.已知 是第三象限角,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
探究点二 齐次式求值
精讲精练
例 已知 ,求下列各式的值.
;
.
解题感悟
齐次式求值的方法技巧
（1）已知 可以求 或 的值,将分子、分母同时除以 或 ,化成关于 的式子,进而可以求值.
（2）求 的值,可看成其分母是1,利用 进行代替后,分子、分母同时除以 ,得到关于 的式子,进而可以求值.
迁移应用
1.已知 ,求下列各式的值.
（1） ;
（3） .
.
探究点三 利用同角三角函数的基本关系进行化简、证明
精讲精练
例 （1）化简 ,其中 为第三象限角;
求证：
解题感悟
（1）三角函数式的化简技巧:
①化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
③对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解或构造 ，以降低函数次数,达到化简的目的.
（2）证明三角恒等式的常用方法:
①直推法:从条件直推到结论.
②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明.
③换元法:把条件和要证明的式子的三角函数问题转化为代数问题,利用代数即可完成证明.
迁移应用
化简 ,其中 是第二象限角;
（2）求证： .
评价检测·素养提升
1.已知 ,且 ,则 等于( )
A. B. C. D.
2.若 为第三象限角,则 的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.（2021四川资阳阳安中学高一月考）已知 ,则 .
4.已知 ,则 的值为 .
5.（1）化简: ,其中 是第二象限角;
求证： .
素养演练
数学运算—— 之间的关系
1.已知 ,求 的值.
思：（1）在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件,本题就是灵活运用了平方关系,列方程组求出 ,使问题得解.
（2）求 的值,要注意判断它们的符号.
（3）解决此类问题常涉及以下三角恒等式：
① ;
② ;
③
④ .
上述三角恒等式告诉我们,若已知 中的任何一个,则另外两个式子的值均可求出.
迁移应用
1.已知 是方程 的两个根,且 ,求角 的值.
课时评价作业
基础达标练
1.化简： 的结果是( )
A. B. C. D.
2.若 ,则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知 ,且 ,则 等于( )
A. B. C. D.
4.已知 ,则 等于( )
A. B. C.2 D.-2
5.（2021江苏南京六校高一联考）计算： 的值为( )
A.1 B.-1 C. D.
6.（2021山东淄博高一期末）已知 是三角形的内角,若 ,则 的值为 .
7.在 中, ,则 .
8.已知 ,则 的值为 .
9.（2021重庆北碚江北中学高一月考）已知点 在角 的终边上,则 .
10.求函数 的最大值.
素养提升练
11.已知 是关于 的方程 的两根,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
12.（多选）下列命题是真命题的是( )
A.若 则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
13.（2021天津静海一中高一期末）若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为 .
14.（2021上海晋元高级中学高一月考）设 ,若 则 .
15.（1）已知 ,求 的值;
求证： .
创新拓展练
16.设 是第三象限角,试问：是否存在实数 ,使得 是关于 的方程 的两个根？若存在,求出实数 的值;若不存在,请说明理由.
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人教A版（2019） 必修第一册
5.2三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.理解同角三角函数的两个基本关系： .
2.会利用这个基本关系解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
教材引入&任意角的三角函数定义
【导入】因为三个三角函数都是由角的终边与单位圆的交点确定的，所以它们之间
必然有内在的关系.如图，设点P 是角α的终边与单位圆的交点，过P
作 轴的垂线，交 轴与M，则△OMP是直角三角形，且OP=1，由勾股定理有
也就是说，同一个角α的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切.
OM2+MP2=1，即 ，也就是
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角
函数的定义，当 时，有：
教材引入&任意角的三角函数定义
这两个公式称为同角三角函数的基本关系.
★ 基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，但
并不是不同的角这两个关系一定不成立，sin230°+cos2150°=1也成立，不过这
种关系不具有一般性.
★ “同角”指的是广义上的，与表达形式无关，30°和30°是同角，α和α也是同角
★ sin2α是(sinα)2的缩写，读作“sinα的平方”，不能写成sinα2
★ 等价变形：
知 一
求 二
基本关系的应用
【例1】已知 ，求 ， 的值.
【解】因为 ，所以α是第三或者第四象限角.
由 ，得 ，则 或
若α是第三象限角，则 ,所以
若α是第四象限角，则 ,所以
基本关系的应用
【例2】求证：
【证法一】由 知 ，所以 ，于是
【证法二】因为
且 ，
所以
基本关系的应用
【例3】已知 ，α为第三象限角，求 ， 的值.
【解】
由 ，得 ，则 或
又因为α是第三象限角，则 ,所以
所以
基本关系的应用
【例4】化简：
【解】
基本关系的应用
【例5】求证：
【证明】
左边=右边，得证
【题型1】利用弦切互化求值.
【例6】已知 ，求下列各式的值.
【解】由 ，得
即时巩固
【题型2】与 有关的求值.
【例7】已知 ，求下列各式的值.
【解】
即时巩固
【题型3】利用同角三角函数关系式证明恒等式.
【例8】已知 ，求证：
【证明】由 ，可得
即 ,也就是
整理得： ，即
展开得： ，即
即时巩固
【例9】化简：
【解】原式=
所以原式=
即时巩固
【证明】由题意可知 ，
所以sinA＞0，cosA＜0
联立①②解得：
所以
即时巩固
随堂小测
√
证明 方法一 (比较法——作差)
方法二 (比较法——作商)
课堂小结
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
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5.2.2 同角三角函数的基本关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系. 2.掌握由一个三角函数值求同角的另外两个三角函数值. 数学运算——会用同角三角函数的基本关系化简、求值和证明.
自主学习·必备知识
=① 1 .当 ② 时,有 ,这就是说,同一角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切.
自主思考
1. 中，角 是不是任意角？
答案：提示角 是任意角.
2.对任意角 ， 都成立吗？
答案：提示不都成立，若 ，则原式成立.
名师点睛
1.平方关系中强调的是同一个角且是任意的,与角的表达形式无关．
2.若已知 中的一个,则利用方程思想进一步可以求得 的值,从而求出其余的三角函数值．
3.常用的等价变形
互动探究·关键能力
探究点一 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值
精讲精练
例 已知 ,且 是第二象限角,求 和 .
答案：
因为 是第二象限角,所以 ,
所以 ,
故 .
解题感悟
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）若已知 ，则可以先用公式 求得 的值,再用公式 求得 的值．
（2）若已知 ，则可以先用公式 求得 的值,再用公式 ，求得 的值．
（3）若已知 ，则可以用公式 ,与 联立,求得
（4）注意要根据角的终边所在的象限,判断三角函数的符号.
迁移应用
1.已知 是第三象限角,且 ,则 ( )
A. B.
C. D.
答案：
解析：因为 是第三象限角,且 ,
所以
,
所以 ,
所以 .
探究点二 齐次式求值
精讲精练
例 已知 ,求下列各式的值.
（1） ;
（2）
（3） .
答案：（1）原式 .
（2）原式 .
（3）原式
.
解题感悟
齐次式求值的方法技巧
（1）已知 可以求 或 的值,将分子、分母同时除以 或 ,化成关于 的式子,进而可以求值.
（2）求 的值,可看成其分母是1,利用 进行代替后,分子、分母同时除以 ,得到关于 的式子,进而可以求值.
迁移应用
1.已知 ,求下列各式的值.
（1） ;
（2）
（3） .
答案： （1） .
（2）
.
（3）
.
探究点三 利用同角三角函数的基本关系进行化简、证明
精讲精练
例 （1）化简 ,其中 为第三象限角;
（2）求证：
答案： （1）因为 为第三象限角,
所以 ,
所以 .
则
.
（2）证明：因为左边 ,
右边
,
所以左边=右边,故原等式成立.
解题感悟
（1）三角函数式的化简技巧:
①化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
③对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解或构造 ，以降低函数次数,达到化简的目的.
（2）证明三角恒等式的常用方法:
①直推法:从条件直推到结论.
②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明.
③换元法:把条件和要证明的式子的三角函数问题转化为代数问题,利用代数即可完成证明.
迁移应用
（1）化简 ,其中 是第二象限角;
（2）求证： .
答案：（1）因为 是第二象限角,所以 .
故
=-1.
（2）证明：左边
右边,
所以原等式成立.
评价检测·素养提升
1.已知 ,且 ,则 等于( )
A. B. C. D.
答案：
2.若 为第三象限角,则 的值为( )
A.3B.-3C.1D.-1
答案：
3.（2021四川资阳阳安中学高一月考）已知 ,则 .
答案：
4.已知 ,则 的值为 .
答案：
解析：由已知得 ,
因为 ,所以 ,
解得 .
5.（1）化简: ,其中 是第二象限角;
（2）求证： .
答案：（1）因为 是第二象限角,所以 ,所以 ,所以
.
（2）证明：左边 右边,所以原等式成立.
素养演练
数学运算—— 之间的关系
1.已知 ,求 的值.
解析：审：已知 ,求其他三角函数式的值.
联：解题时先根据已知关系式求出 和 的取值范围,再求出角 的三角函数值,进而解决问题.
答案：解：因为 ,所以① ,（两边平方）
所以 .
又 ,所以 ,所以 ②＜0,
所以 .
因为 ,
所以 ,（注意符号）
所以 解得
所以 ④ ,（商数关系）
.
思：（1）在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件,本题就是灵活运用了平方关系,列方程组求出 ,使问题得解.
（2）求 的值,要注意判断它们的符号.
（3）解决此类问题常涉及以下三角恒等式：
① ;
② ;
③
④ .
上述三角恒等式告诉我们,若已知 中的任何一个,则另外两个式子的值均可求出.
迁移应用
1.已知 是方程 的两个根,且 ,求角 的值.
答案：由题意得,
代入 得,
,
因为 ,
所以 ,
即 ,所以 ,
所以 .
又因为 ,
所以 .
课时评价作业
基础达标练
1.化简： 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：
2.若 ,则 ( )
A.0B.1C.2D.3
答案：
3.已知 ,且 ,则 等于( )
A. B.
C. D.
答案：
4.已知 ,则 等于( )
A. B.
C.2D.-2
答案：
解析：因为 ,
所以
.
5.（2021江苏南京六校高一联考）计算： 的值为( )
A.1B.-1
C. D.
答案：
解析：
.
故选B.
6.（2021山东淄博高一期末）已知 是三角形的内角,若 ,则 的值为 .
答案：
解析：因为 ,
所以 ,
因为 ,且 ,
所以 ,
所以 的符号不确定,
所以 ,
所以 .
7.在 中, ,则 .
答案：
解析： 因为 ,所以 即 所以 （舍去）,所以 .
8.已知 ,则 的值为 .
答案： 3
解析：原式 .
9.（2021重庆北碚江北中学高一月考）已知点 在角 的终边上,则 .
答案： 5
解析：因为点 在角 的终边上,所以 ,将原式的分子、分母同时除以 ,则原式 .
10.求函数 的最大值.
答案： 函数 .
令 则
当且仅当 时,函数取得最大值,最大值为6.
素养提升练
11.已知 是关于 的方程 的两根,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
答案：
解析：根据根与系数的关系及 是方程 的两根,
得 所以 ,
所以 ,解得 .故选B.
12.（多选）下列命题是真命题的是( )
A.若 则
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若 ,则
答案： ;
解析：当 时,由 即 ,所以 为假命题, 为真命题.
当 时,由 ,得 所以 即 所以 为假命题.
由 ,得
所以 即 所以 为真命题.
13.（2021天津静海一中高一期末）若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为 .
答案：
解析：
当且仅当 时,
所以 ,所以 .
14.（2021上海晋元高级中学高一月考）设 ,若 则 .
答案： 1
解析： 设 ,因为 ,
所以 所以
又 所以
又 则
所以
15.（1）已知 ,求 的值;
（2）求证： .
答案：（1）原式 .
（2）左边
右边,
所以原等式成立.
创新拓展练
16.设 是第三象限角,试问：是否存在实数 ,使得 是关于 的方程 的两个根？若存在,求出实数 的值;若不存在,请说明理由.
答案：假设存在实数m满足题意,由题意得, ,①
且 ,
所以 ,②
.③
又
所以 .
把②③代入上式得 ,
即 ,解得 .
不满足条件①,舍去;
不满足条件②,舍去.
故不存在满足题意的实数m.
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