中小学教育资源及组卷应用平台
5.3
诱导公式
加练课5
三角函数化简与求值的解题技巧
学习目标
1.进一步掌握三角函数定义的应用.
2.进一步掌握同角三角函数的基本关系的应用.
3.进一步掌握诱导公式的应用.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.
成立的条件是
为锐角.(
)
2.终边相同的角的同一三角函数值相等．(
)
3.若
，则
.(
)
4.对任意角
都成立.(
)
二、夯实基础，自我检测
5.已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2021四川成都树德中学高一检测）已知角
的终边过点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2020北京师范大学遵义附属学校高一检测）
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
8.
，则
的值为
.
9.若
，则
的值为
.
互动探究·关键能力
探究点一
用三角函数的定义求值
精讲精练
例1
已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合.若
是角
的终边上一点，
为坐标原点，且
，则
.
例2
利用三角函数的定义求
的正弦、余弦和正切值.
解题感悟
给出角α的终边上除原点处任意一点的坐标，利用定义可求出角α的三角函数值.
迁移应用
1.若角
的终边在直线
上，且
，又
是角
的终边上一点，
为坐标原点，且
，求
.
探究点二
利用同角三角函数的基本关系求值
精讲精练
类型1
用公式求值
例1
（1）若
，且
为第四象限角，则
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知
为第二象限角，则
.
解题感悟
利用
可实现
的正弦、余弦的互化，利用
可以实现角
的弦切互化.
类型2
齐次式问题
例2
（1）已知
，则
的值是
.
（2）已知
，则
.
类型3
利用sinα±cosα，sinαcosα之间的关系求值
例3
若
的内角
满足
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
已知
中的任何一个，另外两个式子的值均可求出，即“知一求二”.
迁移应用
1.已知
是第四象限角，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知
是第三象限角，且
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.
.
4.已知
，求：
（1）
的值;
的值;
（3）
的值.
探究点三
用诱导公式求值
精讲精练
类型1
诱导公式的直接应用
例1
（1）
.
（2）已知
，求
.
.
解题感悟
诱导公式是三角变换的基本公式，应用时要注意整体把握，灵活变通.
（1）公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题.
（2）公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数.
（3）公式二、四的作用在于把钝角或大于
的角的三角函数转化为
～90°之间的角的三角函数.
（3）公式五、六的作用在于把π2±α角的三角函数转化为角α的三角函数
类型2
“整体代换”的应用
例2
已知
，则
的值为
.
解题感悟
在分析数学问题时，运用常规思考方法，解题过程可能会显得非常复杂，同时运算量也很大，甚至难以求出结果.而如果运用整体代换思想进行分析，将一些未知量的关系视为整体，进行代换就可以使原本复杂的问题变得简单，提高解题效率.例如例2用三角函数公式直接求
的值较复杂，若把角
看作一个整体，求
、
，则使得运算过程更简洁.
迁移应用
1.设
，则
.
2.
.
3.已知
，则
的值是
.
探究点四
用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求值
精讲精练
例
设
是三角形的内角，且
和
是关于
的方程
的两个根．
（1）求
的值;
（2）求
的值.
解题感悟
利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数符号的影响.
迁移应用
1.已知
，则
.
评价检测·素养提升
1.（2020南昌一中高一月考）如果角
的终边过点
，那么
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020潍坊高一）设
是第二象限角，
为其终边上的一点，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020广西南宁第三中学高一月考）已知
，则
..
4.（2020吉林辽源第五中学高一月考）已知
，且
，则
.
素养演练
逻辑推理、数学运算——分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
1.已知
，求
的值.
素养探究：本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查运算求解的能力，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
迁移应用
1.化简：
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021安徽六安第一中学高一段考）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，若
是角
终边上的一点，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021四川成都玉林中学高一期末）已知角
的终边经过点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.1
3.（2021吉林四平第一高级中学高一检测）若角
的终边逆时针旋转
后经过点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2020广东深圳高一检测）若角
的终边落在直线
上，则
的值为(
)
A.-2
B.2
C.-2或2
D.0
5.（2021福建泉州高一检测）给出下列三角函数值：①
；②
；③
；④
．其中符号为负的是(
)
A.①②
B.②③
C.①③④
D.②③④
6.（多选）（2021江苏无锡高一检测）已知
，则(
)
A.当
时，上式的值为
B.当
时，上式的值为
C.当
时，上式的值为
D.当
时，上式的值为
7.（2021陕西咸阳高一检测）比较大小：
.
8.（2021山西大同高一检测）已知
是第一象限角，若
，则
.
9.已知
，且
，求
的值.
素养提升练
10.（2021湖北咸宁高一检测）已知
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2021湖南衡阳高一检测）如果
，那么
的值为
.
.
12.设
，求下列各式的值.
（1）
（2）
.
创新拓展练
13.（2021黑龙江双鸭山一中高一期中）已知关于
的方程
的两根分别为
和
，求：
（1）
的值；
的值；
方程的两根及
的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.3
诱导公式
第2课时
诱导公式五、六
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解诱导公式五、六.
2.掌握诱导公式五、六在化简、求值、证明问题中的应用.
1.逻辑推理——能用所学知识推导诱导公式五、六.
2.数学运算——能用诱导公式五、六化简、求值与证明.
自主学习·必备知识
要点一
诱导公式五
①
，
②
.
要点二
诱导公式六
③
④
自主思考
1.
与
的终边有什么样的位置关系？
答案：提示关于直线
对称.
2.诱导公式五、六中的三角函数的名称和符号是否变化？
答案：提示三角函数的名称改变，符号看角的终边所在的象限.
名师点睛
1.诱导公式中
是任意角，可以看成锐角，所以
可以看成第一象限角，
可以看成第二象限角.
2.运用诱导公式五、六解题时，先变名（即三角函数的名称改变），再定号（符号看角的终边所在的象限）.
3.常见的互余关系：
与
与
等；常见的互补关系：
与
与
等.
互动探究·关键能力
探究点一
化简求值
精讲精练
例
求
的值.
答案：原式
.
解题感悟
化简求值的方法与技巧
（1）方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式进行变形，从而解决问题.
（2）技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦.
迁移应用
1.已知
，求
的值.
答案：原式
.
因为
，
所以原式=16.
探究点二
三角恒等式的证明
精讲精练
例
求证：
.
答案：证明
左边
，所以原等式成立.
解题感悟
三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
迁移应用
1.求证：
.
答案：证明
左边
，所以原等式成立.
探究点三
诱导公式在三角形中的应用
精讲精练
例
（多选）在
中，下列表达式为常数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：
，所以
中表达式是常数；
，所以
中表达式是常数；
，
，所以
，
中表达式不是常数.
解题感悟
利用诱导公式解决三角形中的有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，又要注意三角形中的隐含条件（三角形内角和等于π）.
在△
中，常用到以下结论：
；
；
；
；
.
迁移应用
1.（2020黑龙江哈尔滨第三中学高一检测）已知
为锐角三角形，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
为锐角三角形，所以
，即
.
又
，所以
.
故选C.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
2.若
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
，得
，则
，
所以
.
3.（2021山东临沂高一期末）已知
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
答案：（1）因为
，
所以
，
所以
，所以
.
（2）
由（1）知
，所以原式
.
素养演练
数学运算——利用诱导公式求解三角函数值问题
1.若
，求
的值.
审：已知条件
，求与
有关的代数式的值.
联：根据已知条件，用诱导公式将所求代数式化简，并建立与
有关的关系式，然后求解.注意诱导公式的特点及三角函数值的符号.
解：原式
.
因为
，所以
，所以原式=10.
解析：思：利用诱导公式化简三角函数式应抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，并利用相关的公式进行变形，从而解决问题．
迁移应用
1.已知
是方程
的根，且
为第三象限角，求
的值.
答案：易知方程
的两根为
或
，
因为
，所以
.
又因为
为第三象限角，
所以
，
所以原式
.
课时评价作业
基础达标练
1.若
，且
，则
是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答案：
2.下列与
的值相等的式子为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
对于
；
对于
；
对于
；
对于
.故选D.
3.若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，所以
，
所以
.故选B.
4.已知
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
所以
.
5.（2021吉林四平第一高级中学高一月考）已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得
，
所以
，所以
，
所以
.故选A.
6.在
中，
，且
，则
.
答案：
7.已知
，且
为第四象限角，则
.
答案：
解析：因为
，所以
.
又
为第四象限角，所以
，
所以
.
8.已知
，则
.
答案：
解析：因为
，
，
所以
.
9.（2021河南新乡高一月考）求证：
.
答案：证明
左边
，
右边
，所以左边=右边，故原式得证.
10.已知
.
（1）求证：
;
（2）计算：
.
答案：（1）
.
证明：因为
，
所以
.
（2）因为
，
且
，
……
，
，
所以
.
素养提升练
11.（多选）（2020山东师范大学附属中学高一检测）已知角
，
，
是锐角三角形
的三个内角，则下列结论一定成立的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：因为角
，
，
是
的三个内角，所以
，又角
，
，
是锐角，所以
，故A中结论正确，D中结论错误.
由
可得，
，故B中结论正确.
因为
，所以
，
所以
，故C中结论正确.故选ABC.
12.（2021海南文昌高一检测）如图，
，
是单位圆
上的点，且
在第二象限，
是圆
与
轴的正半轴的交点，
点的坐标为
，则
，
.
答案：
;
解析：因为
点的坐标为
，所以
.
因为
所以
.
又点
在第二象限，
所以
，
故
.
13.已知
，求
的值.
解析：命题分析
本题考查同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合运用，考查运算求解的能力，分类讨论的数学思想，考查数学运算的核心素养.
答题要领
先利用诱导公式化简三角函数式，再根据
的值确定角
所在的象限，进而求得结果．
答案：
.
因为
，
所以
为第一或第二象限角.
①当
是第一象限角时，
，
原式
.
②当
是第二象限角时，
，
原式
.
综上可知，原式
或
.
方法感悟
三角函数运算是重要的数学运算，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．
创新拓展练
14.（多选）角
与
都是任意角，若满足
，则称
与
“广义互余”.已知
，则下列角
中，可能与角
“广义互余”的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：因为
，所以
，若
则
.
故
，故A满足.
若
，则
，又
，
所以
，故C满足.显然
不满足.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.3
诱导公式
第2课时
诱导公式五、六
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解诱导公式五、六.
2.掌握诱导公式五、六在化简、求值、证明问题中的应用.
1.逻辑推理——能用所学知识推导诱导公式五、六.
2.数学运算——能用诱导公式五、六化简、求值与证明.
自主学习·必备知识
要点一
诱导公式五
①
，
②
.
要点二
诱导公式六
③
④
自主思考
1.
与
的终边有什么样的位置关系？
2.诱导公式五、六中的三角函数的名称和符号是否变化？
名师点睛
1.诱导公式中
是任意角，可以看成锐角，所以
可以看成第一象限角，
可以看成第二象限角.
2.运用诱导公式五、六解题时，先变名（即三角函数的名称改变），再定号（符号看角的终边所在的象限）.
3.常见的互余关系：
与
与
等；常见的互补关系：
与
与
等.
互动探究·关键能力
探究点一
化简求值
精讲精练
例
求
的值.
解题感悟
化简求值的方法与技巧
（1）方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式进行变形，从而解决问题.
（2）技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦.
迁移应用
1.已知
，求
的值.
探究点二
三角恒等式的证明
精讲精练
例
求证：
.
解题感悟
三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
迁移应用
1.求证：
.
探究点三
诱导公式在三角形中的应用
精讲精练
例
（多选）在
中，下列表达式为常数的是(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
利用诱导公式解决三角形中的有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，又要注意三角形中的隐含条件（三角形内角和等于π）.
在△
中，常用到以下结论：
；
；
；
；
.
迁移应用
1.（2020黑龙江哈尔滨第三中学高一检测）已知
为锐角三角形，则(
)
A.
B.
C.
D.
评价检测·素养提升
1.已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021山东临沂高一期末）已知
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
素养演练
数学运算——利用诱导公式求解三角函数值问题
1.若
，求
的值.
解析：思：利用诱导公式化简三角函数式应抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，并利用相关的公式进行变形，从而解决问题．
迁移应用
1.已知
是方程
的根，且
为第三象限角，求
的值.
课时评价作业
基础达标练
1.若
，且
，则
是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.下列与
的值相等的式子为(
)
A.
B.
C.
D.
3.若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2021吉林四平第一高级中学高一月考）已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
6.在
中，
，且
，则
.
7.已知
，且
为第四象限角，则
.
8.已知
，则
.
9.（2021河南新乡高一月考）求证：
.
10.已知
.
（1）求证：
;
（2）计算：
.
素养提升练
11.（多选）（2020山东师范大学附属中学高一检测）已知角
，
，
是锐角三角形
的三个内角，则下列结论一定成立的有(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2021海南文昌高一检测）如图，
，
是单位圆
上的点，且
在第二象限，
是圆
与
轴的正半轴的交点，
点的坐标为
，则
，
.
13.已知
，求
的值.
方法感悟
三角函数运算是重要的数学运算，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．
创新拓展练
14.（多选）角
与
都是任意角，若满足
，则称
与
“广义互余”.已知
，则下列角
中，可能与角
“广义互余”的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：因为
，所以
，若
则
.
故
，故A满足.
若
，则
，又
，
所以
，故C满足.显然
不满足.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.3
诱导公式
第1课时
诱导公式二、三、四
课标解读
课标要求
素养要求
1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
2.掌握诱导公式二、三、四,并能运用诱导公式进行化简、求值与证明.
1.逻辑推理——会根据圆的对称性推导诱导公式二、三、四.
2.数学运算——会用诱导公式二、三、四进行化简、求值与证明.
自主学习·必备知识
要点一
诱导公式二
①
，
②
，
③
.
要点二
诱导公式三
④
，
⑤
，
⑥
要点三
诱导公式四
⑦
，
⑧
，
⑨
。
要点四
任意角三角函数转化为锐角三角函数
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
自主思考
1.锐角
的终边与
角的终边有何位置关系?
2.任意角
与
的终边有怎样的位置关系?
名师点睛
1.诱导公式二、三、四中，三角函数的名称不变，符号看角的终边所在的象限.
2.诱导公式中的
是任意角，可以看成锐角，所以
可以看成第三象限角，
可以看成第四象限角，
可以看成第二象限角.
互动探究·关键能力
探究点一
利用诱导公式求三角函数值
精讲精练
例求下列三角函数值.
；
；
（3）
.
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”——用公式一或三来转化.
（2）“大化小”——用公式一将角化为
到
之间的角.
（3）“小化锐”——用公式二或四将大于
的角转化为锐角.
（4）“锐求值”——得到锐角后求三角函数值.
迁移应用
1.已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.
.
探究点二
条件求值问题
精讲精练
例
已知
，则
的值为(
)
A.1
B.-1
C.
D.
解题感悟
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异与联系.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化或将所求式进行变形向已知式转化.
迁移应用
1.已知
，则
的值为
..
2.已知
，且
为第四象限角，则
的值为
.
探究点三
利用诱导公式化简、证明
精讲精练
例
（1）化简：
；
求证：
.
用诱导公式化简、证明三角等式的常用方法
①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
②切化弦（弦化切）：一般需将表达式中的正切函数（正弦、余弦函数）转化为正弦、余弦函数（正切函数）.
迁移应用
1.化简：
.
2.求证：
.
评价检测·素养提升
1.（2021江苏扬州江都中学高一测试）
(
)
A.
B.
C.
D.
2.如果
满足
，那么下列式子中正确的个数是(
)
①
；②
；③
；④
；⑤
A.1
B.2
C.3
D.4
3.（2021江西南昌八一中学高一检测）
的值是(
)
A.
B.
C
.
D.
4.
的值为
.
5.已知
，求
.
6.化简：
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021江苏盐城东台创新高级中学高一检测）下列等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021贵州铜仁伟才学校高一检测）在平面直角坐标系中，角
的终边与单位圆交于点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021广东佛山高一月考）若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2021山东潍坊高一检测）下列化简正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2021天津第八中学高一检测）如果
，且
，那么
(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2020天津静海一中高一期末）
.
7.设
，其中
均为非零常数.若
，则
等于
.
8.求证：
.
9.已知
.
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
的值；
（3）若
，求
的值.
素养提升练
10.已知
则
的值为(
)
A.1
B.-2
C.2
D.-1
11.已知
为整数，化简
所得结果是(
)
A.
B.
C.
D.
12.(2021湖南邵阳武冈第二中学高一月考)已知
，则
.
13.已知角
的终边上一点的坐标为
，则角
的最小正值为
.
14.已知
，求
的值.
创新拓展练
15.在
中，若
，求
的三个内角.
方法感悟
等式的性质：①等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；②等式两边同时乘或除以相等的数或式子，两边依然相等；③等式两边同时乘方或开方，两边依然相等.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.3
诱导公式
第1课时
诱导公式二、三、四
课标解读
课标要求
素养要求
1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
2.掌握诱导公式二、三、四,并能运用诱导公式进行化简、求值与证明.
1.逻辑推理——会根据圆的对称性推导诱导公式二、三、四.
2.数学运算——会用诱导公式二、三、四进行化简、求值与证明.
自主学习·必备知识
要点一
诱导公式二
①
，
②
，
③
.
要点二
诱导公式三
④
，
⑤
，
⑥
要点三
诱导公式四
⑦
，
⑧
，
⑨
要点四
任意角三角函数转化为锐角三角函数
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
自主思考
1.锐角
的终边与
角的终边有何位置关系?
答案：提示
角
与a的终边互为反向延长线.
2.任意角
与
的终边有怎样的位置关系?
答案：提示
与
的终边关于
轴对称.
名师点睛
1.诱导公式二、三、四中，三角函数的名称不变，符号看角的终边所在的象限.
2.诱导公式中的
是任意角，可以看成锐角，所以
可以看成第三象限角，
可以看成第四象限角，
可以看成第二象限角.
互动探究·关键能力
探究点一
利用诱导公式求三角函数值
精讲精练
例求下列三角函数值.
（1）
；
（2）
；
（3）
.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
.
解题感悟
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”——用公式一或三来转化.
（2）“大化小”——用公式一将角化为
到
之间的角.
（3）“小化锐”——用公式二或四将大于
的角转化为锐角.
（4）“锐求值”——得到锐角后求三角函数值.
迁移应用
1.已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.
.
答案：0
解析：原式
.
探究点二
条件求值问题
精讲精练
例
已知
，则
的值为(
)
A.1
B.-1
C.
D.
答案：
解析：因为
，所以
，所以
.故选D.
解题感悟
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异与联系.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化或将所求式进行变形向已知式转化.
迁移应用
1.已知
，则
的值为
.
答案：
解析：
.
2.已知
，且
为第四象限角，则
的值为
.
答案：
解析：因为
，且
是第四象限角，所以
是第三象限角，所以
.因为
，所以
.
探究点三
利用诱导公式化简、证明
精讲精练
例
（1）化简：
；
（2）求证：
.
答案：（1）原式
.
（2）证明：左边
，所以原等式成立.
解题感悟
用诱导公式化简、证明三角等式的常用方法
①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
②切化弦（弦化切）：一般需将表达式中的正切函数（正弦、余弦函数）转化为正弦、余弦函数（正切函数）.
迁移应用
1.化简：
.
答案：原式
.
2.求证：
.
答案：证明
左边，故原等式成立.
评价检测·素养提升
1.（2021江苏扬州江都中学高一测试）
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.如果
满足
，那么下列式子中正确的个数是(
)
①
；②
；③
；④
；⑤
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
3.（2021江西南昌八一中学高一检测）
的值是(
)
A.
B.
C
.
D.
答案：
4.
的值为
.
答案：2
解析：
原式
.
5.已知
，求
.
答案：
因为
，所以
，联立
解得
.又
，所以
，所以
.
6.化简：
.
答案：原式
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021江苏盐城东台创新高级中学高一检测）下列等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021贵州铜仁伟才学校高一检测）在平面直角坐标系中，角
的终边与单位圆交于点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2021广东佛山高一月考）若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（多选）（2021山东潍坊高一检测）下列化简正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：A选项，
，故A正确；B选项，
，故B正确；C选项，
，故C不正确；D选项，
，故D不正确.故选AB
5.（2021天津第八中学高一检测）如果
，且
，那么
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：依题意，
，由于
，
所以
，
所以
，
所以
.故选C.
6.（2020天津静海一中高一期末）
.
答案：1
7.设
，其中
均为非零常数.若
，则
等于
.
答案：1
解析：因为
，
所以
.
8.求证：
.
答案：证明
左边
右边，所以原等式成立.
9.已知
.
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
的值；
（3）若
，求
的值.
答案：（1）
.
（2）
，
.
又
是第三象限角，
.
（3）
，
.
素养提升练
10.已知
则
的值为(
)
A.1
B.-2
C.2
D.-1
答案：
解析：因为
，
，
所以
.
11.已知
为整数，化简
所得结果是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：若
，则
；
若
，则
.
综上，原式
.
12.(2021湖南邵阳武冈第二中学高一月考)已知
，则
.
答案：
解析：由题意可知，
，
根据三角函数的诱导公式可得，
.
13.已知角
的终边上一点的坐标为
，则角
的最小正值为
.
答案：
解析：因为
，
，
所以点
在第四象限.
又因为
，所以
，所以角
的最小正值为
.
14.已知
，求
的值.
答案：由
，得
，
所以
，
故
.
创新拓展练
15.在
中，若
，求
的三个内角.
解析：命题分析
本题考查诱导公式与同角三角函数的基本关系的综合运用，考查运算求解的能力，考查数学运算的核心素养.
答题要领
将已知等式两边平方、相加求
，进而可得角
的大小，逐个验证，用三角形内角和定理求角
，
.
答案：
由题意得
，
，两边平方后相加得
，解得
，
因为
，所以
.
当
时，
，
所以
，所以
，B均为钝角，不符合题意，舍去.
当
时，
，
所以
，所以
.
综上所述，
.
方法感悟
等式的性质：①等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；②等式两边同时乘或除以相等的数或式子，两边依然相等；③等式两边同时乘方或开方，两边依然相等.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.3
诱导公式
加练课5
三角函数化简与求值的解题技巧
学习目标
1.进一步掌握三角函数定义的应用.
2.进一步掌握同角三角函数的基本关系的应用.
3.进一步掌握诱导公式的应用.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.
成立的条件是
为锐角.(
×
)
2.终边相同的角的同一三角函数值相等．(
√
)
3.若
，则
.(
×
)
4.对任意角
都成立.(
×
)
二、夯实基础，自我检测
5.已知
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2021四川成都树德中学高一检测）已知角
的终边过点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
7.（2020北京师范大学遵义附属学校高一检测）
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
8.
，则
的值为
.
答案：
解析：因为
，
所以
所以
.
9.若
，则
的值为
.
答案：
解析：因为
，
所以
，
所以
，所以
互动探究·关键能力
探究点一
用三角函数的定义求值
精讲精练
例1
已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合.若
是角
的终边上一点，
为坐标原点，且
，则
.
答案：-8
解析：
且
，所以
，
易知
为第四象限角，所以
.
例2
利用三角函数的定义求
的正弦、余弦和正切值.
答案：如图所示，设
的终边与单位圆的交点为
，过
作
轴于点
，
在
中，
，则
，则
，所以
，
，
.
解题感悟
给出角α的终边上除原点处任意一点的坐标，利用定义可求出角α的三角函数值.
迁移应用
1.若角
的终边在直线
上，且
，又
是角
的终边上一点，
为坐标原点，且
，求
.
答案：因为
，且角
的终边在直线
上，所以角
的终边在第三象限，
又因为
为角
的终边上一点，所以
.
又因为
所以
所以
，
，
.
探究点二
利用同角三角函数的基本关系求值
精讲精练
类型1
用公式求值
例1
（1）若
，且
为第四象限角，则
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知
为第二象限角，则
.
答案：（1）
（2）0
解析：（1）因为
为第四象限角，
所以
，
所以
.故选D.
（2）原式
，
因为
是第二象限角，所以
，
所以
.故原式=0.
解题感悟
利用
可实现
的正弦、余弦的互化，利用
可以实现角
的弦切互化.
类型2
齐次式问题
例2
（1）已知
，则
的值是
.
（2）已知
，则
.
答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
，所以
.
（2）依题意得
，所以
，
所以
.
解题感悟
关于
，
的齐次式问题，一般化为关于
的式子进行求解.
类型3
利用sinα±cosα，sinαcosα之间的关系求值
例3
若
的内角
满足
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
为
的内角，且
，所以
为锐角，
所以
.又
，
所以
，故选A.
解题感悟
已知
中的任何一个，另外两个式子的值均可求出，即“知一求二”.
迁移应用
1.已知
是第四象限角，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.已知
是第三象限角，且
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
，得
所以
.
因为
是第三象限角，所以
，所以
.
3.
.
答案：1
4.已知
，求：
（1）
的值;
（2）
的值;
（3）
的值.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
.
探究点三
用诱导公式求值
精讲精练
类型1
诱导公式的直接应用
例1
（1）
.
（2）已知
，求
.
答案：（1）2
解析：（1）原式
.
答案：（2）
，
所以
.
解题感悟
诱导公式是三角变换的基本公式，应用时要注意整体把握，灵活变通.
（1）公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题.
（2）公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数.
（3）公式二、四的作用在于把钝角或大于
的角的三角函数转化为
～90°之间的角的三角函数.
（3）公式五、六的作用在于把π2±α角的三角函数转化为角α的三角函数
类型2
“整体代换”的应用
例2
已知
，则
的值为
.
答案：
解析：因为
，
所以
.
解题感悟
在分析数学问题时，运用常规思考方法，解题过程可能会显得非常复杂，同时运算量也很大，甚至难以求出结果.而如果运用整体代换思想进行分析，将一些未知量的关系视为整体，进行代换就可以使原本复杂的问题变得简单，提高解题效率.例如例2用三角函数公式直接求
的值较复杂，若把角
看作一个整体，求
、
，则使得运算过程更简洁.
迁移应用
1.设
，则
.
答案：
解析：因为
，
所以原式
.
2.
.
答案：-1
解析：原式
.
3.已知
，则
的值是
.
答案：0
解析：因为
，
，
所以
.
探究点四
用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求值
精讲精练
例
设
是三角形的内角，且
和
是关于
的方程
的两个根．
（1）求
的值;
（2）求
的值.
答案：（1）因为
和
是关于
的方程
的两个根，
所以由根与系数的关系得
将①式等号两边分别平方得
，
即
，解得
或
.当
时，
，
此等式显然不成立，故
.
（2）由
，
且
，得
，
又由（1）知
，所以
.
所以
.
解题感悟
利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数符号的影响.
迁移应用
1.已知
，则
.
答案：2
解析：因为
，
所以
，
所以原式
，
所以原式
.
评价检测·素养提升
1.（2020南昌一中高一月考）如果角
的终边过点
，那么
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020潍坊高一）设
是第二象限角，
为其终边上的一点，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020广西南宁第三中学高一月考）已知
，则
.
答案：
解析：设
，则
，
故
.
4.（2020吉林辽源第五中学高一月考）已知
，且
，则
.
答案：
解析：因为
，且
，
所以
，
所以
.
素养演练
逻辑推理、数学运算——分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
1.已知
，求
的值.
答案：当
时，
原式
；
当
时，
原式
.
综上，原式=-1.
素养探究：本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查运算求解的能力，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
迁移应用
1.化简：
.
答案：当
为奇数时，
原式
.
当
为偶数时，
原式
.
综上，原式=0.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021安徽六安第一中学高一段考）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，若
是角
终边上的一点，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021四川成都玉林中学高一期末）已知角
的终边经过点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.1
答案：
3.（2021吉林四平第一高级中学高一检测）若角
的终边逆时针旋转
后经过点
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（2020广东深圳高一检测）若角
的终边落在直线
上，则
的值为(
)
A.-2B.2
C.-2或2D.0
答案：
5.（2021福建泉州高一检测）给出下列三角函数值：①
；②
；③
；④
．其中符号为负的是(
)
A.①②B.②③C.①③④D.②③④
答案：
6.（多选）（2021江苏无锡高一检测）已知
，则(
)
A.当
时，上式的值为
B.当
时，上式的值为
C.当
时，上式的值为
D.当
时，上式的值为
答案：
;
;
解析：原式
.当
时，上式
，故选项A正确；
当
时，上式
，故选项B正确；
当
时，上式
，故选项C不正确；
当
时，上式
，故选项D正确，故选ABD.
7.（2021陕西咸阳高一检测）比较大小：
.
答案：＜
解析：因为
，
，所以
.
8.（2021山西大同高一检测）已知
是第一象限角，若
，则
.
答案：
解析：因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
，
又因为
为第一象限角，所以
，
，从而
.
9.已知
，且
，求
的值.
答案：因为
，所以
，解得
.
因为
，且
，
所以
，
所以
.
由
得
所以
.
素养提升练
10.（2021湖北咸宁高一检测）已知
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由诱导公式可知
，
又由
得，
，
所以
，
故
.故选
.
11.（2021湖南衡阳高一检测）如果
，那么
的值为
.
答案：0
解析：
.
12.设
，求下列各式的值.
（1）
（2）
.
答案：（1）
.
（2）
（2）
.
创新拓展练
13.（2021黑龙江双鸭山一中高一期中）已知关于
的方程
的两根分别为
和
，求：
（1）
的值；
（2）
的值；
（3）方程的两根及
的值.
答案：（1）
由题意得
.
（2）①式两边平方得,
，
所以
，
由②③得,
，所以
.
（3）因为
，
所以原方程为
，
解得
，
所以
或
又因为
，所以
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
5.3诱导公式
学习目标
1.借助单位圆的对称性利用定义推导诱导公式.
2.掌握三角函数的诱导公式.
3.能运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
?
?
?
?
?
?
?
?
【分析】以OQ为终边的角都是与角α+π终边相同的角，即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).
因此只需要研究角α+π和角α的三角函数关系即可.设P
，由对称
关系有Q
，根据三角函数的定义得
，
，
；
?
?
?
?
?
?
?
这就是公式二：
?
诱导公式二~四
【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？
【答】内容：
?
作用：把任意角的三角函数值转化为0~2π上角的三角函数值.
【回顾2】点P
关于
轴、
轴和原点的对称点是什么？
?
?
?
【答】关于
轴对称：
;
关于
轴对称：
;
关于原点对称：
?
?
?
?
?
【思考】通过公式一及公式二你有什么发现？
【答】
?
?
?
诱导公式二~四
【拓展】进一步，通过作出P点关于
轴的对称点和关于
轴的对称点，我们可以得出如下结论：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【公式三】
?
?
?
【公式四】
?
?
?
诱导公式二~四
【总结】对于公式一~四的概括：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值，在绝对值上
等于α的同名函数值，正负取决于把α看成锐角时
原函数值的符号.
即“函数名不变，符号看象限.”
【2】对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对
于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即
?
【3】诱导公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制
表示.
诱导公式二~四
【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？
【答】
?
?
?
【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.
【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由
新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在
第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα
诱导公式的应用
【例1】利用公式求下列三角函数的值.
【解】
?
?
?
?
?
?
?
?
?
诱导公式的应用
【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的
三角函数
用公式一
或公式三
任意正角的
三角函数
0~2π的角
的三角函数
用公式二
或公式四
锐角的
三角函数
用公式一
利用诱导公式化简的一般思路：
切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.
诱导公式的应用
【例2】化简
【解】因为
?
?
?
?
?
所以原式=
?
填表：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
诱导公式五~六
【问题1】
?
【分析】作角α的终边关于
的对称边，根据集合
对称关系，设P点坐标为
，则Q点坐标为
，由三角函数的定义有：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
同理我们有
?
?
诱导公式五~六
【总结1】公式五和公式六可以概括如下：
的正弦(余弦)函数值，分别等于角α的余弦(正弦)函数值，前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”
【总结2】六组诱导公式各有什么用？
?
公式一：将任意角转化成0~2π之间的角求值
公式二：将0~2π之间的角转化成0~π之间的角求值
公式三：将负角转化成正角求值
公式四：将
之间的角转化成
之间的角求值
?
公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化
六组诱导公式的横向对比
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
六组诱导公式的横向对比
【1】诱导公式都是α的三角函数与
的三角函数之间的转化，记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限
?
【2】“奇变偶不变”：角α前面的是
，如果
是
的奇数倍，那么得到的
三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果
是
的偶数倍，
那么得到的三角函数名不变化
?
【3】“符号看象限”：将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，
此时判断
所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号
是正还是负.
【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立
?
?
?
【例1】证明：
【证明】
?
?
?
?
即时巩固
【例2】已知
，且
，求
的值.
【分析】注意到(53°-α)+(37°+α)=90°，如果设β=
53°-α，γ=
37°+α，那
么β+γ=90°，所以可以利用诱导公式.
?
?
?
【解】设β=
53°-α，γ=
37°+α，则β+γ=90°，γ=90°-β.
所以sinγ=sin(90°-β)=cosβ
因为-270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°
由
，得143°＜β＜180°
?
所以
?
所以
?
即时巩固
随堂小测
1.已知tan
α＝4，则tan(π－α)等于
A.π－4
B.4
C.－4
D.4－π
解析 tan(π－α)＝－tan
α＝－4.
解析 sin
585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
3.(2021·牌头中学月考)利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
sin
x
－sin
x
5.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______.
解析 tan
600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
课堂小结
1.明确各诱导公式的作用
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
