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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握“五点法”,能画出正弦函数、余弦函数的图象.
2.了解正弦、余弦函数图象的区别与联系,掌握正、余弦函数图象的简单应用.
直观想象——会用正弦函数、余弦函数的图象解答问题.
自主学习·必备知识
要点一
正弦曲线
正弦函数的图象叫做①
正弦曲线
,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
要点二
余弦曲线
余弦函数
的图象叫做②
余弦曲线
.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
自主思考
1.在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点？
答案：提示
应抓住五个关键点：
.
2.如何画余弦函数的图象？
答案：提示
在平面直角坐标系中描出
的图象在
上的五个关键点：
,再用光滑的曲线将它们连接起来,将所得的图象不断向左、向右平移（每次移动
个单位长度）,就可得到余弦函数的图象.
名师点睛
1.“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点,这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法.
2.函数
的图象是函数
的图象的一部分.
函数
的图象是函数
的图象的一部分.
3.函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象.
互动探究·关键能力
探究点一
正弦曲线的应用
精讲精练
例
已知函数
的部分图象如图所示,完成下列各题.
（1）点
的坐标为
;
（2）
,
.
答案：（1）
（2）
;
解题感悟
先明确正弦曲线在[0,2π]上的五个关键点的坐标,再计算两点间的距离
迁移应用
1.已知函数
.
（1）计算
与
的值;
（2）若
,求
的值.
答案：
（1）
.
.
（2）若
,
则
,
结合图象（图略）得,
.
探究点二
利用“五点法”作函数图象
精讲精练
例
用“五点法”作出
的简图.
答案：
列表：
0
1
0
-1
0
1
3
2
1
2
3
答案：
描点并用光滑的曲线将它们连接起来,如图所示.
解题感悟
“五点法”作形如
（或
的图象时,其步骤如下:
（1）列表:取
（2）描点:将表中的点（
,
）标在平面直角坐标系内;
（3）连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
迁移应用
1.用“五点法”作出函数
的简图.
答案：
列表：
0
0
1
0
-1
0
1
3
1
-1
1
答案：在平面直角坐标系中描出这五个点：
,然后用平滑的曲线顺次连接起来,就得到
的图象.如图.
探究点三
函数图象的综合应用
精讲精练
类型1
与函数图象有关的交点问题
例1
已知函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意,得
画出函数的图象,如图.
由图象可知,
当
时,函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点.
解题感悟
函数式中含有绝对值符号,首先应去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,并画出函数图象,然后利用数形结合法平移直线
求得参数的取值范围.作图应准确,注意端点值是否满足条件
类型2
利用函数图象解不等式
例2（1）函数
的定义域为
.
（2）不等式
的解集为
.
答案：
（1）
（2）
解析：（1）由题意,得
即
作出
的图象,如图所示.
结合图象可得
.
（2）作出正弦函数
在
上的图象,作出直线
和
,如图所示.
由图可知,在
上,当
时,不等式
成立,
所以原不等式的解集为
解题感悟
（1）可以通过求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．注意端点值是否满足条件.
（2）利用三角函数图象解三角不等式
的步骤：
①作出相应的正弦函数（余弦函数）在[0,2π]上的图象．
②确定在[0,2π]上
的
的值．
③写出不等式在区间
上的解集．
④根据公式一写出定义域内的解集
迁移应用
1.使不等式
成立的
的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,
所以
,
作出
在
内的图象,如图所示,
由图可知满足条件的
,
所以使不等式成立的
的取值范围是
.
2.函数
的图象与直线
的交点坐标为
.
答案：
解析：
由
得
,
当
时,
,
所以交点坐标为
.
3.函数
的定义域为
.
答案：
解析：
要使函数有意义,则有
即
解得,
.
所以
.
所以函数的定义域为
.
评价检测·素养提升
1.正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差的最小值等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.方程
在
内(
)
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
答案：
解析：在同一直角坐标系内画出函数
和
的图象,可知函数
与
的图象有且只有两个公共点.
4.函数
的定义域是
.
答案：
解析：
要使函数有意义,
只需
,
即
.
画出余弦函数的部分图象如图,
易得所求定义域为
.
5.在
内用五点法作出
的简图.
答案：
按五个关键点列表：
0
0
1
0
-1
0
-1
-2
-1
0
-1
答案：描点并用光滑曲线连接起来,如图所示.
素养演练
数学建模——新定义函数的求解问题
1.（2020山东枣庄高一上期中）若定义运算
则函数
的值域是
.
答案：
解析：审：本题是通过新定义的公式,求函数的值域.
联：根据新定义将
用分段函数表示.
解：依题意,得函数
①
.在同一平面直角坐标系内分别画出正弦、余弦曲线,再比较两个函数的图象,上方的画成实线,下方的画成虚线,则实线部分即为
的图象,如图.
由函数图象,得
的值域是②
.
思：解这类问题的关键是用新定义将
转化为分段函数.根据正弦曲线和余弦曲线确定图象交点的位置,根据曲线的最低点和最高点求函数的值域,过程中体现了数学建模与直观想象的核心素养.
迁移应用
1.
（2021河南八市高一测评）定义
为实数
中的最大值,则函数
的值域为
.
答案：
解析：
在平面直角坐标系中画出函数
和
图象,如下图所示：
由定义可知,当取两个函数的最大值时,函数
的图象如下图所示：
由图象可知,函数
的值域为
课时评价作业
基础达标练
1.余弦曲线
的两个最高点之间的距离的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.函数
的图象与直线
有一个交点,则
的值为(
)
A.-1B.0或-2C.1D.2
答案：
解析：画出
的图象,如图.
依题意得
或
.
3.（多选）对于余弦函数
的图象,以下描述正确的是(
)
A.向左、右无限延伸
B.与
轴有无数个交点
C.与
的图象形状一样,只是位置不同
D.可由曲线
向右平移
个单位长度得到
答案：
;
;
4.函数
的图象中距离
轴最近的最高点的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：用五点法作出函数
的部分图象,如图所示,
由图易知距离
轴最近的最高点的坐标为
.
5.函数
的大致图象为(
)
A.B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得,
故选D.
6.（2021陕西榆林第十二中学高一月考）在
内,使
成立的
的取值范围是
.
答案：
解析：
在同一平面直角坐标系内作出正弦函数
与余弦函数
在
内的图象,如图,
由图可得,使
成立的
的取值范围是
.
7.（2021山东临沂一中高一月考）已知函数
,求函数
的零点.
答案：函数
的零点即方程
的根,即
的根,令函数
,则
,所以
或
,即函数
的零点为
.
8.用“五点法”作出函数
的图象.
答案：
列表：
0
0
1
0
-1
0
答案：描点、连线,如图.
素养提升练
9.方程
的根的个数为(
)
A.1B.2C.3D.4
答案：
解析：设
,在同一直角坐标系中画出
和
的图象,如图所示.
由图知
和
的图象有两个交点,则方程
有两个根.
10.函数
则不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数
和函数
的图象,如图所示,
当
时,函数
的图象位于函数
图象的上方,此时有
或
.
11.（2021黑龙江大兴安岭漠河一中高一月考）方程
在区间
内解的个数为
.
答案：
7
解析：
构造函数
,并作出它们的图象,如图：
由图象得函数
与
的图象在区间
内共有7个交点,
故方程
在区间
内有7个解.
12.函数
的定义域为
.
答案：
解析：
由题意,得x满足不等式组
即
作出
的部分图象,如图所示.
由图象可得
.
13.（2021安徽芜湖高一期末）若方程
在
上有两个实数根,求
的取值范围.
答案：
在同一平面直角坐标系中作出
和
的图象,
由图象可知,当
,即当
时,
的图象与
的图象有两个交点,即方程
在
上有两个实数根.
创新拓展练
14.若函数
的图象和直线
围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积．
解析：命题分析
本题考查余弦函数的图象的特征,考查数形结合思想、直观想象核心素养.
答题要领
根据余弦函数的图象,求
与
与
的关系,将求封闭图形的面积转化为求矩形
的面积.
答案：观察题中图象可知,图形
与
与
均是对称图形,有
,因此求函数
的图象与直线
所围成的图形的面积可以转化为求矩形
的面积.
因为
,所以
.
故所求封闭图形的面积为
.
方法感悟
根据余弦函数图象的对称性,将不规则图形割补为规则图形,从而将问题转化为求矩形
的面积.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
5.4三角函数的图象和性质
5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数图象的画法.
2.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.
3.通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给我们的学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
正弦函数的图像
【探究】首先我们研究
的图像，从画函数
开始.如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，
O
与
轴正
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上讲点A绕着点O旋转
弧度到点B，根据定义有
点B的纵坐标
.由此，以
为横坐标，
为纵坐标化点，即得到函数图像上的点
?
?
?
?
?
正弦函数的图像
【探究】若把
轴上
这一段分成12等份，让
的值分别为
…
，
它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按刚才画点
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
的方法，就可以画出自变量取这些值时，图像上对应函数值的点.
?
利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到
比较精确的函数
的图像.
?
?
?
?
?
正弦函数的图像
【探究】由诱导公式一
可知，每经过
个单位长度，函
数
会重复出现，所以只需将
内的函数图像不段复制平移
即可得到
的图像(几何画法).
?
?
?
?
?
几何画法的步骤：
建系画图
12等分圆
找横坐标
连线得图
找纵坐标
左右平移
?
?
?
五点画图法
【问题】在确定正弦函数的图像形状时，有哪些关键的点？
【答】观察图像可知，处于函数连接处和转折处的五个点起关键作用.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在非精确作图时，一般选取这五个点快速画出正弦函数的图像来解决问题.
?
五点画图法
【三种作图法的比较】
描点法
几何法
五点法
列表→描点→连线
利用单位圆在[0，2π]上取足够多的点连线
描最高点最低点,图像和坐标轴的三个交点
只能取近似值，误差较大
较为精确，但步骤繁琐
实用，高效
余弦函数的图像
【分析】对于函数
，由诱导公式
，得到
?
?
?
，而函数
的图像可以通过正弦
?
函数
的图像向左平移
个单位长度得到.所以，将正弦函数的图像向
左平移
个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图.
?
?
余弦函数
的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状
“波浪起伏”的连续光滑曲线.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【1】画出函数的简图：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【解】如图：
?
?
即时巩固
【2】画出函数的简图：
?
【解】如图：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
函数图像的平移和对称变换
?
【平移】
?
?
?
?
?
?
?
?
【对称】
?
?
?
?
?
左加右减，
上加下减.
【例1】画出函数
的简图.
【解】
?
取五个关键点列表：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
把
的图像向下平移1个单位即可得到
的图像
?
?
?
即时巩固
【例2】用五点法分别画出函数
和函数
在
上的图像.
【解】
?
取五个关键点列表：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
【例3】思考函数
和函数
的关系,并画出函数
的图像.
【解】
把函数
图像在
轴下方的部分翻折到
轴上方，加上原来上方的部分就可以得到函数
的图像(蓝色部分)，如图.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
【例4】已知函数
（1）作出函数
的图像；
(2)求方程
的解.
【解】
(1)当
时，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
当
时，
?
?
?
所以
，图像如图所示.
?
(2)由图像可知方程
的解是
?
?
即时巩固
随堂小测
1.用“五点法”作y＝2sin
2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
解析 由y＝sin
x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.
2.下列图象中，y＝－sin
x在[0,2π]上的图象是
3.不等式cos
x<0，x∈[0,2π]的解集为________.
描点画图：
5.若函数f(x)＝sin
x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
解 由题意可知，sin
x－2m－1＝0在[0,2π]上有2个根，即sin
x＝2m＋1有两个根，
可转化为y＝sin
x与y＝2m＋1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点.
由y＝sin
x图象可知，
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
课堂小结
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin
x＋b的图象的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.
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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握“五点法”,能画出正弦函数、余弦函数的图象.
2.了解正弦、余弦函数图象的区别与联系,掌握正、余弦函数图象的简单应用.
直观想象——会用正弦函数、余弦函数的图象解答问题.
自主学习·必备知识
要点一
正弦曲线
正弦函数的图象叫做①
,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
要点二
余弦曲线
余弦函数
的图象叫做②
.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
自主思考
1.在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点？
2.如何画余弦函数的图象？
名师点睛
1.“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点,这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法.
2.函数
的图象是函数
的图象的一部分.
函数
的图象是函数
的图象的一部分.
3.函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象.
互动探究·关键能力
探究点一
正弦曲线的应用
精讲精练
例
已知函数
的部分图象如图所示,完成下列各题.
（1）点
的坐标为
;
（2）
,
.
解题感悟
先明确正弦曲线在[0,2π]上的五个关键点的坐标,再计算两点间的距离
迁移应用
1.已知函数
.
（1）计算
与
的值;
（2）若
,求
的值.
探究点二
利用“五点法”作函数图象
精讲精练
例
用“五点法”作出
的简图.
答案：
列表：
0
1
0
-1
0
1
3
2
1
2
3
解题感悟
“五点法”作形如
（或
的图象时,其步骤如下:
（1）列表:取
（2）描点:将表中的点（
,
）标在平面直角坐标系内;
（3）连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
迁移应用
1.用“五点法”作出函数
的简图.
答案：
列表：
0
0
1
0
-1
0
1
3
1
-1
1
探究点三
函数图象的综合应用
精讲精练
类型1
与函数图象有关的交点问题
例1
已知函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点,则实数
的取值范围是
.
解题感悟
函数式中含有绝对值符号,首先应去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,并画出函数图象,然后利用数形结合法平移直线
求得参数的取值范围.作图应准确,注意端点值是否满足条件
类型2
利用函数图象解不等式
例2（1）函数
的定义域为
.
（2）不等式
的解集为
.
解题感悟
（1）可以通过求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．注意端点值是否满足条件.
（2）利用三角函数图象解三角不等式
的步骤：
①作出相应的正弦函数（余弦函数）在[0,2π]上的图象．
②确定在[0,2π]上
的
的值．
③写出不等式在区间
上的解集．
④根据公式一写出定义域内的解集
迁移应用
1.使不等式
成立的
的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
的图象与直线
的交点坐标为
.
3.函数
的定义域为
.
评价检测·素养提升
1.正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差的最小值等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
3.方程
在
内(
)
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
4.函数
的定义域是
.
5.在
内用五点法作出
的简图.
素养演练
数学建模——新定义函数的求解问题
1.（2020山东枣庄高一上期中）若定义运算
则函数
的值域是
.
思：解这类问题的关键是用新定义将
转化为分段函数.根据正弦曲线和余弦曲线确定图象交点的位置,根据曲线的最低点和最高点求函数的值域,过程中体现了数学建模与直观想象的核心素养.
迁移应用
1.
（2021河南八市高一测评）定义
为实数
中的最大值,则函数
的值域为
.
课时评价作业
基础达标练
1.余弦曲线
的两个最高点之间的距离的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
的图象与直线
有一个交点,则
的值为(
)
A.-1
B.0或-2
C.1
D.2
3.（多选）对于余弦函数
的图象,以下描述正确的是(
)
A.向左、右无限延伸
B.与
轴有无数个交点
C.与
的图象形状一样,只是位置不同
D.可由曲线
向右平移
个单位长度得到
4.函数
的图象中距离
轴最近的最高点的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
5.函数
的大致图象为(
)
A.B.
C.
D.
6.（2021陕西榆林第十二中学高一月考）在
内,使
成立的
的取值范围是
.
7.（2021山东临沂一中高一月考）已知函数
,求函数
的零点.
8.用“五点法”作出函数
的图象.
素养提升练
9.方程
的根的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
10.函数
则不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2021黑龙江大兴安岭漠河一中高一月考）方程
在区间
内解的个数为
.
12.函数
的定义域为
.
13.（2021安徽芜湖高一期末）若方程
在
上有两个实数根,求
的取值范围.
创新拓展练
14.若函数
的图象和直线
围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积．
方法感悟
根据余弦函数图象的对称性,将不规则图形割补为规则图形,从而将问题转化为求矩形
的面积.
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