人教A版高三数学一轮复习第一章第一节集合与简易逻辑

(共38张PPT)
第一节　集合
一、元素与集合
1．集合中元素的三个特性： 、 、 ．
2．集合中元素与集合的关系．
元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号为 和 .
3．常见集合的符号表示.
4. 集合的表示法： 、 、 ．
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

N
N*或N＋
Z
Q
R
列举法
描述法
Venn图法
二、集合间的基本关系
定义 记法
集合
间的
基本
关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同
子集 A中任意一元素均为B中的元素 或
真子集 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何 的真子集
关系
表示
或
非空集合
A＝B
A B
B A
(B≠ )
三、集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 若全集为U，则集合A
的补集为
图形表示
意义
A∪B
A∩B
{ x | x ∈ A 或
x∈ B }
且 x∈ B }
{ x | x ∈ A
{ x | x ∈ U 且 x A }
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦
恩(Venn)图是 (　　)
2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝ (　　)
A．{0}　　　　　　　　　　　B．{0,1}
C．{1,2} D．{0,2}
【解析】　∵M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，
∴N＝{0,2,4}，∴M∩N＝{0,2}．
【答案】　D
3．(2011年高考安徽卷，2)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则
S∩( UT)等于 (　　)
A．{1,4,5,6}　　　　 　　 　B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
【解析】　S∩( UT)＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．
【答案】　B
4.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝______.
【解析】　∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2.∴a＝1，b＝2.
∴A＝{5,2}，B＝{1,2}．∴A∪B＝{1,2,5}．
【答案】　{1,2,5}
5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是_____．
【解析】　借助数轴可知a≤1，如图所示．
【答案】　a≤1
考点一　集合的基本概念
1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的
互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，
在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．如集合{y|y＝2x
}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
在数集{2x，x2－x}中，实数x的取值范围是______．
【自主解答】　实数x的取值满足集合元素的互异性，则2x≠x2－x，解得x≠0
且x≠3，
∴实数x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜3或x＞3}．
【答案】　{x|x＜0或0＜x＜3或x＞3}
【答案】　C
考点二　集合间的基本关系
1．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集
不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为
2n－1.
2．判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用
描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直
观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析．应做到意义化(分清集合的种
类，数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等)、具体
化(具体求出相关的集合并化简)、直观化(借助数轴、Venn图、函数图象等，
即数形结合的思想)．
已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B A，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
【思路点拨】　解决本题的关键是将B集合化简，即因式分解，再根据A，B间
的关系求解．
【自主解答】　由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，
得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
则(1)若A是B的真子集，即A?B，
则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a＞2.
(2)若B是A的子集，即B A，由数轴可知1≤a≤2.
(3)若A＝B，则必有a＝2.
2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－5≤x≤2m－1}，求实数m的值．
【自主解答】　(1)由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得
A＝{x|－2≤x≤5}，∵B A，
∴①若B＝ ，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B A.
②若B≠ ，
考点三　集合的基本运算
在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般
地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时
注意端点值的取舍．
【思路点拨】　利用集合A，B的关系，借助数轴，列出关于a的不等式组求解．
(1分)
(5分)
(8分)
3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)若A B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．
一、选择题
1．已知集合M＝{x |－3＜x≤5}，N＝{ x | x＜－5或 x＞5}，则M∪N＝(　　)
A．{x | x＜－5 或 x＞－3}　 　B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5} D．{x | x＜－3或 x＞5}
【解析】
由题意画出图形．可知，M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
【答案】　A
【答案】　B
3．(2011年高考广东卷，2)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝
{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为 (　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】　B
4.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中
阴影部分所表示的集合是 (　　)
A．{x|－2≤x＜1}
B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}
【解析】　图中阴影部分表示N∩( UM)，
∵M＝{|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜－2}
∴ UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩( UM)＝{－2≤x＜1}．
【答案】　A
【答案】　A
二、填空题
6．(2012年天津模拟)已知集合A＝{x∈R||x－1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z
中所有元素的和等于________．
【解析】　A＝{x|－1＜x＜3}，A∩Z＝{0,1,2}，A∩Z中所有元素之和等于3.
【答案】　3
7．非空集合G关于运算 满足：(1)对任意a、b∈G，都有a b∈G；(2)存在e∈G，
使得对一切a∈G，都有a e＝e a＝a，则称G关于运算 为“融洽集”．现给
出下列集合和运算：
①G＝{非负整数}， 为整数的加法．
②G＝{偶数}， 为整数的乘法．
③G＝{平面向量}， 为平面向量的加法．
④G＝{二次三项式}， 为多项式的加法．
⑤G＝{虚数}， 为复数的乘法．
其中G关于运算 为“融洽集”的是________(写出所有“融洽集”的序号)．
【解析】　②错，不满足条件(2)；④错，不满足条件(1)，如a＝x2＋y2，b＝－x2
－y2；⑤错，不满足条件(1)，如a＝3i，b＝4i.
【答案】　①③
三、解答题
8．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈A∩B；
(2){9}＝A∩B.
【解析】　9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，
但A与B中允许有其他公共元素．
{9}＝A∩B，说明A与B的公共元素有且只有一个9，
(1)∵9∈A∩B，∴9∈B且9∈A
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
检验知：a＝5或a＝－3.
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝－3.检验知：a＝－3.
9．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，A∩( UB)＝A，求实数a的取值范围．
【解析】　由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
故集合A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}．
∴2∈B，代入B中的方程，
得a2＋4a＋3＝0 a＝－1或a＝－3；
当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件，
综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．
∵A∪B＝A，∴B A，
【答案】　B
从近两年课改区高考试题来看，主要以选择题的形式考查，分值为5分，属容
易题．两集合的交、并、补运算及两集合的包含关系是高考的热点，同时集合常与
方程、不等式相结合，考查方向 、不等式的解法．
从高考试题看，试题由考查单一知识点向两个知识点发展，预测2013年高考仍
将以集合的交、并、补集运算为主要考点，考查学生对基本知识的掌握程度．
【答案】　①②
【方法指导】　1.集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性在解题时经
常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集
间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结
合思想的又一体现．
1．(理)(2011年高考山东卷)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M
∩N＝ (　　)
A．[1,2)　　　　　　　　 B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
【解析】　集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．
【答案】　A(文)
(文) (2011年高考山东卷)设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则
M∩N＝ (　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
【解析】　集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．
【答案】　A
2．(2011年高考新课标全国卷，1)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，
则P的子集共有 (　　)
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
【解析】　P＝M∩N＝{1,3}，
∴P的子集共有22＝4个．
【答案】　B
3．(2011年高考北京卷)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范
围是 (　　)
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C. [－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
【解析】　因为P∪M＝P，所以M P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a
的取值范围是[－1,1]，故选C.
【答案】　C
4．(2012年山东模拟)设S是整数集Z的非空子集，如果 a，b∈S，有ab∈S，
则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝
Z, 且 a，b，c∈T，有abc∈T； x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立
的是 (　　)
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
【解析】　不妨设1∈T，则对于 a，b∈T，∵ a，b，c∈T，都有abc∈T，不
妨令c＝1，则ab∈T，故T关于乘法是封闭的，故T、V中至少有一个关于乘法是封
闭的；若T为偶数集，V为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，
从而B、C错误；若T为非负整数集，V为负整数集，显然T、V是Z的两个不相交的
非空子集，T∪V＝Z，且 a，b，c∈T，有abc∈T， x，y，z∈V，有xyz∈V，但
是对于 x，y∈V，有xy＞0，xy V，D错误．故选A.
【答案】　A