21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学上册人教版
第二十一章
一元二次方程
21.2解一元二次方程
知识点一　利用根与系数的关系求含方程两根的代数式的值
1.一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2的值为(　　)
A.－2
B.1
C.2
D.0
2.方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2等于(　　)
A.－6
B.6
C.－3
D.3
3.方程4x2＝5x－1的两根为x1，x2，则x1x2－x1－x2的值是(　　)
A.1
B.－1
C.
D.－
D
C
B
4.(课本P16练习改编)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)
＋
；
(2)(x1－1)(x2－1)；
解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－1.
(1)
(2)(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1－3＋1＝－3.
(3)x12＋x22；
(4)
＋
.
(3)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32－2×(－1)＝11.
(4)
.
知识点二　利用根与系数的关系求方程的根或字母的值
5.若关于x的方程2x2－ax＋2b＝0的两根和为4，积为－3，则a，b分别为(　)
A.a＝－8，b＝－6
B.a＝4，b＝－3
C.a＝3，b＝8
D.a＝8，b＝－3
6.若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为x＝－1，则另外一个根为
(　　)
A.1
B.－3
C.3
D.4
D
C
8.已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)
A.4
B.－4
C.3
D.－3
7.如果1是方程2x2＋bx－4＝0的一个根，那么方程的另一个根是(　　)
A.－2
B.2
C.－1
D.1
A
A
9.已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若x1－x2＝2，求实数m的值.
解：(1)由题意，得Δ＝(－2)2－4×1×m＝4－4m＞0，解得m＜1.
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝2.由
解得
由根与系数的关系，得m＝2×0＝0.
易错点　利用根与系数的关系时，忽视前提条件Δ≥0
10.若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a的值为(　　)
A.1或－1
B.1
C.－1
D.0
11.关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(　　)
A.m＝－2
B.m＝3
C.m＝3或m＝－2
D.m＝－3或m＝2
C
A
12.已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是
(　　)
A.x1＋x2＞0
B.x1x2＞0
C.x1＜0，x2＜0
D.x1－x2≠0
13.甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和－10，则原方程为(　　)
A.x2－9x＋14＝0
B.x2＋9x－14＝0
C.x2－9x＋10＝0
D.x2＋9x＋14＝0
14.设a，b是方程x2＋2x－20＝0的两个实数根，则a2＋3a＋b的值为________.
D
D
18
考查角度一　根与系数的关系与根的判别式、不等式结合
15.关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2<－1，且k为整数，求k的值.
解：(1)由题意，得Δ＝4－4(k＋1)≥0，解得k≤0.
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，∴－2－(k＋1)<－1，解得k>－2.又∵k≤0，且k为整数，∴k的值为－1或0.
考查角度二　代数式变形后利用根与系数的关系求值
16.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根
(1)求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝17，求m的值.
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＞0，解得
m＞－
，∴m的最小整数值是－1.
(2)由题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－1.∵(x1－x2)2＋m2＝17，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝17，∴(2m＋1)2－4(m2－1)＋m2＝17，∴m2＋4m－12＝0，解得m1＝－6，m2＝2.∵m＞－
，∴m＝2.　
拔尖角度一　利用根与系数的关系构造方程
17.有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识对其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则可将m，n看作是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，若实数a，b满足a＋b＝3，ab＝2，则可以将a，b看作是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根.
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m，n满足3m2－m－1＝0，3n2－n－1＝0，且m≠n，则m＋n＝__________，mn＝__________；
(2)已知实数a，b，c满足a＋b＝c－5，ab＝
，且c＜5，求c的最大值.
(2)∵a＋b＝c－5，ab＝
，∴将a，b看作是方程x2－(c－5)x＋
＝0的两个实数根．∵Δ＝(c－5)2－4×
≥0，而c＜5，∴(5－c)3≥64，∴5－c≥4，即c≤1，∴c的最大值为1.　
拔尖角度二　利用根与系数的关系及根的判别式解决几何问题
18.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2－4＝0.
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)若边长为
的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值.
解：(1)∵方程x2＋(2m－1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4(m2－4)＝－4m＋17＞0，解得m＜
.
(2)设方程的两根分别为a，b.根据题意，得a＋b＝－2m＋1，ab＝m2－4.∵2a，2b为边长为
的菱形的两条对角线的长，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(－2m＋1)2－2(m2－4)＝2m2－4m＋9＝(
)2＝39，解得m＝－3或m=5.∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝－2m＋1＞0，∴m＝－3.