2012江苏高考数学考前每天必看（5天）
图片预览
文档简介
2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之五
一、基本知识（必做题部分）
（七）不等式（必修5第三章）
1、基本不等式（C）
（1）(当且仅当时取“=”号)．
（2）均值定理：(当且仅当时取“=”号)．“一正二定三相等”；均值不等式的一些变形，如．
已知都是正数，则有：
①若积是定值，则当时和有最小值；
②若和是定值，则当时积有最大值.
四个平均数： (根据目标不等式左右的运算结构选用)．
你能用几何图形解释几个平均数之间的关系吗？
如：且，求的最大值．
2、一元二次不等式（C）
一元二次不等式，
如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
3、线性规划（A）
二元一次不等式表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，设有直线（B不为0）及点，则
①若B>0，，则点P在直线的上方，此时不等式表示直线的上方的区域；
②若B>0，，则点P在直线的下方，此时不等式表示直线的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）
线性规划：
①求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；
②可行解：指满足线性约束条件的解（x,y）；
可行域：指由所有可行解组成的集合；
注: ①准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题；解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中与对可行域的影响；还要注意目标函数中和在求解时的区别.
②整点问题（方格法）
不等式中其他常见结论：
1、不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减．
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除：若，则．
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或．
（4）倒数法则：若，，则．（若出现负数先化为正数再用倒数法则）
2、不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
3、利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．
4、其他常用不等式：
（1）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）．
（2）若，则（糖水的浓度问题）．
（3）．
5、绝对值不等式：
含有绝对值的不等式 当> 0时，有
.
或.
性质：
（1）同号或有．
（2）异号或有.
绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论（零点分区间）法：（最后结果应取各段的并集）
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合．
6、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论) ．
常用的放缩技巧有：；
；
；
．
7、指数不等式与对数不等式：
(1)当时,；
.
(2)当时,；
．
8、简单的一元高次不等式的解法：
数轴标根法：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集．
9、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．
10、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
11、不等式的恒成立,能成立问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）．
（ⅰ）恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上．
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上．
例：（1）设实数满足，当时，的取值范围是______．
（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____．
（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____．
（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____．
（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围．
（ⅱ）能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
例：已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______．
二、思想方法
（五）配方法
配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：ax2+bx+c=.高考中常见的基本配方形式有：
a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a –b) 2+ 2 ab．
a2+ b2+ ab =．
a2+ b2+c2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc．
a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = [ ( a - b)2 + (b – c)2 + (a – c)2] ．
（5） ．
配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论．
三、易题重现
1、如果关于x的不等式ax2 + bx + c<0的解集是(m0的解集是 ．
2、若x<0，则2 + 3x + 的最大值是 ．
3、设关于的不等式的解集为，已知，求实数的取值范围．
4、已知目标函数z＝2x＋y，且变量x、y满足下列条件： ，则 ．
（A） z最大值＝12，z无最小值 （B） z最小值＝3，z无最大值
（C） z最大值＝12，z最小值＝3 （D） z最小值＝，z无最大值
5、将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时解得这两种规格的成品的块数如下表所示：
规格类型钢板类型 A规格 B规格
第一种钢板 2 1
第二种钢板 1 3
6、若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，求至少需要这两种钢板张数．
7、函数f( ) = 的最大值和最小值分别是 ．
8、设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_______________．
9、－4＜k＜0是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件．
10、函数y=的最小值为_______________．
11、已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________．
12、已知a>b>0，则a2 + 的最小值是_________．
13、已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证 + > ．
14、已知关于的不等式的解集为．（1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围．
一、基本知识（必做题部分）
（七）不等式（必修5第三章）
1、基本不等式（C）
（1）(当且仅当时取“=”号)．
（2）均值定理：(当且仅当时取“=”号)．“一正二定三相等”；均值不等式的一些变形，如．
已知都是正数，则有：
①若积是定值，则当时和有最小值；
②若和是定值，则当时积有最大值.
四个平均数： (根据目标不等式左右的运算结构选用)．
你能用几何图形解释几个平均数之间的关系吗？
如：且，求的最大值．
2、一元二次不等式（C）
一元二次不等式，
如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
3、线性规划（A）
二元一次不等式表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，设有直线（B不为0）及点，则
①若B>0，，则点P在直线的上方，此时不等式表示直线的上方的区域；
②若B>0，，则点P在直线的下方，此时不等式表示直线的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）
线性规划：
①求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；
②可行解：指满足线性约束条件的解（x,y）；
可行域：指由所有可行解组成的集合；
注: ①准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题；解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中与对可行域的影响；还要注意目标函数中和在求解时的区别.
②整点问题（方格法）
不等式中其他常见结论：
1、不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减．
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除：若，则．
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或．
（4）倒数法则：若，，则．（若出现负数先化为正数再用倒数法则）
2、不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
3、利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．
4、其他常用不等式：
（1）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）．
（2）若，则（糖水的浓度问题）．
（3）．
5、绝对值不等式：
含有绝对值的不等式 当> 0时，有
.
或.
性质：
（1）同号或有．
（2）异号或有.
绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论（零点分区间）法：（最后结果应取各段的并集）
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合．
6、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论) ．
常用的放缩技巧有：；
；
；
．
7、指数不等式与对数不等式：
(1)当时,；
.
(2)当时,；
．
8、简单的一元高次不等式的解法：
数轴标根法：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集．
9、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．
10、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
11、不等式的恒成立,能成立问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）．
（ⅰ）恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上．
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上．
例：（1）设实数满足，当时，的取值范围是______．
（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____．
（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____．
（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____．
（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围．
（ⅱ）能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
例：已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______．
二、思想方法
（五）配方法
配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：ax2+bx+c=.高考中常见的基本配方形式有：
a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a –b) 2+ 2 ab．
a2+ b2+ ab =．
a2+ b2+c2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc．
a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = [ ( a - b)2 + (b – c)2 + (a – c)2] ．
（5） ．
配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论．
三、易题重现
1、如果关于x的不等式ax2 + bx + c<0的解集是(m
2、若x<0，则2 + 3x + 的最大值是 ．
3、设关于的不等式的解集为，已知，求实数的取值范围．
4、已知目标函数z＝2x＋y，且变量x、y满足下列条件： ，则 ．
（A） z最大值＝12，z无最小值 （B） z最小值＝3，z无最大值
（C） z最大值＝12，z最小值＝3 （D） z最小值＝，z无最大值
5、将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时解得这两种规格的成品的块数如下表所示：
规格类型钢板类型 A规格 B规格
第一种钢板 2 1
第二种钢板 1 3
6、若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，求至少需要这两种钢板张数．
7、函数f( ) = 的最大值和最小值分别是 ．
8、设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_______________．
9、－4＜k＜0是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件．
10、函数y=的最小值为_______________．
11、已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________．
12、已知a>b>0，则a2 + 的最小值是_________．
13、已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证 + > ．
14、已知关于的不等式的解集为．（1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围．
同课章节目录