2021-2022学年九年级数学苏科版上册《2.6正多边形和圆》能力达标专题突破训练（Word版 附答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.6正多边形和圆》
能力达标专题突破训练（附答案）
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）
A．72°
B．54°
C．36°
D．64°
3．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．30°，1
B．45°，
C．60°，
D．120°，2
4．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（　　）
A．12
B．6
C．6
D．3
5．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，﹣2）
C．（2，﹣2）
D．（2，2）
6．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．
C．2
D．2
7．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（　　）
A．3：2
B．1：
C．1：
D．：
8．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
9．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（　　）
A．2
B．
C．1
D．
10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　）
A．45°
B．36°
C．35°
D．30°
11．如图平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi?iDiEi，则正六边形OAiBi?iDiEi（i＝2020）的顶点?i的坐标是（　　）
A．（1，﹣）
B．（1，）
C．（1，﹣2）
D．（2，1）
12．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
13．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）
A．2cm
B．cm
C．cm
D．1cm
14．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）
A．cm
B．9cm
C．cm
D．cm
15．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣2，0），则点D的坐标为　
　．
16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是　
　．
17．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
18．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G＝2∠F．
20．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
参考答案
1．解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
2．解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
3．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．
4．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是2，
∴⊙O的半径为2，
∴正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的周长是：1×6＝6；
故选：C．
5．解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH＝＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
6．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
7．解：设此圆的半径为R，
它的内接正六边形的边长为R，
则它的内接正方形的边长为R，
内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．
故选：C．
8．解：如图，连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP′．
∵正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，
∴GH是正六边形的对称轴，
∴PA＝PF，
∴PA+PB＝PB+PF，
∵PB+PF≥BF，
∴当点P与点P′重合时，PA+PB的值最小，
∵∠BAF＝120°，AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝30°，
∵∠FGP′＝90°，
∴∠FP′G＝60°，
故选：C．
9．解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝OA＝×4＝2，
故选：A．
10．解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
11．解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴?i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∴C4（1，﹣），
∴顶点?i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
12．解：∵五边形的内角和为（5﹣2）?180°＝540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
13．解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°（如图），
∴a＝，
∴a＝2．
故选：A．
14．解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，
根据对称性可知AE＝BC＝x，CE＝2x；
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长EF＝DF＝4，
由勾股定理得，R2＝AE2+CE2＝AF2+DF2，
即x2+4x2＝（x+4）2+42，
解得，x＝4或﹣2（舍去），
∴R＝cm．
故选：C．
15．解：∵A点的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴OD＝2，
∴D（2，0），
故答案为（2，0）．
16．解：连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝1，
∴PH＝＝＝，
∴P的坐标是（1，），
故答案为：（1，）．
17．（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
18．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
19．（1）解：∵DC＝BC，
∴△CDB是等腰三角形，
∵∠C＝108°，
∴∠1＝∠CBD＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠F＝∠1＝36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA＝∠2＝72°，
∴∠F＝∠BAF＝36°，
∴△BAF是等腰三角形，
进而可得：∠GEA＝∠G＝∠2＝72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG．
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB．
得∠1＝36°，
∴∠2＝108°﹣36°＝72°．
又∵AF∥CD，
∴∠F＝∠1＝36°，
故∠G＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝2∠F．
20．解：（1）证明：连接CD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACD，
∠E＝∠B．
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，
连接OD、CE，
若∠E＝45°，
则∠AOD＝90°，
∵AC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴AD＝2．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．