青岛版数学九年级上册3.7 《正多边形与圆》课件（21张PPT）

3.7 正多边形和圆
青岛版九年级（上）数学
正多边形
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
AB=BC=CD=DE=EA
∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
如正五边形满足的条件是
正n边形：
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正方形 呢?为什么？
你知道正多边形和圆有什么关系吗？
正多边形和圆
给你一个圆，怎样就能作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ ∠A=∠B.　
·
A
B
C
D
E
O
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆.
1：我们以圆内接正五边形为例证明.
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.
解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.
·
A1
A２
A３
A４
A５
A６
A７
An
O
先说A1
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
O
·
中心角
半径R
边心距r
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
我们在以前学过了那些正多边形？
请同学们找出它们的中心，画出它们的半径，边心距和中心角！
（等边三角形，正方形等）
E
F
C
D
.
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
R
a
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC=
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
请同学们完成下表中有关正多边形的计算
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
6
1
60°
90°
120°
120°
90°
60°
2
4
2
2
12
8
2
1
抢答题：
1、O是正
圆与　　　圆的圆心。
△ABC的中心，它是△ABC的
2、OB叫正△ABC的　　，它是正△ABC的 圆的半径。 　　　　　
3、OD叫作正△ABC的　　　　　，它是正△ABC的 圆的半径。
A
B
C
　.O
D
外接
内切
半径
外接
边心距
内切
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的 ;
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 .
A
B
C
D
.O
E
中心
边心距
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 　　　　，
它是正五边形ABCDE的　　　　　圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的　　　　角，
它的度数是
D
E
A
B
C
.O
F
边心距
内切
中心
72°
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是　　　　
它的度数是
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？　
B
A
E
F
C
D
.O
∠AOB
60°
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
边心距＝OD=
·
A
B
C
D
O
\BC =2 BD = 3 R
在Rt△OBD中 由勾股定理得：
BD= OB2-BD2 = R2 - ( )2 =
3
2
R
S△ABC = － BC×AD = － × 3 R × － R = R2
3.
3
4
3
2
2
1
2
1
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
·
A
B
C
D
O
E
反思总结，拓展升华
1，本节课你学习了什么？
2， 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？
3，正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
4，正多边形有那些性质？
5，正n边形的半径，边心距，边长有什么关系？

作业：教材习题116页，1、2、4、6、7题
再见