2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》能力达标专题突破训练（word版附答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》能力达标
专题突破训练（附答案）
1．将一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0配方后为（　　）
A．（x+3）2＝0 B．（x+3）2＝12 C．（x﹣3）2＝0 D．（x﹣3）2＝12
2．用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣2，﹣3 B．1，3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣2，﹣3
3．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣3＝0，则x2+y2的值是（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或1 D．3或﹣1
4．一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（　　）
A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝
5．如果关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣ D．k＞﹣ 且k≠0
6．已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）﹣m＝0（m＞0）的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．0＜α＜β＜2 B．0＜α＜2＜β C．α＜0＜β＜2 D．α＜0且β＞2
7．已知菱形ABCD的边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn﹣5＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a，b（a＜b），则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．a＜m＜b＜n
10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是　 　．
11．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
12．填空：x2+　 　+16＝（x+　 　）2．
13．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　 　．
14．如图平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A点，与y轴交于B点，P（a，b）是这条直线上一点，且a、b（a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的两根．Q是x轴上一动点，N是坐标平面内一点，以点P、B、Q、N四点为顶点的四边形恰好使矩形，则点N的坐标为　 　或　 　．
15．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　．
16．解方程：
（1）2x2+8x﹣1＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
17．解方程：x2﹣8x+7＝0
18．阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，原方程化成y2﹣y﹣2＝0
解得：y1＝2，y2＝﹣1
当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x1＝2 x2＝﹣2
请模仿上面的方法解方程：（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6＝0．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC的形状为　 　；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0有两个实数根x1，x2
（1）求实数a的取值范围
（2）若等腰△ABC的三边长分别为x1，x2，6，求△ABC的周长
（3）是否存在实数a，使x1，x2恰是一个边长为的菱形的两条对角线的长？若存在，求出这个菱形的面积；若不存在，说明理由．
21．已知关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何值时，使得x1（x2+x1）+x22的值为．
22．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；
（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
参考答案
1．解：x2﹣6x﹣3＝0，
x2﹣6x＝，3，
x2﹣6x+9＝3+9，
（x﹣3）2＝12，
故选：D．
2．解：整理得：x2+3x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝﹣2．
故选：B．
3．解：设x2+y2＝z，则原方程可变形为z2﹣2z﹣3＝0．
解得z1＝3，z2＝﹣1．
∵x2+y2不小于0，
∴x2+y2＝3，
故选：A．
4．解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
5．解：根据题意知[﹣（2k+1）]2﹣4k×k＞0且k≠0，
解得：k且k≠0．
故选：D．
6．解：设y＝x（x﹣2），
令m＝0，
则x（x﹣2）＝0，
解得：x＝0或x＝2，
则y＝x（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（0，0），（2，0），
∵m＞0，
∴y＞0，结合图象可得：x轴上方部分符合要求，
∴α＜0＜2＜β，即α＜0且β＞2．
故选：D．
7．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣7x+10＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x＝2或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝2时，2+2＝4，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞2，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故选：B．
8．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
9．解：设y＝x2﹣（m+n）x+mn，则与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），
∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn﹣5＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a和b，
∴当自变量为a、b时y＝x2﹣（m+n）x+mn＝5，
即a、b为直线y＝5与抛物线y＝x2﹣（m+n）x+mn两交点的横坐标，
∴a＜m＜n＜b．
故选：C．
10．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≥﹣且k≠0．
故答案为：k≥﹣且k≠0．
11．解：设这两个根分别是m，n，
根据题意可得m+n＝5，mn＝，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣9＝16，
则这个直角三角形的斜边长是4，
故答案为：4．
12．解：x2+8x+16＝（x+4）2．
故答案是：8x；4．
13．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以x+1＝﹣3，x+1＝2，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为x1＝﹣4，x2＝1．
14．解：∵方程x2﹣6x+8＝0的两根是x＝2或x＝4，
∴P（2，4），
∵P（2，4）是直线y＝kx+1上，
∴4＝2k+1，
解得k＝，
∴直线的解析式为y＝x+1，
∴A（﹣，0），B（0，1），
当BP是矩形的边时，有两种情形，
如图1，四边形BQNP是矩形时，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
如图2，四边形PDNQ是矩形时，
作PM⊥x轴于M，作BC∥x轴，交PM于C，
∵P（2，4），B（0，1），
∴C（2，1），
∴BC＝2，PM＝4，PC＝3，
∴MQ＝6，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点B向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当BP是对角线时，设Q（x，0），则QB2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PB2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QB2+QP2＝PB2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
15．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：x3＝﹣4，x4＝﹣1．
16．解：（1）2x2+8x﹣1＝0，
方程整理得：x2+4x＝，
配方得：x2+4x+4＝，即（x+2）2＝，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5
解得：x1＝，x2＝2．
17．解：
分解因式可得（x﹣1）（x﹣7）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣7＝0，
∴x＝1或x＝7．
18．解：原方程化为|x﹣1|2﹣5|x﹣1|﹣6＝0，
令y＝|x﹣1|，原方程化成y2﹣5y﹣6＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣1，
当|x﹣1|＝6，
x﹣1＝±6，
解得：x1＝7，x2＝﹣5；
当|x﹣1|＝﹣1时（舍去）．
则原方程的解是x1＝7，x2＝﹣5．
19．解：（1）∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0可整理为：2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
20．解：（1）根据题意得△＝4（a+1）2﹣4（a2+3）＝8a﹣8≥0，
所以a≥1；
（2）当x1＝x2，△＝0，则a＝1，方程变形为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，而2+2＜6，不符合三角形三边的关系，舍去；
当x1＝6或x2＝6，把x＝6代入方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0得36﹣12（a+1）+a2+3＝0，解得a1＝3，a2＝9，
当a＝3时，方程化为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或6，三角形三边为6、6、2，则△ABC的周长为6+6+2＝14；
当a＝9时，方程化为x2﹣20x+84＝0，解得x＝14或6，而6+6＜14，不符合三角形三边的关系，舍去；
所以△ABC的周长为14；
（3）存在．
x1+x2＝2（a+1），
x1?x2＝a2+3，
∵x12+x22＝（）2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝22，
即4（a+1）2﹣2（a2+3）＝88，
整理得a2+4a﹣45＝0，解得a1＝5，a2＝﹣9（舍去），
当a＝5，方程化为x2﹣12x+28＝0，则x1?x2＝28，所以这个菱形的面积＝×28＝14．
21．解：（1）∵关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×（m2+3m﹣2）≥0，
∴﹣12m+8≥0，
∴m≤．
故m的取值范围为m≤；
（2）∵x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2+3m﹣2，
∴x1（x2+x1）+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＝4m2﹣（m2+3m﹣2）＝，
解得m＝．
故m为时，使得x1（x2+x1）+x22的值为．
22．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4（k﹣）2≥0，此时方程有两个实数根．
综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．
（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k﹣）＝0，
解得k＝1，
∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，
解方程得x1＝1，x2＝2，
∴方程的另一根是2；
（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则△＝0．
∴4（k﹣）2＝0，解得：k＝．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，
当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，
求得k＝，
∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．
解得x＝2或4，
∴c＝2，
∴周长为4+4+2＝10．
故这个等腰三角形的周长是10