2021—2022学年人教版数学八年级上册_11.2. 1 三角形的内角和 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
11.2
与三角形有关的角
教学目标
导入新课
如图,小明同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是把哪块玻璃块带去。
3号
教学目标
新课讲解
三角形内角和的性质
三角形三个内角相加的度数即为三角形的内角和。
1、三角形的内角和
A
B
C
∠A＋∠B＋∠C
想一想
三角形的三个内角和是多少?
180°
方法一：
度量法
通过具体的度量，验证三角形的内角和为180°.
你有什么办法可以验证呢?
方法二
：拼合法
把三个角拼在一起试试看？
A
B
C
2
1
三角形的内角和为180°.
问题：有什么方法可以得到180
°
１．平角的度数是180°
２．两直线平行，同旁内角的和是180°
从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?
3、邻补角的和是180
°
证法１：过A作EF∥BC，
F
2
1
E
C
B
A
2、三角形内角和性质的证明
∴∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠1+∠2+∠BAC=180°
∴∠C+∠B+∠BAC=180°
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
证法2：过A作AE∥BC，
F
1
E
C
B
A
∴∠B=∠1
，
(两直线平行,内错角相等)
∠1+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证明3：延长BC到D，过C作CE∥BA，
2
1
E
D
C
B
A
∴
∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
通过这三种证明方法，你有什么总结吗？
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角，这种转化思想是数学中的常用方法。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
例1
如图，在△ABC中，∠BAC=40
°
，∠B=75
°
，AD是△
ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
C
D
B
A
解：
∵AD是△
ABC的角平分线,
∠BAC=40
°
1
(已知)
∴∠1=
∠BAC=20°
(角平分线定义)
在△
ABD中
∵
∠1+
∠B+
∠ADB=180°
(三角形内角和定理)
∴
∠ADB=180°－∠1－∠B
=180°-75°-20°
=85°
教学目标
牛刀小试
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°
则∠
C=
。
（2）在△ABC中，
∠A
:∠B:∠C=2:3:4
则∠A
=
∠
B=
∠
C=
。
102°
80°
60°
40°
（3）在△ABC中,
∠A=40
°
∠A=2∠B，则∠C＝
。
120°
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80
°方向，C岛在B岛的北偏西40
°方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
解：∠CAB=
∠BAD
-
∠CAD
=80°-50°=
30°
∵AD∥BE，得：
∠BAD
+∠BADE=180°
∴
∠ABE=180°-
∠BAD
=
180°-
80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=
100°-
40°=60°
在△ABC中
，∠ACB=
180°-
∠ABC
-∠CAB
=
180°-
60°-
30°=
90°
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°
你能找出上图中所包含的直角三角形吗
？
3、直角三角形的内角和
直角三角形的两锐角互余．
在Rt△ABC中．
∵∠A+∠B
+∠C
=
180°，(三角形内角和定理）
而∠C
=
90°，
∴
∠A+∠B
=
90°．
三角形用什么符号表示的？那么直
角三角形又用什么符号表示呢？
三角形ABC表示为：
直角三角形可以用符号：
如图直角三角形ABC表示为：
△ABC
Rt△
Rt△ABC
例3：如图，∠C
=∠D
=90°，AD，BC
相交于点E，
∠CAE
与∠DBE
有什么关系？
C
D
E
A
B
∠CAE
＝∠DBE
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△ACE中，∠DBE=90°-∠BED
∵
∠AEC=∠BED
∴
∠CAE
＝∠DBE
想一想：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
已知：（如图）在△ABC中，
∠A+∠B
=
90°.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C
=?180°，（三角形内角和定理）
∵?∠A+∠B
=
90°，（已知）
∴?∠C
=
90°，
∴?△ABC是直角三角形．(直角三角形定义）
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．
教学目标
牛刀小试
如果一个三角形的两个内角分别是36°和54°，那么这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：第三个角是180°-36°-54°=90°，
∴三角形是直角三角形．
故选B．
不需要计算，你能得到答案吗？
B
教学目标
巩固提升
解析：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°，根据三角形内角和性质可知x＋2x＋2x＝18°
解得x＝36
∴∠C＝2×36°＝72°
在△BDC中，∵
BD是AC边上的高
∴∠BDC＝90°；∴∠DBC＝90°－72°；∴∠DBC＝18°
1.已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A
,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
18°
解析：设此三角形的三个内角分别为x°、2x°、x°
则由三角形的内角和性质可知：x°+2x°+x°=180°。∴x=45°
则此三角形的三个内角分别为45°、90°、45°。
故答案选D。
2.一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是（
）?
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
D
解析：设∠A为x，则∠B=2∠A=2x，∠C=3∠A=3x
∵三角形的内角和为180°
∴x+2x+3x=180°，∴x=30°
则此三角形的三个内角为30°、60°、90°，故此三角形为直角三角形。
3.
在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=∠B=∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？
直角三角形
4.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
(1)
若∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠BOC的度数。
(2)
若∠A=70°,
求∠BOC的度数。
解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∠ABC=60°，∠ACB=80°
∴∠OBC=∠ABC=×60°=30°
∠OCB=∠ACB=×80°=40°
∵∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°
∴∠BOC=180°-40°-30°=110°
（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）
∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB
=180°-∠A=180°-70°=110°
∴∠OBC+∠OCB=×110°=55°
∵∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°
∴∠BOC=180°-55°=125°
5.如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为45°，此时，如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米？
解：由题意可知：
∠ABC=90°，∠ACB=45°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∴BC=AB=16米
答：两楼的距离是16米。
教学目标
课堂小结
1、三角形的内角和
2、三角形内角和性质
3、三角形的判断