2021-2022学年人教版数学八年级上册11.2.2三角形的外角 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
11.2.2三角形的外角
学习目标
1.了解三角形的外角概念，经历探索三角形外角性质的过程。
2.通过探索三角形外角的性质，体会从特殊到一般的推理过程。
2、在△ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30
°，则∠B=____；
（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=_____.
1、三角形三个内角的和等于多少度？
65°
60°
三角形三个内角的和等于180°
温故而知新
三角形的内角是三角形内部的骄子
什么都没有呀，让人感到很无奈
那三角形的外部呢？
只要你添上一笔就精彩了
α
外角
观察下面一组图形中∠
1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？
B
C
A
1
D
A
C
B
1
D
A
C
B
1
D
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
三个特征:1.
∠
1的顶点在三角形的一个顶点上;
2.
∠
1的一条边是三角形的一条边;
3.
∠
1的另一条边是三角形的某条边的延长线
认识新概念
大家一起画一画
想一想:
1、每一个三角形有几个外角？
2、每一个顶点处相对应的外角有几个？
3、这些外角中有几对外角相等？
画一个三角形，再画出它所有的外角。
A
B
D
E
F
C
外角
A
B
D
E
F
C
外角
　
归纳：
　　1、每一个三角形都有６个外角;
2、每一个顶点相对应的外角都有２个;
3、这6个外角中有3对外角相等。
A
B
D
E
F
C
一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角。
1、三角形的一个外角与它相邻的一个内角之间有何关系？
∠ACD+∠ACB=180°
A
B
C
D
让我们一起去发现
三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？
三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
∠ACD与∠ACB有何关系？
2.三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间有何关系？
想一想：
如图，△ABC中，∠A
=70°，∠B=60
°
，∠ACD是△ABC的一个外角.
你能由∠A，∠B求出∠ACD吗？
2、不相邻:
A
B
C
D
⌒
70°
60°
⌒
⌒
　
通过上题的计算，你能猜想∠ACD与它不相邻的两个内角之间的数量关系吗？请你用自己的语言说一说．
想一想
∠
A
+
∠B=
∠ACD
任意三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
试一试
你能行
D
A
B
C
方法1
证明：
∠A
+
∠B
+
∠ACB=1800
∠ACD
+
∠ACB=1800
∠
A
+
∠B=
∠ACD
试证明：
∠
A
+
∠B=
∠ACD
D
证明：过C作CE
//AB
A
B
C
1
2
∠1=
∠B
∠2=
∠A
∠1+
∠2=
∠A+
∠B
即∠ACD=
∠A+
∠B
E
方法2
结论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形外角的性质：
三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和。
几何语言：
∠CAD是三角形ABC的外角
∠B+∠C=∠CAD
A
B
C
D
∠ACD
∠A
(<、>)；
∠ACD
∠B
(<、>).
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
A
C
B
D
>
>
你选谁
？
结论：
变式
已知:如图6-14,在△ABC中,
∠1是它的一个外角,
E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证:
∠1>∠2.
证明:∵
∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴
∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和
它不相邻的内角).
∵∠3是△CDE的一个外角
(外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和
它不相邻的内角).
∴
∠1>∠2(不等式的性质).
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
1、说出下列图形中∠1的度数:
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
∠1=
∠1=
∠1=
90?
85?
95?
训练基地
∠C
∠3
∠DAC
∠4
　　2
、
如图，口答：
（1）∠1
=
+
；
（2）∠2
=
+
．
B
A
C
D
1
2
3
4
学有所用
例1:如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
B
C
D
80°
70°
1、
如图所示，∠A=31°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=
．
练习
2、
三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（　　）
A
、是直角三角形
B
、是锐角三角形
C
、是钝角三角形
D
、属于哪一类不能确定
3、
等腰三角形一个外角等于100°，求这个三角形的各个内角
。
80°
80°
20°
80°
50°
50°
C
4
、如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交，则有（　　）
A
、∠1+∠2-∠3=180°
?B
、∠1-∠2+∠3=180°
?C
、∠3+∠2-∠1=180°
?D
、∠1+∠2+∠3=180°
教科书习题11.2第6、8
，11题．　　
11.如图，CE是△ABC的外角∠ACD
的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=
∠B+2
∠E
运用三角形的外角的性质
例2
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD
是△ABC
的三个外角，它们的和是多少？
解法一：∵　∠BAE
=∠2
+∠3，
∠CBF
=∠1
+∠3，
∠ACD
=∠1
+∠2，
∴　∠BAE
+∠CBF
+∠ACD
=
（∠2
+∠3）+（∠1
+∠3）+
（∠1
+∠2）
A
B
F
C
D
E
1
2
3
=
2（∠1
+∠2
+∠3）．
∵　∠1
+∠2
+∠3
=180°，
∴　∠BAE
+∠CBF
+∠ACD
=
2×180°=360°.
解法二：
∵∠1
+∠BAE
=180°，
∠2
+∠CBF
=180°，
∠3
+∠ACD
=180°，
∴∠1
+∠2
+∠3
+
∠BAE
+∠CBF
+∠ACD
=
540°．
A
B
F
C
D
E
1
2
3
∵∠1
+
∠2
+
∠3
=180°，
∴∠BAE
+
∠CBF
+
∠ACD
=
540°-
180°
=360°.
从与每一个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360
?
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝
.
A
D
E
C
F
B
1
2
3
360°
N
P
M
拓展延伸
例3．一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
拓展提高
提示：可以先计算出合格时∠BDC的度数，但是∠BDC与∠A
、∠B、
∠C不在同一个三角形内，因而无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线。那如何添加辅助线才能建立这几个角之间的联系呢？
解法1：延长BC交AD于点E，
∠DEB=∠A+∠B=120°，
∠DCB=∠DEB+∠D
=120°+20°=140°
若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格
∵∠A=90°，∠B=30°
在△ABE中
在△CDE中
点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．
解法2：连接AC并延长至E，
若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格
∵∠DAB=90°，∠B=30°,∠D=20°
在△ADC中
在△ACB中
∠3=∠1+∠D
∠4=∠2+∠B
∠
DCB=∠3+∠4
=∠1+∠D+∠2+∠B=140°
解法3：过点C作EF∥AB，交AD于E，
若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格
在△EDC中
∴∠1=∠DEC+∠D=1100
∴∠B=∠2=
30°
∴∠
DCB=∠1+∠2=140°
∴∠DEC=∠A=90°
1
2
∵∠D=200
解法4：连接BD，
若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格
在△ADB中
∴∠
A
+∠3
+∠1
+∠4+∠2=180°
1
2
3
4
∵∠A=90°，∠B=30°,∠D=20°
∴∠1
+∠2=40°
在△CDB中
∴∠1
+∠C+∠2=180°
∴∠C=140°
第35页
广角变式
第36页
国旗上的数学
三角形的一个外角的性质
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
(1)三角形的一个外角与它相邻内角的关系是互为邻补角。
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
(4)三角形的外角和是360°
一．判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（
）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（
）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（
）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（
）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。
（
）
自我检测
8、如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,
且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.
9．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）
10.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）
11．如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=　_________　．
12、如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.