2021-2022学年沪科版七年级数学上册 3.5 三元一次方程组及其解法 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
沪科版数学七年级（上）
第3章
一次方程与方程组
3.5
三元一次方程组及其解法
复习引入
2.解二元一次方程组有哪几种方法？
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
你能根据等量关系列出方程吗
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2
元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元纸币各多少张。
探究：
（1）这个问题中包含有
个相等关系：
三
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
（2）这个问题中包含有
个未知数:
三
1元、2元、5元纸币的张数
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
x+y+z=12
x+2y+5z=22
x=4y
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2
元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元纸币各多少张。
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
①
②
③
你能根据等量关系列出方程吗
自主探究
x+2y+5z=22
x=4y
①、1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
②、1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
③、1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
在这个方程组中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
（linear
equation
with
three
unknowns）
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程及三元一次方程组的概念
例如：
是三元一次方程组.
2、三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组
1、三元一次方程：都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程
一元一次方程
求出第一个未知数的值
求出第三个未知数的值
求出第二个未知数的值
二元一次方程组
三元一次方程组
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
①
②
③
将③代入①②，得
即
用的是代入消元方法，应为有未知数的表达式
①
②
③
如何用加减消元法解这个方程组？
③与④组成方程组
解这个方程组，得
解：①
②，得
④
把
x=8，y=2代入①，得
所以
z=2.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
总结提炼
　
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某元，消某元。
例1
解三元一次方程组
分析：方程①中只含x,
z,
因此,可以由②③消去y,
得到一个只含x,
z的方程,
与方程①组成一个二元一次方程组.
①
②
③
解：②×3＋③，得
11x＋10z=35
④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
例2
解三元一次方程组
①
②
③
（2）
①
②
③
（3）
①
②
③
知识回顾
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法
，加减法比较常用.
(2)
解三元一次方程组的基本思想是消元,
关键也是消元。
我们一定要根据方程组的特点,选准消元对象,
定好消元方案.
(3)
解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
例2
在等式
中，当
时，
；当
时，
；当
时，
求
　的值．
分析：根据已知条件，你能得到什么？
如何解这个三元一次方程组呢？
（1）先消去哪个未知数？为什么？
（2）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意，
得三元一次方程组
②-①，得a+b=1;
④
③-①，得4a+b=10;
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
①
②
③
代入①，得
c=-5
因此，
答：
消去a可以吗？如何操作？
可将②-①×4，得
即
再将③-①×25，得
即
④
⑤
消去b可以吗？如何操作？
可将
①×2+②，得
即
再将
①×5+③，得
即
④
⑤
【方法归纳】
类型一：有表达式，用
.
类型二：缺某元，
.
类型三：相同未知数系数相同或相反，
代入法
消某元
加减消元法
例3
解下列方程组：
????????????????????
（1）
?????????
（1）
①
②
③
解：①×2-②，得
5x+3y=19
④
②+③×2,
得
5x+7y=31
⑤
由④和⑤组成方程组
解这个方程组，得
把
x=2,y=3代入②，得
2+3+2z=7
所以
z=1
因此，原方程组的解为
2x+4y+3z=9
练习：用你认为最简捷的方法解三元一次方程组：
绝对挑战
3x
-2y+5z=11
5x-6y+7z=13
①
②
③
解三元一次方程组
当堂训练，达标测评
1、
2、
2．解下列三元一次方程组：
⑵
⑴
⑶
？
三元一次方程组
一元一次方程
二元一次方程组
1.化“三元”为“二元”
总结
消
元
消元
三元一次方程组求法步骤：
2.化“二元”为“一元”
三元一次方程组解题思路
（也就是消去一个未知数）
例1
一次足球比赛共赛11轮，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队所负场数是所胜场数的
一半，结果共得20分，该队共平几场？
解：设该队胜x场，平y场，负z场，依题意得
解得
答：该队共平2场.
列三元一次方程组解应用题.
例2．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意得
解这个方程组，得
答：甲为10，乙为9，丙为7.
例3.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
农作物品种
每公顷所需劳动力
每公顷投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、
z公顷种蔬菜。由题意得
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用。
4x+8y+5z=300，
x+y+2z=67.
x+y+z=51，
x=15，
y=20，
解得：
z=16.
练习1、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的
，厂家需付甲、丙两队共5500元.
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花费最少？请说明理由.
解：（1）设甲、乙、丙队每天完成工作量分别是
x,y,z，依题意有
即
解得
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程，分别需要10天，15天和30天.
练习2.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的
，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
拓展探究
附加题：
（2）
①
②
③
解：由方程①得
4x-3y=0
④
由方程②得
6y-5z=0
⑤
③×4-④得
7y-4z=88
⑥
由⑤和⑥组成方程组
解这个方程组，得
把y=40,z=48代入③，得
x+40-48=22
所以
x=30
因此，这个方程组的解为
总结：
解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或“加减”进行
，
把
转化为
，使解三元一次方
程组转化为解
，进而再转化为
解
。
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程