(共17张PPT)
1.2
矩形的性质与判定
第1课时
矩形及其性质
第一章
特殊平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
矩形的定义
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
直角三角形斜边上中线的性质
课时导入
复习提问
引出问题
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
知识点
矩形的定义
知1－讲
感悟新知
1
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别提醒:
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行
四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可.
感悟新知
例1：如图1-2-1，在ABCD
中，点E，F
分别为BC
边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证：
ABCD
是矩形.
知1－练
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
解法提醒:
由定义来判定矩形，要在确定平行四边形的前提下，证明有一个角是90°
.
若在四边形的前提下，则需先证平行四边形，再证明有一个角是90°
.
矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定.
例
1
感悟新知
证明：∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴
AB=CD，∠
B+∠C
=
180°
.
∵
BE=CF，∴
BE+EF=CF+EF，即BF=CE.
又∵
AF=DE，
∴△
ABF
≌△
DCE.
∴∠
B=
∠
C=90°
.
∴
ABCD
是矩形.
知1－练
知1－讲
方
法
感悟新知
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.
知识点
矩形的边角性质
知2－导
感悟新知
2
想一想
(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？
(2)矩形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
(3)你认为矩形还具有哪些特殊
的性质？与同伴交流.
矩形是轴
对称图形.
知1－讲
方
法
感悟新知
矩形的性质：
(1)矩形的四个角都是直角．
(2)矩形具有平行四边形的所有性质．
(3)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
知识点
矩形的对角线性质
知3－导
感悟新知
3
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
知识点
直角三角形斜边上中线的性质
知3－导
感悟新知
4
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到
怎样的结论？
知3－导
感悟新知
1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2、请你完成这个定理的证明.
3、总结：
(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”
是解决线段倍分问题的重要依据；
(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上
的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形
性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形；
(3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平
方和等于斜边平方．
感悟新知
知3－练
例4：
如图1-2-6，BD，CE
分别是△
ABC
的两条高，M，N
分别是BC，DE
的中点.
求证：MN
⊥
DE.
解题秘方：紧扣条件“N
为DE
的中点”和结论“MN
⊥
DE”，建立等腰三角形“三线合一”模型，结合直角三角形斜边上中线的性质求解.
例4
感悟新知
知3－练
解法提醒:
1.
若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线；若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质.
2.
在直角三角形中，若遇斜边的中点，则常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决.
感悟新知
证明：连接EM，DM，如图1-2-6.
∵
BD，CE
分别为△
ABC
的两条高，∴∠
BEC=
∠CDB=90°
.
在Rt
△
BEC
中，∵
M
为斜边BC
的中点，∴
EM=
BC.
在Rt
△
CDB
中，∵
M
为斜边BC
的中点，
∴
DM=
BC.
∴
EM=DM.
又∵
N
为DE
的中点，∴
MN⊥DE.
知3－练
课堂小结
矩形及其性质
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)对角线性质：对角线互相平分且相
等．
(3)对称性：矩形是轴对称图形．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共14张PPT)
1.2
矩形的性质与判定
第2课时
矩形的判定
第一章
特殊平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
由对角线的关系判定矩形
由直角的个数判定矩形
课时导入
复习提问
引出问题
做一做
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此
你能得到一个怎样的猜想？
知识点
由对角线的关系判定矩形
知1－讲
感悟新知
1
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
请完成该定理的证明：
感悟新知
例1：如图1-2-9，在四边形ABCD
中，AD
∥
BC，E，F
两点在边BC
上，AB
∥
DE，AF
∥
DC，且四边形AEFD
是平行四边形.
（1）AD
与BC
有何数量关系？请说明理由.
（2）当AB=DC
时，求证：
AEFD
是矩形.
知1－练
例
1
方法点拨:
证明一个平行四边形为矩形的两种方法：
一种是证明有一个角是直角，另一种是证明两条对角线相等.
本例采用的是对角线相等的方法.
若采用有一个角是直角的方法，可证DE=DC，EF=FC，
利用等腰三角形“三线合一”可得∠DFE=90°
.
感悟新知
知1－练
解题秘方：（2）紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手（或有一直角入手）进行证明.
（1）解：BC=3AD.
理由如下：
∵
AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED
和四边形AFCD
都是平行四边形.
∴
AD=BE，AD=FC.
又∵四边形AEFD
是平行四边形，
∴
AD=EF.
∴
AD=BE=EF=FC.
∴
BC=3AD.
感悟新知
（2）证明：∵四边形ABED
和四边形AFCD
都是平行四边形，∴
DE=AB，AF=DC.
又∵
AB=DC，∴
DE=AF.
又∵四边形AEFD
是平行四边形，
∴四边形AEFD
是矩形.
知1－练
知1－讲
感悟新知
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
解题秘方：题中证明矩形的条件是建立在四边形的基础上，且都与角相关，可从证直角入手进行判定.
感悟新知
例2:如图1-2-10，
ABCD
的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH
是矩形.
知1－练
思路点拨:
判定矩形的常见思路：要判定一个四边形是矩形，通常选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明；也可以先判定它是平行四边形，再根据平行四边形成为矩形应满足的条件，证明有一个角是直角或对角线相等.
例2
感悟新知
知1－练
证明：∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴
AB∥CD.∴∠
ABC+
∠
BCD=180°
.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=
∠ABC+
∠BCD=
×180°=90°.
∴∠BGC=90°
.同理可得∠AFB=∠AED=90°
.
∴∠GFE=∠FEH=∠FGH=90°
.
∴四边形EFGH是矩形.
感悟新知
知1－练
特别提醒：
1.
矩形的判定和性质互为逆定理.
2.
矩形判定的常见思路
从角的角度证明：
（1）四边形有三个直角是矩形；
（2）平行四边形有一个直角是矩形.
从对角线的角度证明：
（1）平行四边形的对角线相等是矩形；
（2）四边形的对角线互相平分且相等是矩形.
知识点
由直角的个数判定矩形
知2－导
感悟新知
2
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
课堂小结
矩形及其性质
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业
