(共15张PPT)
1.3正方形的性质与判定
第1课时
正方形及其性质
第一章
特殊平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
正方形的定义
正方形的性质
课时导入
图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
知识点
正方形的定义
知1－讲
感悟新知
1
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
特别提醒:
1.
正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:
（1）一组邻边相等.
（2）一个角是直角.
2.正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
感悟新知
例1：如图1-3-1，
将△
ABC
绕点B
顺时针旋转90
°
后至△
DBE，再将△
ABC
沿BE
平移至△
FEG，连接CG.
求证：四边形CBEG
是正方形.
知1－练
解题秘方：紧扣定义“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”进行判定.
例
1
感悟新知
证明：∵△
ABC
沿BE
平移至△
FEG，
∴
CB
∥
GE，CB=GE.
∴四边形CBEG
是平行四边形.
∵△
ABC
绕点B
顺时针旋转90°后至△
DBE，
∴
BC=BE，∠
CBE=90°
.∴四边形CBEG
是正方形.
知1－练
解法提醒:
利用正方形的定义判定正方形，它是建立在平行四边形的基础上，因此，既要有一组邻边相等，又要有一个角是直角，两者缺一不可.
知识点
正方形的性质
知2－导
感悟新知
2
议一议
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形
的所有性质．
知2－导
感悟新知
正方形的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
（1）边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
（4）是轴对称图形，有4
条对称轴；
（5）面积为边长的平方或对角线长平方的一半.
知2－导
感悟新知
特别提醒:
1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图1-3-2.
2.
正方形的特殊性质：
（1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（2）周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
感悟新知
知2－讲
例2：如图1-3-3，
在正方形ABCD
中，E
为CD
上点，F
为BC
延长线上一点，CE=CF.
（1）求证：△
BCE
≌△
DCF；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息.
例2
感悟新知
知1－练
解法提醒:
利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁.
感悟新知
（1）证明：∵四边形ABCD
是正方形，
∴
BC=DC，∠
BCE=
∠
DCF=90°
.
又∵
CE=CF，∴△
BCE
≌△
DCF.
知2－讲
（2）解：∵△
BCE
≌△
DCF，∠
BEC=60°，
∴∠
DFC=
∠
BEC=60°
.
∵
CE=CF，∠
ECF=90°，∴∠
CFE=45°
.
∴∠EFD=∠DFC
－
∠CFE=60°－45°=15°.
知3－讲
方
法
感悟新知
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
课堂小结
正方形及其性质
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共12张PPT)
1.3
正方形的性质与判定
第2课时
正方形的判定
第一章
特殊平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
正方形的对称性
正方形的判定
课时导入
复习提问
引出问题
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？
知识点
正方形的对称性
知1－讲
感悟新知
1
正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.
它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线.
知识点
正方形的判定
知2－导
感悟新知
2
议一议
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．
感悟新知
知2－讲
判定方法：
（1）从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；
（2）从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
（3）从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.
感悟新知
知2－讲
特别提醒:
常见的判定思路
从边的角度证明：矩形有一组邻边相等是正方形；
从角的角度证明：菱形有一个角是直角是正方形；
从对角线的角度证明：
1.
矩形的对角形互相垂直是正方形；
2.
菱形的对角形相等是正方形；
3.
平行四边形的对角形互相垂直且相等是正方形；
4.
四边形
的对角形互相垂直平分且相等是正方形.
感悟新知
知2－讲
例2：如图1-3-4，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
解题秘方：“先确定待证四边形是一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定它是正方形.
例2
感悟新知
证明：∵四边形ABCD
为正方形，∴
BC=CD=DA=AB，
∠
A=
∠
B=
∠
C=
∠
D=90°.
又∵
AA′=BB′=CC′=DD′，∴
D′A=A′B=B′C=C′D.
∴△
AA′D′≌△
BB′A′≌△
CC′B′≌△
DD′C′（SAS）.
∴
D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠
2=
∠
3.∴四边形A′B′C′D′为菱形.
∵∠
1+
∠
2=90°，∴∠
1+
∠
3=90°.
∴∠
D′A′B′=180°－（∠
1+
∠
3）=90°.
∴四边形A′B′C′D′为正方形.
知2－讲
感悟新知
另解:
∵四边形ABCD
为正方形，∴
AD=AB，∠
A=
∠
B=90°
.
又∵
DD′
=AA′，∴
AD′
=BA′
.∴△
AA′D′≌△
BB′A′.
∴∠
2=
∠
3，A′D′=B′A′.
∵∠
1+
∠
2=90°，∴∠
1+
∠
3=90°
.∴∠
D′A′B′=90°
.
同理：∠
A′B′C′=∠
B′C′D′=90°
.∴
四边形A
′B
′C
′D
′为矩形.
又∵
A′D′=B′A′，∴四边形A′B′C′D′为正方形.
知2－讲
课堂小结
正方形及其性质
正方形的判定：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等
一组邻边相等
对角线垂直
对角线相等
一个内角为直角
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业
