(共13张PPT)
21.1
一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
第2课时
一元二次方程的定义及相关
概念的四种常见应用
名师点金
巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：
利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值等．
类型
利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1
已知(m－3)x2＋
x＝1是关于x的一元二
次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
点拨：由题意，得
解得m≥－2且m
≠
3.
D
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)
m取何值时，它是一元二次方程
?
并写出这
个方程；
(2)
m取何值时，它是一元一次方程
?
(1)
当
时，它是一元二次方程，解得m＝1.
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
解：
(2)
当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且
m2＋1＝1时，它是一元一次方程．
解得m＝－1或m＝0.
故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
类型
利用一元二次方程的项的定义求字母的取值
2
3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋
a－8＝0没有常数项，则a的值为________．
由题意得
解得a＝8.
8
点拨：
4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2
－1＝0的常数项为0，求m的值．
由题意，得
解得m＝－1.
解：
类型
利用一元二次方程的根的定义求代数式的值
3
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a
(a≠0)，则a－b的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0.∴a(a－b＋1)＝0.
∵a≠0，∴a－b＝－1.
点拨：
A
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16
＝0的一个根为0，求k的值．
把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，
得k2－16＝0，
解得k1＝4，k2＝－4.
∵k＋4≠0，∴k≠－4，
∴k＝4.
解：
7．已知实数a是一元二次方程x2－2
018x＋1＝0的一
个根，求代数式a2－2
017a－
的值．
∵实数a是一元二次方程x2－2
018x＋1＝0的一个根，
∴a2－2
018a＋1＝0.
∴a2＋1＝2
018a，a2－2
018a＝－1.
∴a2－2
017a－
＝a2－2
017a－
＝a2－2
017a－a＝a2－2
018a＝－1.
解：
类型
利用一元二次方程根的定义解决探究性问题
4
8．已知m，n是方程
x2－2x－1＝0的两个根，是否存在
实数a
使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8?
若
存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，
∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.
∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋
a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)，
由－4(a＋7)＝8得a＝－9，
故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.
解：
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共35张PPT)
21.1
一元二次方程
第1课时
认识一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解(根)
建立一元二次方程的模型
课时导入
复习提问
引出问题
判断下列式子是否是一元一次方程：
回顾旧知
一元一次方程
1、只有一个未知数
2、未知数的指数是一次
3、方程的两边都是整式
课时导入
在设计人体雕像时，
使雕像的上部
(腰以上)与下部(腰以下)
的高度比，
等于下部与全部(全身)的高度比，
可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2
m，那么它的下部应设计为多高?
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
设雕像下部高x
m，可得方程x2＝2(2－x)，
整理得x2＋2x－4＝0.
A
C
B
导入新知
课时导入
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其
中未知数x的最高次数是2.
如何解这类方程?
如何用这类方程解决一些实际问题?
这就是本章要学习的主要内容．
知识点
一元二次方程的定义
知1－讲
感悟新知
1
问
题（一）
如图，有一块矩形铁皮，长100
cm，宽50
cm．在它的四个
角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就
能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是
3600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?
知1－讲
感悟新知
设切去的正方形的边长是x
cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得
(100－2x)(50－2x)＝3
600.
整理，得4x2－300x＋1400=0
化简，得x2－75x＋350=0
解上面方程即可得出所切正方形
的具体尺寸.
化简后的方程中未知数的个数和最高次数各是
多少？
知1－讲
感悟新知
问
题（二）
要组织一次排球邀请赛，
参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛?
知1－讲
感悟新知
全部比赛场数为
.
设应邀请
x
个队参赛，每个队要与其他
(x－1)
个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
场.
列方程
整理，得
化简，得
解上面方程即可得出参赛队数.
感悟新知
思考：方程
，
x2－75x+350=0，
有什么共同点？
1、只含有一个未知数
2、未知数的最高次数是2次
3、等号的两边都是整式
可以发现
知1－讲
感悟新知
知1－讲
等号两边都是整式，
只含有一个未知数(
一元
)，
并且未知数的最高次数是2(二次)
的方程，叫做
一元二次方程．
定义
感悟新知
知1－练
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋
＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的
有( )
A．1个 B.
2个 C．3个 D．4个
A
导引：
①含有两个未知数；
②不是整式方程；
④未知数的最高次数不是2
⑤整理后未知数的最高次数不是2
③符合一元二次方程的“三要素”
例
1
知1－讲
总
结
感悟新知
一元二次方程的识别方法：
整理前：①整式方程，②只含一个未知数；
整理后：未知数的最高次数是2.
警示误区
最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：(m-2)x2+3x-8=0不一定是一元二次方程.
感悟新知
知1－练
下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋
＝2
D．x2－x－2＝0
如果方程(m－3)xm2－7－x
＋3＝0是关于x一元二次方程，那么m的值为( )
A．
±3
B．
3
C．
－3
D．以上都不对
1
D
C
2
知识点
一元二次方程的一般形式
知2－讲
感悟新知
2
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过整理，都能化成如下形式：ax?+bx+c=0
(a≠0)这
种形式叫做一元二次方程的一般形式
.
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
知2－讲
感悟新知
特别提醒
方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的前提条件是a≠0；反之，如果方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则必隐含a≠0这一条件.
感悟新知
知2－讲
一元二次方程的项和各项系数
a
x?+b
x+
c
=0
二次项系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
指出方程各项的系数时要带上前面的符号.
感悟新知
知2－练
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的
一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项．
解：
二次项系数
一次项系数
常数项
去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
所以二次项系数为3，一次项系数为－8，
常数项为－10.
例2
知2－讲
总
结
感悟新知
(1)
ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，
但b，c可以是0.
(2)
将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分
母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)
指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；
指出某项系数时应连同它前面的符号一起.
感悟新知
知2－练
把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
A
感悟新知
知2－练
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写
出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；
(3)4x(x＋2)＝25；
(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
感悟新知
知2－练
解：(1)移项，得5x2－4x－1＝0，其中二次项系数为5，
一
次项系数为－4，常数项为－1.
(2)移项，得4x2－81＝0，其中二次项系数为4，一次项
系数为0，常数项为－81.
(3)去括号，得4x2＋8x＝25，移项，得4x2＋8x－25＝0，
其中二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25.
(4)去括号，得3x2＋x－2＝8x－3，移项，合并同类项，
得3x2－7x＋1＝0，其中二次项系数为3，一次项系数
为－7，常数项为1.
知识点
一元二次方程的解(根)
知3－讲
感悟新知
3
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
感悟新知
知3－练
例
3
下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10，
则左边≠右边，
所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；
下面几个数同理可证.
经检验得－1，2为原方程的根.
解析：
知3－讲
总
结
感悟新知
判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：
可将这个数代入方程中，如果该数使方程左右两
边相等，那么这个数就是方程的根；反之，如果该数
不能使方程左右两边相等，那么这个数就不是方程的
根
.
知3－讲
总
结
感悟新知
特别提醒
如果一个数是一元二次方程的根，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等，由此可求待定字母的值.
感悟新知
知3－练
1
方程x2＋x－12＝0的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－4，x2＝3
D
知识点
一元二次方程的解(根)
知4－讲
感悟新知
4
一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．
圆形的面积
增长(利润)率
行程问题
工程问题等
一元二次方程的模型：
常用于一元二次方程来建模的问题有：
感悟新知
建立一元二次方程模型的一般步骤：
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式．
知4－讲
感悟新知
知4－练
小雨在一幅长90
cm，
宽40
cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，
制成一幅挂图并使油画画面的面积是
整个挂图面积
的54%，设边框的宽度为x
cm，根据题意，
列出方程．
本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积．
在油画四周外围镶上宽度为x
cm的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？
利用长方形的面积公式和油画面积与整个挂图面积之间的关系列方程
x
90
40
40+2x
90+2x
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
例4
知4－讲
总
结
感悟新知
建立一元二次方程模型解决实际问题时，
既
要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目
中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、
利润公式等)进行列方程．
随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，
据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约
为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(
)
A．20(1＋2x)＝28.8
B．28.8(1＋x)2＝20
C．20(1＋x2)＝28.8
D．
20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
感悟新知
知4－练
C
课堂小结
一元二次方程
判别一元二次方程的“两方法”：
(1)
根据定义要把握三点：一是整式方程；
二是含
有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.
课堂小结
一元二次方程
(2)
根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx
＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以
为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情
况无关．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业
