2.4单摆 课件（32张PPT）

2.4 单摆
思考：荡起的秋千、摆动的钟摆、晃动的风铃它们在竖直平面内的平衡位置附近的往复运动是不是简谐运动呢？
一、单摆以及单摆的回复力
1、单摆模型
（1）在细线的一端拴上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略不计，球的直径比线长短得多，这样的装置叫单摆。
（2）单摆是实际摆的理想化模型。
特别提醒！
研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。
为了更好地满足这个条件，实验时我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。
思考：单摆摆动时摆球在做振动，用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
一种方法是分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反即：F=-kx；
另一种方法是分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系。
t
?
B
?
A
?
O
?
2.单摆的回复力
如图 ，单摆摆长为 l、摆球质量为 m。将摆球拉离平衡位置 O 后释放，摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿圆弧运动到某一位置 P 时，摆线与竖直方向的夹角为 θ（θ很小）
此时摆球受到重力 mg 和摆线拉力 F 的作用
回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F= mgsinθ提供的，在平衡位置O点时，F＝0
F1＝mgcos θ
FT－ F1的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；
F＝mgsinθ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。
F
F1
mg
FT
因此，单摆振动的回复力 F 可表示为F ＝－mg????? x
式中负号表示回复力与位移的方向相反。对一个确定的单摆来说，摆球质量m和摆长l是一定的，mg?????可以用一个常量k表示，于是上式可以写成F ＝－ kx。
?
当摆角 θ 很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可认为 F 指向平衡位置 O，与位移 x 反向。圆弧OP 的长度可认为与摆球的位移 x 大小相等
即：sin θ ≈θ ＝OP????? ≈????????
?
结论：在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力跟位移大小成正比，方向始终指向平衡位置（即与位移方向相反），因此单摆做简谐运动。
一般偏角θ?＜?5°
F = ?k x
(k = mgl)
?
说明
（1）单摆的运动不一定是简谐运动，只有在摆角较小的情况下才能看成简谐运动，理论上一般θ角不超过5°，但在实验中，摆角很小时单摆运动的细节不易观察清楚，带来的测量误差反而会增大，因此实验中一般θ角不超过10°。
（2）回复力不是摆球所受的合外力，当摆球摆至平衡位置时，回复力等于零，合外力提供向心力。
做一做
细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方
向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。
结论：单摆位移与时间的关系满足正弦关系。
例1.图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程（　　）
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，向心力也最大
变式训练：关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是(　　)
A.摆球受重力、摆线的拉力作用
B.摆球受重力、摆线的拉力、回复力作用
C.摆球的回复力为零时,向心力最大
D.摆球的回复力最大时,摆线中的拉力大小比摆球的重力大
AC
技法点拨：
解决单摆回复力问题时,一定要分清物体的受力、回复力、向心力之间的关系。
二、单摆的周期
思考：条短绳系一个小球，它的振动周期较短。悬绳较长的秋千，周期较长。单摆的周期与哪些因素有关？
探究单摆周期与摆长之间的关系
在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期。
探究方法：控制变量法，研究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响。
实验一：将摆长相同、质量相同摆球拉到不同高度（即：振幅不同都在小偏角下）自由释放，观察两摆的摆动情况。
现象和结论：两摆同步摆动，说明周期与振幅无关，即摆长和质量相同，振幅不同,周期相同。
单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质。
实验二：将摆长相同、质量不同摆球拉到同一高度（振幅相同）自由释放，观察两摆的摆动情况 。
现象和结论：两摆同步摆动，说明周期与质量无关，即：摆长和振幅相同，质量不同,周期相同。
实验三:将摆长不同、质量相同摆球拉到同一高度（振幅相同）自由释放，观察两摆的摆动情况。
现象和结论：两摆不同步摆动，说明周期与摆长有关，即：振幅和质量相同，摆长不同，周期不同，摆长越长，周期越大。
实验结论：单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。
做一做
改变摆长l，测出对应的单摆周期T（在小偏角下）。根据你的实验数据，尝试在坐标纸上画出T-l图像或T-l2 图像。它们分别是什么曲线？你能根据图像判断单摆周期与摆长的关系吗？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}周期T/s
1.48
1.55
1.79
2.19
摆长/m
0.5
0.6
0.8
1.1
摆长l2 /m2
0.25
0.36
0.64
1.21
摆长l/m
摆长l2 /m2
在误差允许的范围内单摆周期与摆长的平方成正比。
1.单摆周期的公式
T = 2π????g
?
荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
惠更斯
（1）重力加速度g由单摆所在的空间位置决定。
纬度越低，高度越高，g值就越小。不同星球上g值也不同。
（2）重力加速度g还由单摆系统的运动状态决定，系统处于超重状态时，重力加速度的等效值g=g+a
系统处于失重状态时，重力加速度的等效值g =g-a
系统处于完全失重时重力加速度的等效值g=0摆球不摆动。
2.单摆周期公式的应用
（1）惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。
秒摆：周期为2s的单摆为秒摆。
（2）测量重力加速度：
T = 2π????g
?
g=4π2????T2?
?
阅读课文：科学漫步了解从日晷到原子钟的发展历程
例1.将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动，用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是（　　）
A．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9:4
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3:2
C．摆线经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大
D．摆线经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变大
AC
【答案】AC
【详解】AB．图中相邻两小球的影像的时间间隔是相同的，频闪照片拍摄的时间间隔一定，由图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为9：6，根据单摆的周期公式T＝2π????g得，摆长之比为9：4，A正确，B错误；CD．小球在摆动过程中机械能守恒，摆线经过最低点时，小球线速度不变，由
v=ωr可知r减小，角速度变大，由向心力知识，T-mg=mv2?r
可知，r减小，摆线张力T变大，D错误，C正确。
故选AC。
?
变式训练：一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方 0.19l 处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
技法点拨：
单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
解析：释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。
小球在左边的周期为T1＝2π????g
小球在右边的周期为T2＝2π0.81????g
则整个单摆的周期为T＝T12＋T22＝π????g＋π0.81????g＝1.9π????g
?
单摆
单摆以及单摆的回复力
单摆的回复力：摆球重力沿切线方向的分力
单摆的周期：T = 2π????g
?
理想化模型
再见