(共25张PPT)
3.1.1 空间向量及其加减运算
课标阐释
思维脉络
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示方法.
2.理解空间向量的相关概念.
3.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解空间向量加法、减法的几何意义.
空间向量及其加减运算
【思考1】类比平面向量的概念,能否给出空间向量的概念?
答案能.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.
1.空间向量及其表示
(1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.
(2)表示:①几何表示法,用有向线段表示;
②字母表示法,用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示.
特别提醒注意区分有向线段与向量.向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.
2.空间向量的相关概念
(1)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0.
(2)单位向量:模为1的向量称为单位向量.
(3)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量,记为-a.
(4)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.
名师点拨1.空间向量的表示方法,以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量相同.
2.凡涉及空间两个向量的问题,平面向量中有关结论仍然适用它们.
3.两个向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量只有相等与不相等之分,而无大小之分.
【做一做1】
下列命题中,假命题是( )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.零向量的模等于0
D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p
解析向量不能比较大小,故A为真命题.
相等向量:方向相同,模相等.若起点相同,则终点也相同,故B为真命题.
零向量:模为0的向量,故C为真命题.
若m=n,n=p,则一定有m=p,故D为假命题.
答案D
【思考2】下面给出了两个空间向量a、b,作出b+a,b-a.
3.空间向量的加减运算及其运算律
特别提醒1.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
2.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和是零向量.
答案B
探究一
探究二
当堂检测
探究一空间向量及相关概念的理解
探究一
探究二
当堂检测
解析①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
答案②③
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟空间向量概念的辨析
(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;
(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;
(3)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;
(4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练下列说法正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
C.零向量没有方向
D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c
解析两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故B项正确.
答案B
探究一
探究二
当堂检测
探究二空间向量的加法与减法运算
例2
如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
思路分析根据空间向量加法及减法运算法则求解.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
2.化简空间向量的常用思路
(1)分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.
(2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
(3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
思维辨析
一题多变——空间向量的加法、减法运算
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
解(1)根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C,DD1E1E都是平行四边形,
探究一
探究二
当堂检测
(2)因为六边形ABCDEF是正六边形,
所以BC∥EF,BC=EF,
又因为E1F1∥EF,E1F1=EF,
所以BC∥E1F1,BC=E1F1,
所以四边形BCE1F1是平行四边形,
方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求.
探究一
探究二
当堂检测
1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的必要不充分条件.
答案B
探究一
探究二
当堂检测
答案A
探究一
探究二
当堂检测
3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量
相等的向量共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案C
探究一
探究二
当堂检测
答案-c-a+b
探究一
探究二
当堂检测
5.如图所示的是平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列各式.(共32张PPT)
3.1.2 空间向量的数乘运算
课标阐释
思维脉络
1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律.
2.理解向量共线、向量共面的定义.
3.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.
空间向量的数乘运算
【思考1】平面向量中,实数λ和向量a的乘积λa的意义是什么?向量的数乘运算满足哪些运算律?
答案当λ>0时,λa和a方向相同;当λ<0时,λa和a方向相反;λa的长度是a的长度的|λ|倍.
向量的数乘运算满足分配律及结合律:
①分配律:λ(a+b)=λa+λb;
②结合律:λ(μa)=(λμ)a.
1.空间向量的数乘运算
(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.
(2)向量a与λa的关系
(3)空间向量的数乘运算律
若λ,μ是实数,a,b是空间向量,则有
①分配律:λ(a+b)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa;
②结合律:λ(μa)=(λμ)a.
名师点拨对空间向量数乘运算的理解
(1)λa是一个向量.
(2)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这个平面内,因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量.
答案A
【思考2】参照平面向量中关于向量共线的知识,给出空间中共线向量的定义.
答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
2.共线向量与共面向量
?
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要
条件
对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使a=λb
若两个向量a,b不共线,则向量p与a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
名师点拨共线向量的特点及三点共线的充要条件
(1)共线向量不具有传递性
因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c.则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.
(2)空间三点共线的充要条件
【做一做2】
满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是( )
答案C
【做一做3】
下列结论中,正确的个数是 .?
①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc;
②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc;
③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc;
④若a=xb+yc,则a,b,c共面.
解析对于①,当向量b,c共线时,则不成立,∴①错误;
对于②,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得a,b,c不共面时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,∴②正确;
对于③,由空间向量的共面定理可知③正确;
对于④,根据空间向量的共面定理得,当a=xb+yc时,a,b,c共面,
∴④正确.
综上,正确的结论是②③④.
答案3
【做一做4】
判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.( )
(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( )
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.( )
答案(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一空间向量的线性运算
思路分析根据数乘向量及三角形法则,平行四边形法则求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
空间共线向量定理及其应用
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用空间向量共线定理可解决的主要问题
1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.
2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.
3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
变式训练2如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断
是否共线.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三空间共面向量定理及其应用
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟证明共面问题的基本方法
(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.
(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O,确定在下列条件下,点P是否与点A,B,M共面?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多解——四点共面问题
典例已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:
试判断点P是否与点A,B,C共面.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.若x是实数,则“a=xb”是“向量a,b共线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析当a=xb时,向量a,b一定共线,但当b=0时,向量a,b共线,这时不能表示为a=xb.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M,A,B,C共面的是( )
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共35张PPT)
3.1.3 空间向量的数量积运算
课标阐释
思维脉络
1.理解空间两个向量夹角的定义.
2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.
3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.
空间向量的数量积
特别提醒1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.
2.对空间任意两个非零向量a,b有:
①
=;②<-a,b>==π-;③<-a,-b>=.
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
答案D
【思考】(1)若a·b=0,则一定有a⊥b吗?
(2)若a·b>0,则一定是锐角吗?
答案(1)若a·b=0,则不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.
(2)当=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,不一定是锐角.
2.空间向量的数量积
(1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b.
(2)数量积的运算律:
(λa)·b=λ(a·b);a·b=b·a(交换律);
a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
(3)数量积的运算性质:
①若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0.
②若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
④|a·b|≤|a||b|.
名师点拨1.对空间向量数量积的理解
(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
(2)空间向量的数量积运算不满足a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c).
2.空间向量数量积的应用
(3)利用关系a⊥b?a·b=0可以证明空间两直线的垂直.
【做一做2】
已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是( )
解析当长方体ABCD-A1B1C1D1为正方体时,根据正方体的性质可知AB⊥AD1,AD1⊥B1C,BD1⊥AC,
答案C
【做一做3】
已知向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直.若m=8j+3k,n=-i+5j-4k,则m·n的值为( )
A.7
B.-20
C.28
D.11
解析向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直,
所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.
因为m=8j+3k,n=-i+5j-4k,所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)=40-12=28.故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一求空间向量的数量积
例1
已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟空间向量运算的方法与步骤
方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos
并结合运算律进行计算.
(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
(3)代入a·b=|a||b|cos
求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解析如图,连接AG并延长,与BC交于点D,∵点G是底面△ABC的重心,
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究二利用数量积求夹角
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos
,求出cos
=
的值,然后确定的大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;
(2)利用数量积求夹角:运用公式cos=
进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析(1)设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
又因为|a|=|b||≠0,所以cos
θ=-
,所以θ=120°.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究三利用数量积证明垂直问题
例3
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究四利用数量积求距离或长度
例4
如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|=
,通过计算求出|a|,即得所求距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
规范解答
利用向量的数量积求两异面直线所成角
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=
,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
【答题模板】
第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.
?
第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.
?
第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.
?
第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
失误警示通过统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
跟踪训练在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BA1与直线AC所成的角为 .?
答案60°
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是( )
解析四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是( )
A.重合
B.平行
C.垂直
D.无法确定
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,
∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为( )
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
5.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.(共31张PPT)
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课标阐释
思维脉络
1.掌握空间向量运算的坐标表示.
2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用.
3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式,能运用公式解决问题.
空间向量运算的坐标表示
→应用
【思考】设m=(x1,y1),n=(x2,y2),那么m+n,m-n,λm,m·n如何运算?
答案m+n=(x1+x2,y1+y2),m-n=(x1-x2,y1-y2),λm=(λx1,λy1),m·n=x1x2+y1y2.
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
【做一做1】
已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n= ?,3m-n= ?,(2m)·(-3n)= .?
解析m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
答案(-1,-1,1) (5,-11,19) 168
2.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);
(2)a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0.
名师点拨当b的坐标b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b?
.
【做一做2】
已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a⊥b,则x= ;若a∥b,则x= .?
3.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一空间向量的坐标运算
例1
已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量的坐标运算法则进行计算求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.
(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),
所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二空间向量的平行与垂直
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断;
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb(λ∈R)),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).λ,m∈R.
(1)若a∥b,分别求λ与m的值;
(2)若|a|=
,且a与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三空间向量夹角与模的计算
例3
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求BM,BN的长.
(2)求△BMN的面积.
思路分析建立空间直角坐标系,写出点B,M,N的坐标,从而得出
的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟向量夹角与模的计算方法
利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos
∠EAF= ,EF= .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多变——空间向量的平行与垂直
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究2本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.延伸探究2本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.下列各组两个向量中,平行的一组向量是( )
A.a=(1,-2,3),b=(1,2,1)
B.a=(0,-3,3),b=(0,1,-1)
解析对于B,因为a=(0,-3,3)=3(0,1,-1)=3b,所以两个向量平行,而对于A,C,D,不存在实数λ∈R,使得a=λb,所以两个向量不平行,故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·2b=-2,则x的值为( )
A.-2
B.2
C.0
D.-1
解析由(c-a)·2b=-2,即2b·c-2a·b=-2,
则b·c-a·b=-1,
所以1+2+1-(1+2+x)=-1,解得x=2.
故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知a=(cos
α,1,sin
α),b=(sin
α,1,cos
α),则向量a+b与a-b的夹角是( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
解析依题意,a=(cos
α,1,sin
α),b=(sin
α,1,cos
α),
则|a|2=cos2α+12+sin2α=2,|b|2=sin2α+12+cos2α=2,
所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=2-2=0,
所以(a+b)⊥(a-b),即向量a+b与a-b的夹角是90°.
故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间的距离的最小值为( )
解析因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.(共34张PPT)
第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
课标阐释
思维脉络
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法.
3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.
利用向量证明平行关系
1.空间中点、直线、平面的向量表示
(1)点的位置向量
图①
(2)直线的方向向量
图②
(3)平面的向量形式
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得
=xa+yb.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出平面α内的任意一点.
图③
(4)平面的法向量
对于直线l和平面α,若l⊥α,取l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
【做一做1】
下列说法中正确的是( )
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
解析由平面法向量的定义可知,B项正确.
答案B
2.空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a,b,则
(1)l∥m?a∥b?a=λb(λ∈R);
(2)当a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)时,
l∥m?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)
线面平行
设直线l在平面α外,l的方向向量为a,α的法向量为n,则
(1)l∥α?a⊥n?a·n=0;
(2)当a=(a1,b1,c1),n=(a2,b2,c2),l∥α?a1a2+b1b2+c1c2=0
面面平行
设两个不重合的平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
(1)α∥β?n1∥n2?n1=λn2(λ∈R);
(2)当n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)时,
α∥β?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)
【做一做2】
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则( )
A.l∥α
B.l?α
C.l⊥α
D.l?α或l∥α
解析∵a·b=0,∴a⊥b,则l?α或l∥α.故选D.
答案D
【做一做3】
若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是 .?
解析因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,
所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
答案平行
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一平面法向量及其求法
例1
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?
解如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二利用向量方法证明线面平行
例2
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法三:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明建立如图所示的空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三利用向量方法证明面面平行
例3
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明建立如图所示的空间直角坐标系,则
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多解——利用向量证明空间线线平行
典例在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
证明方法一:以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2相交但不垂直
D.不能确定
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α∥β,则x的值为( )
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
解析因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为
,则m= .?
答案-8
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明如图,建立空间直角坐标系Dxyz,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共32张PPT)
第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系
课标阐释
思维脉络
1.理解垂直关系与直线方向向量、平面法向量的关系.
2.掌握利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的基本方法.
利用空间向量证明垂直关系
【思考】若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为μ2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?
答案l1与l2垂直,因为μ1·μ2=1-3+2=0,所以μ1⊥μ2,又μ1,μ2是两直线的方向向量,所以l1与l2垂直.
垂直关系与方向向量、法向量的关系
线线垂直
设直线l,m的方向向量分别为a,b,则
(1)l⊥m?a⊥b?a·b=0;
(2)当a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)时,l⊥m?a1a2+b1b2+c1c2=0
线面垂直
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则
(1)l⊥α?a∥n?a=λn(λ∈R);
(2)当a=(a1,b1,c1),n=(a2,b2,c2),l⊥α?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2)
面面垂直
设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
(1)α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0;
(2)当n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)时,α⊥β
?a1a2+b1b2+c1c2=0
【做一做1】
若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l?α
D.l与α相交但不垂直
解析由已知可得n=-2a,则n∥a,因此,l⊥α.故选B.
答案B
【做一做2】
设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
解析因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
答案B
做一做3】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.
( )
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
(4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.( )
(5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一利用向量方法证明线线垂直
例1
如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二利用向量方法证明线面垂直
例2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.
思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明
与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明
与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明
与法向量共线,从而证得结论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法二:分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法三:分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2
,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三利用向量方法证明面面垂直
例3
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思想方法
坐标法证明线面垂直
典例如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明方法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法总结
1.坐标法证明线面垂直有两种思路
方法一:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
方法二:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)求出平面的法向量;
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用方法二,否则常常选用方法一解决.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中:①n1∥n2?α∥β;②n1⊥n2?α⊥β;③v∥n1?l∥α;④v⊥n1?l⊥α.正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴①②正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴③④都错误.故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量
u=(-4,m,n),若l⊥α,则m+n= .?
解析因为l⊥α,所以d∥u,且d=(2,3,5),u=(-4,m,n),
因此,m+n=-16.
答案-16
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是( )
A.重合
B.垂直
C.平行
D.无法确定
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共39张PPT)
第3课时 利用向量求空间角
课标阐释
思维脉络
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.
3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
利用向量求空间角
【思考】空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些?
答案线线角、线面角、二面角;传统方法和向量法.
1.利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有
cos
θ=|cos|=
.
特别提醒不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是
,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
【做一做1】
若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),
b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
答案B
2.利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sin
θ=|cos|=
.
特别提醒直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
【做一做2】
已知向量a=(2,-3,
)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案A
3.利用向量方法求二面角
(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cos
θ|=|cos|=
;
(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
特别提醒由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小.
A.120°
B.150°
C.30°或150°
D.60°或120°
解析设所求二面角的大小为θ,
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一利用向量方法求两异面直线所成角
例1
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
思路分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是
,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .?
解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,图略.设AB=1.则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二利用向量方法求直线与平面所成角
例2如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
思路分析(1)线面平行的判定定理?MN∥平面PAB.
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角?直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三利用向量方法求二面角
例3
如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.
思路分析有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义,在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的夹角求得二面角的大小.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则
因为△AMN,△BMN为等腰三角形,所以AG⊥MN,BG⊥MN,故∠AGB为二面角的平面角或其补角.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟利用平面的法向量求二面角
利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,
AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),
设AC的中点为M,因为BM⊥AC,BM⊥CC1,所以BM⊥平面A1C1C,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多变——空间角的求法
典例如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(1)证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,
又因为CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,
因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又因为O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究1本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究2本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法总结
向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
(1)建立适当的坐标系,写出相应点的坐标;
(2)求出两个半平面的法向量n1,n2;
(3)设二面角的平面角为θ,则|cos
θ|=|cos|;
(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角,从而求出θ(或其三角函数值).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析由于二面角的范围是[0,π],而二面角的两个面α与β的法向量
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD是边长为2的正方形,E为BC的中点,则异面直线BD与PE所成的角的余弦值为( )
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.
又因为AB⊥AD,
所以以A为原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.(共53张PPT)
第4课时 利用向量解决平行与垂直、
夹角问题
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
答案①a=λb;②p=xa+yb;③p=xa+yb+zc;④|a||b|cos.
知识网络
要点梳理
1.空间向量的有关概念
名 称
定 义
空间向量
在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模
单位向量
长度(或模)为1的向量
零向量
长度(或模)为0的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相
平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
知识网络
要点梳理
2.空间向量的运算律
a.加法交换律:a+b=b+a;
b.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
c.数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb;
d.数乘结合律:λ(μa)=(λμ)a.
知识网络
要点梳理
3.空间向量的有关定理
定理
语言描述
共线向
量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b?存在唯一一个λ∈R,使a=λb
共面向
量定理
若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面?存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
空间向量
基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc
知识网络
要点梳理
4.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a|·|b|·cos叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
知识网络
要点梳理
5.向量的坐标运算
知识网络
要点梳理
6.用向量计算空间角和距离
(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cos
θ=|cos|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足sin
θ=|cos|.
(3)求二面角的大小
a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<>.
b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos
θ=cos或π-cos.
专题归纳
高考体验
专题一 空间向量概念及运算
例1
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,点G在棱CD上,CG=
CD,H是C1G的中点.
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成的角的余弦值;
(3)求FH的长.
专题归纳
高考体验
解如图,以D为原点建立直角坐标系Dxyz.则
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
反思感悟数量积的应用
(1)求夹角:设向量a,b所成的角为θ,则cos
θ=
,进而可求两异面直线所成的角.
(2)求长度(距离):运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
(3)解决垂直问题:利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
专题归纳
高考体验
跟踪训练1已知空间向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0).
(1)若(ka-b)⊥b,则k= .?
(2)若|λa+b|=
,且λ>0,则λ的值为 .?
解析(1)因为(ka-b)⊥b,所以(ka-b)·b=0,
即ka·b-|b|2=0,
因此-k-17=0,解得k=-17.
(2)因为a=(0,-1,1),b=(4,1,0),
所以λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ).
因为|λa+b|=
,所以42+(1-λ)2+λ2=29,
整理得λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2,
又因为λ>0,故λ=3.
答案(1)-17 (2)3
专题归纳
高考体验
专题二 利用空间向量证明位置关系
例2
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
求证:(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EGF∥平面ABD.
思路分析建立空间直角坐标系,通过坐标运算,结合线面垂直,面面平行的判定定理进行证明.
专题归纳
高考体验
证明(1)如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),
则B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G
专题归纳
高考体验
反思感悟向量法证明空间中的位置关系
位置关系
证明方法
线线平行
证明两条直线的方向向量共线
线线垂直
证明两条直线的方向向量垂直
线面平行
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量是共面向量;
(3)转化为线线平行
线面垂直
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线;
(2)转化为线线垂直
面面平行
(1)证明两个平面的法向量共线;
(2)转化为线面平行、线线平行
面面垂直
(1)证明两个平面的法向量垂直;
(2)转化为线面垂直、线线垂直
专题归纳
高考体验
跟踪训练2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.
求证:(1)PA∥平面EDB;
(2)平面PBD⊥平面EFD.
专题归纳
高考体验
证明以D点为坐标原点,
所在的方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系
(如图所示).设DC=a.
(1)连接AC,交BD于G,连接EG.
专题归纳
高考体验
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
所以PB⊥平面EFD.又因为PB?平面PBD,
所以平面PBD⊥平面EFD.
专题归纳
高考体验
专题三 利用空间向量求空间角
例3
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
解(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,
所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
反思感悟向量法求解空间角
空间角
向量求法
异面直线
所成角
若异面直线l1,l2的方向向量分别为u,v,它们所成角为θ,则cos
θ=|cos|
直线与平
面所成角
若直线l的方向向量为u,平面β的法向量为n,它们所成角为θ,则sin
θ=|cos|
二面角
若二面角的两个面的法向量分别为n1,n2,二面角的大小为θ,则θ=或π-,cos
θ=cos
或cos
θ=-cos
专题归纳
高考体验
跟踪训练3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱BB1的中点.
(1)求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值.
(2)求二面角A-MC1-A1的余弦值.
专题归纳
高考体验
解以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
考点一 空间向量及其运算
1.(2020全国Ⅰ,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,
则|a-b|= .?
专题归纳
高考体验
考点二 利用空间向量求空间角
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
答案A
专题归纳
高考体验
3.
(2021全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.
(1)求BC;
(2)求二面角A-PM-B的正弦值.
专题归纳
高考体验
解(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM?底面ABCD,
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,
∴AM⊥BD,
∴∠ADB+∠DAM=90°.
又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,
专题归纳
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专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
4.(2020全国Ⅰ,理18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=
DO.
(1)证明:PA⊥平面PBC;
(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
专题归纳
高考体验
(1)证明设DO=a,由题设可得
因此PA2+PB2=AB2,从而PA⊥PB.
又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC.
所以PA⊥平面PBC.
专题归纳
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专题归纳
高考体验
5.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.
专题归纳
高考体验
(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,
故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解作EH⊥BC,垂足为H.
因为EH?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.
由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得
以H为坐标原点,
的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,
专题归纳
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专题归纳
高考体验
6.(2020浙江,19)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.
(1)证明:EF⊥DB;
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
专题归纳
高考体验
(1)证明如图,过点D作DO⊥AC,交直线AC于点O,连接OB.
所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.
由三棱台ABC-DEF,得BC∥EF.
所以EF⊥DB.
专题归纳
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(2)解方法一 过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH.
由三棱台ABC-DEF,得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO,得OH⊥BC,故OH⊥平面BCD,所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
专题归纳
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方法二 由三棱台ABC-DEF,得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角,记为θ.如图,以O为原点,分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
专题归纳
高考体验
7.(2020山东,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
专题归纳
高考体验
(1)证明因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.
所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因为AD?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
考点三 利用空间向量解决综合问题
8.(2020天津,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.
(1)求证:C1M⊥B1D;
(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;
(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.
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解依题意,以C为原点,分别以
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),
E(0,0,2),M(1,1,3).
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9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,
AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且
.
(1)求证:CD⊥平面PAD;
(2)求二面角F-AE-P的余弦值;
(3)设点G在PB上,且
,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.
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(1)证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.
(2)解过A作AD的垂线交BC于点M.
因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥AM,PA⊥AD.
如图建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).
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令z=1,则y=-1,x=-1.
于是n=(-1,-1,1).
又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),
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高考体验(共42张PPT)
习题课——空间向量在空间问题中的综合应用
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用空间向量求两点间距离的方法.
2.掌握利用空间向量解决探索性问题的基本方法.
3.掌握利用空间向量解决综合问题的方法.
空间向量的综合应用
1.利用空间向量求两点间距离
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则
2.利用空间向量求点面距
如图,设AB为过平面α内一点A的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d=
.
3.利用空间向量解决探索性问题
立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了.
空间中的探索性问题一般有以下两种类型:
(1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件.
(2)“存在型”,是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.
【做一做1】
已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,点P(1,2,-2)在α外,则点P到平面α的距离为( )
答案A
【做一做2】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
解析以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).
答案D
【做一做3】
如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记
=λ,则当∠APC为钝角时,实数λ的取值范围是 .?
解析由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一利用空间向量求空间中两点间距离
例1
如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长度.
思路分析本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|=
求解.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用空间向量求空间两点距离的基本方法
(1)坐标法,建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两点距离公式求解.
(2)向量分解法,将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式|a|=
求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为( )
A.4
B.2
C.3
D.2
答案D
探究一
探究二
探究三
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探究二利用空间向量求点面距
例2
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.
思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解取AC的中点O,连接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法:d=
(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)
探究一
探究二
探究三
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变式训练2在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求点B1到平面A1BD的距离.
探究一
探究二
探究三
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(1)证明连接AB1交A1B于点E,连接DE.
探究一
探究二
探究三
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探究三利用空间向量解决空间中的探索性问题
例3
在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,∠ABC=60°,
PA=AC=a,PB=PD=
a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.在PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.
思路分析首先假设存在,然后再根据BF∥平面AEC,结合线面平行的条件进行推理.
探究一
探究二
探究三
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解存在.证明如下:因为PA=AC=a,∠ABC=60°,
所以AB=AD=a.又因为PB=PD=
a,
所以PA⊥AB,PA⊥AD,
所以PA⊥平面ABCD.
如图,以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟立体几何中探索性问题的解法
解决这类探索性问题的基本策略是:假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥菱形ABCD所在的平面,∠ABC=60°,E是BC中点,F是PC上的点.
(1)求证:平面AEF⊥平面PAD;
(2)若M是PD的中点,当AB=AP时,是否存在点F,使直线EM与平面AEF所成角的正弦值为
?若存在,请求出
的值,若不存在,请说明理由.
探究一
探究二
探究三
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(1)证明连接AC,因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC是正三角形,
因为E是BC的中点,所以AE⊥BC,
又AD∥BC,所以AE⊥AD,
因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE,
又PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD,
又AE?平面AEF,所以平面AEF⊥平面PAD.
探究一
探究二
探究三
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(2)解存在.以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,不妨设AB=AP=2,则AE=
,
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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规范解答
利用空间向量解决空间的综合问题
典例如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=
AB.
(1)证明:BC1∥平面A1CD.
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.
【审题策略】第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应建立直角坐标系,利用向量方法进行求解.
探究一
探究二
探究三
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【规范展示】
(1)证明连接AC1,交A1C于点F,连接DF,
则F为AC1的中点.
又因为D是AB的中点,所以DF∥BC1.
又因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,
故BC1∥平面A1CD.
(2)解设AB=2a,由AA1=AC=CB=
AB可得AA1=AC=CB=
a,所以AC⊥BC.
又因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
故可建立如图所示的空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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【答题模板】
第1步:证明线线平行
?
第2步:证得线面平行
?
第3步:建立空间直角坐标系
?
第4步:求出平面内两不共线向量的坐标
?
第5步:用待定系数法求法向量的坐标
?
第6步:求出两个法向量夹角的余弦值,进而求得正弦值.
探究一
探究二
探究三
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失误警示通过统计分析,失分主要出现在第(2)问,造成失分的原因是:
(1)不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能恰当地建立空间直角坐标系.
(2)不能利用中点公式正确地求出相关点的坐标.
(3)待定系数法求法向量的方法与步骤不熟练,导致法向量坐标求错.
(4)不能利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为二面角的正弦值.
探究一
探究二
探究三
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跟踪训练
如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AB∥CD,AD⊥CD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点.
(1)求证:BC⊥平面BDE;
(2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值.
探究一
探究二
探究三
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(1)证明在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH,
因为AD=AB,AB∥CD,AD⊥CD,
所以四边形ADHB为正方形.
又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,
所以CD2=BD2+BC2,所以BC⊥BD.
又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,
所以DE⊥平面ABCD,所以BC⊥DE,
又BD∩DE=D,故BC⊥平面BDE.
探究一
探究二
探究三
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(2)解由(1)知CD⊥平面ABCD,AD⊥CD,
所以DE,DA,DC两两垂直.
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz,
探究一
探究二
探究三
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1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是( )
A.7
B.8
C.9
D.10
解析以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),由已知M(2,3,6),所以|MP|=
.
答案A
探究一
探究二
探究三
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2.在如图所示的几何体中,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是( )
A.OA,OB,OC的长度可以不相等
B.直线OB∥平面ACD
C.直线OD与BC所成的角是45°
D.直线AD与OB所成的角是45°
探究一
探究二
探究三
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答案D
探究一
探究二
探究三
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3.如图所示,在直二面角α-l-β中,A,B∈l,AC?α,AC⊥l,BD?β,
BD⊥l,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长为 .?
答案26
探究一
探究二
探究三
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4.已知三棱锥A-BCD,AD⊥AB,AB=AD,△BDC是边长为2
的等边三角形.
(1)证明:BD⊥AC.
(2)若平面ABD⊥平面ABC,求二面角A-BC-D的余弦值.
(1)证明设E为BD中点,连接AE,EC.
因为AB=AD,所以BD⊥AE.
又因为△BDC是等边三角形,所以BD⊥CE.
又CE∩AE=E,故BD⊥平面AEC.
所以BD⊥AC.
探究一
探究二
探究三
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(2)解因为平面ABD⊥平面ABC,且相交于AB,又AD⊥AB,
所以AD⊥平面ABC.
以A为坐标原点,AC,AB,AD所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),D(0,0,2),