一元二次方程的几种解法.

(共58张PPT)
一元二次方程的几种解法
引例
剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的长为（x+5) cm. 根据题意，得
x（x+5)=150.
去括号，得 x2+5x=150.
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
1、只含一个未知数的
一元方程；
2、未知数的最高次数是2的
二次方程；
3、整式方程.
（不是整式方程）
（不是整式方程）
（不是一元方程）
（不是整式方程）
（不是整式方程）
（不是一元方程）
（不是二次方程）
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0
(a≠0)
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
不完全的
一元二次方程
ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
ax2=0 (a≠0)
　　（１）化为一般形式后，
　　（２）二次项的系数是否为0
是判断一元二次方程的关键.
例１、方程　　　　　　　　　　是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.　
移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.　
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.　
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
（1）
（2）
（3）
（4）
答：a=1, b=3, c= -2.
答：a=3, b=-5, c= 2.
答：a=-2, b=-5, c= 3.
答：a=6, b=1, c= -5.
练习：说出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵　原方程是一元二次方程，　　∴　2m-1≠0，
∴　m≠ .
二、一元二次方程的解法
形如 的一元二次方程的解法：
ax2=0 (a≠0)
ax2=0 (a≠0)
2x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 的一元二次方程的解法：
ax2=0 (a≠0)
5x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 的一元二次方程的解法：
ax2=0 (a≠0)
-3x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 的一元二次方程的解法：
ax2=0 (a≠0)
ax2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 的一元二次方程的解法：
4x2=36,
解：x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
4x2=36,
x2=9，
4x2-36=0.
解：
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
当ac<0时 ，
形如 （a≠0，c ≠ 0）的一元二次方程的解法：
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
x2=8.
2x2=9.
解：
-3x2+7=0.
解：
将(x-2)看作一个整体, 开平方，得:
解：系数化1，得
解：系数化1，得
开平方，得
解这两个一元一次方程，得
或
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
的一元二次方程都可用直接开平方法解.
写成（）2 的形式，得
写成（）2 的形式，得
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得
写成（）2 的形式，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得
写成（）2 的形式，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
开平方，得
解这两个方程，得
配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得
怎样配方：常数项是一次项系数一半的平方.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
开平方，得
解这两个方程，得
二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
开平方，得
解这两个方程，得
二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
开平方，得
解这两个方程，得
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
开平方，得
解这两个方程，得
二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得
写成（）2 的形式，得
配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
开平方，得
解这两个方程，得
二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得
解法2：配方法
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数；
2、移项：将常数项移到等号一边；
3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、开平方：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程；
配方法的基本步骤：
7、写出方程的解.
三、练习
练习 1、填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
16
4
练习 1、填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2、用配方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：
(4)
解：
四、小结
1、一元二次方程的概念；
2、两种解法：（1）直接开平方法；
（2）配方法.
3、转化的数学思想.
五、作业
P15 A组 用直接开平方法解下列方程：
3、用配方法解下列方程：
B组 1、解下列关于x的方程：
补充：已知 (m-1)x2+mx=x-1 是 （1）一元二次方程时（2）一元二次方程时，求：m的取值范围.