2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步优生辅导训练（word版答案）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共10小题）
1．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
2．已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，点C关于x轴的对称点为D点，若四边形ACBD为正方形，则m的值为（　　）
A． B．﹣ C．± D．±
3．关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标是（﹣1，1）
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．该图象与x轴有两个交点
4．一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（　　）
A．a＞0、b＜0、c＞0 B．a＞0、b＜0、c＜0
C．a＜0、b＞0、c＞0 D．a＜0、b＞0、c＜0
5．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
7．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝2，x2＝﹣6 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
8．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣3的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
10．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x＝m是方程0＝ax2+bx+c的一个解，则下列选项中正确的是（　　）
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72
A．1.6＜m＜1.8 B．1.8＜m＜2.0 C．2.0＜m＜2.2 D．2.2＜m＜2.4
二．填空题（共7小题）
11．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为　 　．
12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是　 　．
13．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为　 　．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式　 　；
（2）当y＞0时，求x的取值范围是　 　．
15．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为　 　．
16．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点为A，在x轴上方作垂直于y轴的直线BC，交该抛物线于点B、C，连接AB、AC．若点A、B到x轴的距离相等，则△ABC的面积为　 　．
三．解答题（共5小题）
18．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
19．已知，如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若点P在射线BC上，且S△PAC＝S△PAB，求点P的坐标．
20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A、B两点，点A在y轴上，抛物线交x轴于C、D两点，已知C（﹣3，0）
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．
（3）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于8．求出点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），
∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），
令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴m＝＝2．
故选：C．
2．解：∵二次函数y＝m （x﹣1）（ x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点，
∴A（1，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线直线x＝＝，
设顶点C的坐标为（，a），
∵四边形ACBD为正方形，
∴|a|＝，
∴C（，）或C（，﹣），
把C点的坐标代入得：＝（﹣1）（ ﹣4）m或﹣＝（﹣1）（ ﹣4）m，
解得：m＝±，
故选：C．
3．解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1，
∴A选项错误，B选项正确，
∵抛物线开口向上，顶点为（1，1），
∴抛物线与x轴无交点，D选项错误，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，C选项错误．
故选：B．
4．解：由题意得：，解得，
由c﹣4a＜0得，﹣5a﹣4a＜0，故a＞0，则b＜0，c＜0，
故选：B．
5．解：∵y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+ax+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝11；
当x＝3时，y＝6；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：C．
6．解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
7．解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1＝0，
∴a＝﹣，
∴方程a（x﹣2）2+1＝0可化为﹣（x﹣2）2+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
8．解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②从图象看，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故②正确，符合题意；
③从图象看，抛物线与x轴由两个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误，不符合题意；
④抛物线的对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a．
抛物线与y轴交点的纵坐标是2，即c＝2．
如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
即3a+c＜0，故④正确，符合题意；
故选：C．
9．解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣3的函数值恒为负数的条件为△＝4+4（m﹣3）＜0，
解得m＜2，
当m＝1时，关于x的方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0可化为4x﹣1＝0，该方程有实数根，
当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是△＝16+4（m﹣1）≥0，
解得m≥﹣3且m≠1，
综上所述，﹣3≤m＜2，
∴整数m的取值为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1，则其和为：﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣5．
故选：B．
10．解：由表可以看出，当x取2.0与2.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x＝m的取值范围为2.0＜m＜2.2．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．解：抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．
∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．
则抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为（3，0）．
故答案是：（3，0）．
12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，
∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，
∴a﹣1≠0，
∴a≠1，
∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4+4（a﹣1）＞0，
∴a＞0，
∴a的取值范围是a＞0且a≠1，
故答案为：a＞0且a≠1．
13．解：由x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
所以AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5，
把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝5，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：（4，5）或（﹣2，5）．
14．解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．即y＝（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）解方程x2﹣4x+3＝0，得x＝1或3．
∵y＝x2﹣4x+3，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x＜1或x＞3时，函数y＞0．
故答案是：x＜1或x＞3．
15．解：∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
∴这个点的坐标为（﹣1，0）或（1，0），
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0）时，
，
解得，，
即该二次函数的解析式为y＝x2x；
当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（1，0）时，
，
解得，，
即该二次函数的解析式为y＝x2+x；
由上可得，该二次函数的解析式为y＝x2x或y＝x2+x，
故答案为：y＝x2x或y＝x2+x．
16．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h+6）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+6）2+k＝0，对应的解是x1＝﹣8，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝﹣8，x2＝﹣3．
17．解：函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝2，
当x＝2时，y＝x2﹣2x﹣2＝﹣4，
∵点A、B到x轴的距离相等，则yB＝|yA|＝4，
当y＝x2﹣2x﹣2＝4时，解得x＝6或﹣2，
即点B、C的坐标分别为﹣2，6，
故BC＝6+2＝8，
则△ABC的面积＝×BC×yB＝×8×（4+4）＝32，
故答案为32．
三．解答题（共5小题）
18．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标（1，﹣4）；
（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，
∴B（3，0），
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，
设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．
19．解：（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，
故C（0，3），B（3，0）．
把两点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，
解得，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P点坐标为（x，﹣x+3），
∵C（0，3），
∴S△PAC＝S△ABC﹣S△PAB＝S△PAB，
即|AB|×3﹣|AB|×（﹣x+3）＝×|AB|×（﹣x+3），
解得x＝1，∴P（1，2），同理可求另一个点P（﹣3，6）；
故P（1，2），（﹣3，6）．
20．解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝x+3＝3，则A（0，3），
把A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3；
（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵C点和D点关于直线x＝﹣对称，
∴MC＝MD，
∵|MB﹣MC|≤BC（当B、C、M共线时，取等号），
∴|MB﹣MC|的最大值为BC的长，
解方程组，解得，则B（﹣4，1），
∴BC＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
把B（﹣4，1），C（﹣3，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣时，y＝﹣x﹣3＝﹣，则此时M点的坐标为（﹣，﹣），
∴点M的坐标为（﹣，﹣）时，|MB﹣MD|的值最大，最大值为．
21．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得，
解之，得．
所以，抛物线的表达式为；
（2）由，得C（0，4）．
将点B（4，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，得，解之，得．
所以，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4．
由M（m，0），得，Q（m，﹣m+4）．
∴，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°．
∴∠PQN＝∠BQM＝45°．
∴＝．
∵，
∴当m＝2时，PN有最大值，最大值为．
22．解：（1）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣4）2﹣2，
将点B的坐标代入上式得，6＝a（0﹣4）2﹣2，解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣4）2﹣2；
（2）令y＝（x﹣4）2﹣2＝0，解得x＝2或6，
故点A、C的坐标分别为（2，0）、（6，0）；
（3）△ACP的面积＝×AC×|yP|＝×（6﹣2）×|yP|＝8，
则yP＝±4，
即±4＝（x﹣4）2﹣2，解得x＝4±2，
故点P的坐标为（4﹣2，4）或（4+2，4）．