2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》同步优生辅导训练（word版答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》同步优生辅导训练（word版答案） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 293.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-15 00:00:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2 B．y＝﹣2（x+3）2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 D．y＝﹣2（x+3）2﹣6
2．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
3．如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
4．已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＝y2＞y3 D．y1＞y2＝y3
5．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，m），且与x轴的一个交点为（3，0），与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点）有下列结论：
①abc＜0；②不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3；③＜a＜；④c＝m+；⑤b2﹣4ac＝16a2．正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
8．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
10．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
11．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ．
12．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 ．
13．若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 ．
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ．
15．已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝ ．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 ．（填序号）
三．解答题（共5小题）
17．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
18．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
19．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于AB两点，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P点的坐标以及△ABP的面积．
20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
21．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1+2）2﹣3+3，即y＝﹣2（x+3）2；
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴B点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
3．解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x+1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2+1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2+b，
代入A（﹣1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2﹣1，
∴M（0，﹣1），
故选：D．
4．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3），
∵1＜5，
∴y1＝y2＞y3，
故选：C．
5．解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
6．解：∵开口向上、对称轴为直线x＝1、与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①不符合题意；
∵抛物线过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），
∴不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3，故②符合题意；
∵抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+c，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点），
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜，故③符合题意；
当x＝1时，y＝﹣4a＝m，
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2+12a2＝16a2＝（﹣4a）2＝﹣4am，
∴c＝m+，故④符合题意；⑤符合题意．
∴正确的结论有②③④⑤四个．
故选：A．
7．解：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
8．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣4）2+8，
当x＝4时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
10．解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为．
11．解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．
12．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，
∴||＝4，
解得c1＝6，c2＝14，
故答案为：6或14．
13．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
将x＝1代入y＝x2﹣2x+m，得y＝m﹣1，
所以抛物线的顶点为（1，m﹣1），
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
故答案为：m＞1．
14．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝，
∴x＝2021和x＝×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），
由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
16．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
∴2a+b＝0．
故①正确．
②：由①分析知：，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2，
∴若b2﹣4ac＜2a，即16a2＜2a，
∴．
根据题目已有条件，无法推断出a＜，
∴②无法定论．
③∵对于任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a成立，
即对于任意实数x，﹣ax2﹣bx﹣a≤0成立．
令g＝﹣ax2﹣bx﹣a（﹣a≠0）．
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴关于实数x的二次函数g＝﹣ax2﹣bx﹣a图像开口向下．
若对于任意x，g＝﹣ax2﹣bx﹣a≤0，故需判断△＝（﹣b）2﹣4?（﹣a）?（﹣a）与0的数量关系．
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴△＝（2a）2﹣4a2＝0，
∴对于任意实数x，g≤0．
故③正确．
④，
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）．
∵b＝﹣2a，
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）．
∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，
∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，
∴y1﹣y2＜0，
∴y1＜y2．
故④正确．
⑤：经分析，AC≠BC，AB＝4．
若△ABC为等腰三角形，则AC＝AB或AB＝BC．
∵OA＝1，OC＝c＝﹣3a，OB＝3，
∴AC＝，BC＝．
当AC＝AB＝4时，则，
∴（不合题意，舍去）．
当AB＝BC＝4时，则，
∴（不合题意，舍去）．
综上所述：a值有两个．
故⑤不正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共5小题）
17．解 （1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，
把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．
18．解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
．
解得．
所以a＝1，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
19．解：（1）在直线y＝﹣x+4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），
∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，
∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，
解得：x1＝6，x2＝﹣4，
又∵点P位于第三象限，
∴x＝6舍去，
当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，
∴P点坐标为（﹣4，﹣8），
设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，
可得，
解得：，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，
在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），
如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，
∴△ABP的面积＝AN?（PM+OB）＝×8×8＝32．
20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
21．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PE?EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2 B．y＝﹣2（x+3）2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 D．y＝﹣2（x+3）2﹣6
2．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
3．如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
4．已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＝y2＞y3 D．y1＞y2＝y3
5．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，m），且与x轴的一个交点为（3，0），与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点）有下列结论：
①abc＜0；②不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3；③＜a＜；④c＝m+；⑤b2﹣4ac＝16a2．正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
8．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
10．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
11．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ．
12．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 ．
13．若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 ．
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ．
15．已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝ ．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 ．（填序号）
三．解答题（共5小题）
17．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
18．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
19．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于AB两点，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P点的坐标以及△ABP的面积．
20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
21．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1+2）2﹣3+3，即y＝﹣2（x+3）2；
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴B点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
3．解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x+1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2+1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2+b，
代入A（﹣1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2﹣1，
∴M（0，﹣1），
故选：D．
4．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3），
∵1＜5，
∴y1＝y2＞y3，
故选：C．
5．解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
6．解：∵开口向上、对称轴为直线x＝1、与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①不符合题意；
∵抛物线过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），
∴不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3，故②符合题意；
∵抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+c，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点），
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜，故③符合题意；
当x＝1时，y＝﹣4a＝m，
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2+12a2＝16a2＝（﹣4a）2＝﹣4am，
∴c＝m+，故④符合题意；⑤符合题意．
∴正确的结论有②③④⑤四个．
故选：A．
7．解：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
8．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣4）2+8，
当x＝4时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
10．解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为．
11．解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．
12．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，
∴||＝4，
解得c1＝6，c2＝14，
故答案为：6或14．
13．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
将x＝1代入y＝x2﹣2x+m，得y＝m﹣1，
所以抛物线的顶点为（1，m﹣1），
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
故答案为：m＞1．
14．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝，
∴x＝2021和x＝×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），
由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
16．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
∴2a+b＝0．
故①正确．
②：由①分析知：，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2，
∴若b2﹣4ac＜2a，即16a2＜2a，
∴．
根据题目已有条件，无法推断出a＜，
∴②无法定论．
③∵对于任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a成立，
即对于任意实数x，﹣ax2﹣bx﹣a≤0成立．
令g＝﹣ax2﹣bx﹣a（﹣a≠0）．
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴关于实数x的二次函数g＝﹣ax2﹣bx﹣a图像开口向下．
若对于任意x，g＝﹣ax2﹣bx﹣a≤0，故需判断△＝（﹣b）2﹣4?（﹣a）?（﹣a）与0的数量关系．
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴△＝（2a）2﹣4a2＝0，
∴对于任意实数x，g≤0．
故③正确．
④，
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）．
∵b＝﹣2a，
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）．
∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，
∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，
∴y1﹣y2＜0，
∴y1＜y2．
故④正确．
⑤：经分析，AC≠BC，AB＝4．
若△ABC为等腰三角形，则AC＝AB或AB＝BC．
∵OA＝1，OC＝c＝﹣3a，OB＝3，
∴AC＝，BC＝．
当AC＝AB＝4时，则，
∴（不合题意，舍去）．
当AB＝BC＝4时，则，
∴（不合题意，舍去）．
综上所述：a值有两个．
故⑤不正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共5小题）
17．解 （1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，
把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．
18．解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
．
解得．
所以a＝1，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
19．解：（1）在直线y＝﹣x+4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），
∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，
∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，
解得：x1＝6，x2＝﹣4，
又∵点P位于第三象限，
∴x＝6舍去，
当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，
∴P点坐标为（﹣4，﹣8），
设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，
可得，
解得：，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，
在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），
如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，
∴△ABP的面积＝AN?（PM+OB）＝×8×8＝32．
20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
21．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PE?EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
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