22.3实际问题与二次函数（图形运动问题）课后培优习题 2021-2022学年九年级数学人教版上册（Word版 含答案）

1083310012458700实际问题与二次函数——图形运动问题
一、单选题
1．如图，正方形false和等腰直角三角形false，斜边false与false在一条直线上，false沿射线false方向运动（点E从点D出发），设false与正方形false重叠部分的面积为y．若false，则x的值为（ ）
A．false或false B．false或false C．false或false D．false或false
2．如图，点false是菱形false边上的动点，它从点false出发沿false路径匀速运动到点false，设false的面积为false，点false的运动时间为false，则false关于false的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点false的坐标为false，点false在直线false上运动，设false的面积为false，则下列图象中，能反映false与false的函数关系的是（ ）．
A．B．C． D．
4．如图，菱形false的边长为false，其中false，动点false同时从点A都以false的速度出发，点false沿false路线，点false沿false路线运动．连接false．设运动时间为false，false的面积为false，则下列图像中能大致表示S与false的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．正方形false的边长为false，动点false从false出发，以false的速度沿false向false运动；同时动点false以false的速度沿着false向false运动．如果一个点到达终点，则另一个点也停止运动．设运动时间为false秒，false的面积为falsefalse，则大致反应false与false变化关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，false的边BC与长方形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合，false，将false沿着射线DE移动至点B与点E重合时停止，设false与长方形DEFG重叠部分的面积是y，CD的长度为x，y与x之间的关系图象如图2所示，则长方形DEFG的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．7
7．如图，false中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则false的面积ycm2与点F运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与false轴交于false，false两点，点false从点false出发，沿抛物线向点false匀速运动，到达点false停止，设运动时间为false秒，当false和false时，false的值相等．有下列结论：①false时，false的值最大；②false时，点false停止运动；③当false和false时，false的值不相等；④false时，false．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
9．如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D→A方向匀速运动，到达点A后停止运动．点Q从点D出发，沿着D→C→B→A的方向匀速运动，到达点A后停止运动．已知点P的运动速度为false，图②表示P、Q两点同时出发x秒后，△APQ的面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是 （ 　）
A．false B．false C．false D．false
10．如图，在false中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则false的面积S随出发时间t的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
11．如图1，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，D是AB的中点，连接DE，DF，EF，设BF＝x，△CEF的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（　　）
A．△DEF是等腰直角三角形 B．m＝1
C．△CEF的周长可以等于6 D．四边形CEDF的面积为2
12．如图，矩形false中，false，false，动点false从false点出发以false/秒向终点false运动，动点false同时从false点出发以false/秒按falsefalse的方向在边false，false，false上运动，设运动时间为false（秒），那么false的面积false随着时间false（秒）变化的函数图象大致为（ ）
B． C． D．
二、填空题
13．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BCfalse，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．
14．如图，抛物线false与函数false的图象在第一象限交点的横坐标为4，点false在抛物线上，点false在正比例函数的图象上，当false时，false的最大值为_______________．
15．如图，矩形false中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则false面积最小值为_________．
16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_____秒四边形APQC的面积最小．
17．如图，在false中，false，false，false为false边上的高，动点false在false上，从点false出发，沿false方向运动，设false，false的面积为false，矩形false的面积为false，false，则false与false的关系式是________．
三、解答题
18．如图，正方形false的边长为false，false，false分别是false，false边上一动点，点false，false同时从点false出发，以每秒false的速度分别向点false，false运动，当点false与点false重合时，运动停止，设运动时间为false，运动过程中false的面积为false，求false关于false的函数表达式，并写出自变量false的取值范围．
19．如图，抛物线false经过false，false两点，点false是false轴左侧且位于false轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为false．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）将线段false绕点false顺时针旋转false得线段false（点false是点false的对应点），求点false的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）过点false作false轴交直线false于点false，试探究是否存在点false，使false是等腰三角形？若存在，求出点false的值；若不存在，说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q两点运动的时间为x秒，△APQ的面积为S（平方单位）．
（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是　 秒．
（2）当2＜x≤3时，求S与x之间的函数关系式　 ．
（3）当（2）的条件下，x为何值时，△APQ的面积为false．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2tx+2．
（1）求抛物线的对称轴（用含t的代数式表示）；
（2）将点A（﹣1，3）向右平移5个单位长度，得到点B．
①若抛物线经过点B求t的值；
②若抛物线与线段AB恰有一个交点，结合函数图象直接写出t的取值范围．
22．如图，抛物线false与直线false相交于false，false两点,且抛物线经过点false
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点(不与点A．点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.当PE=2ED时，求P点坐标；
（3）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求false的面积最大时的P点坐标.
参考答案
1．B
解：有题意可知，false沿射线false运动的过程中，重叠面积y是先增加，然后不变，然后减小，最后为0
当false时，false，此时false，false无解；
当false时，false，令false，解得false；
当false时，false，false无解；
当false时，false，令false，解得false；
当false时，false，false无解；
综上所述，false或false
故答案选B．
2．C
解：设菱形的高为h，分三种情况：
①当P在BC边上时，
y＝falseBP?h，
∵BP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，且为一次函数关系，
故选项A和D不正确；
②当P在边DC上时，

y＝falseAB?h，
AB和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项B不正确；
③当P在边AD上时，
y＝falseAP?h，
∵PA随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，且为一次函数，
故选：C；
3．C
解：∵点P（m，n）在直线y＝?x＋2上运动，
∴当m＝1时，n＝1，即P点在直线AO上，此时S＝0，
设直线false与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，
∵点A的坐标为false，B(0，2)，
∴false是等腰直角三角形，且false，
当m≤1时，S△APO＝false×2×2-false×2×m×2＝2?2m，
∴S与m是一次函数关系，
同理：当m＞1时，S△APO＝2m?2，故S与m是一次函数关系，
只有选项C符合题意．
故选：C．
4．C
解：false，
当点E在AB上运动时，即false时，
∵动点false同时从点A都以false的速度出发，
false．
false，
false为等边三角形，
false，
∴图象为开口向上的抛物线；
当点E在BC上运动时，即false时，此时false，
false．
∵四边形ABCD是菱形，
false，
false，
false为等边三角形，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
∴图象为开口向下的抛物线，
综上所述，C选项符合题意，
故选：C．
5．B
解：①当点P在AB上运动时，则PB=3t，BQ=t，
则AP=3-3t，CQ=3-t，
S=S正方形ABCD-S△PBQ-S△ADP-S△CDQ=3×3-false[t?3t+（3-3t）×3+3（3-t）]=-falset2+6t，
该函数为开口向下的抛物线；
②当点P在AD上运动时，
则S=false×PD×AB=false×（3t-3）=falset-false；
③当点P在CD上运动时，
同理可得S=-false（t-2）（t-3）为开口向下的抛物线；
故选：B．
6．A
解：从图2看，false向右平移2个单位时，false整体到长方体中了，此时false与长方形DEFG重叠部分的面积为false的面积为false且false，
falsefalse的面积为false,
解得：false，
false．
false再向右平移3个单位时，点false重合，
故：false，
false长方形false的周长为false，
故选：A．
7．D
解：由题意得：设CF＝2x，DE＝x，
则BF＝BC﹣FC＝4﹣2x，AE＝AD+DE＝2+x，
则y＝falseAE×BF＝false×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），
故选：D．
8．A
解：过点P作PQ⊥x轴于Q，
根据题意，该抛物线的对称轴是直线x=false =1．设点Q的运动速度是每秒v个单位长度，
则∵当t=3和t=9时，n的值相等，
∴x=false[(9v?2)+(3v?2)] =1，
∴v=false ．
①当t=6时，AQ=6×false =3，此时点P是抛物线顶点坐标，即n的值最大，故结论正确；
②当t=10时，AQ=10×false =5，此时点Q与点B不重合，即n≠0，故结论错误；
③当t=5时，AQ=false，此P时点的坐标是（false ，0）；
当t=7时，AQ=false，此时点P的坐标是（false，0）．
因为点（false，0）与点（false，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n的值一定相等，故结论错误；
④t=4时，AQ=4×false=2，此时点Q与原点重合，则m=0，故结论正确．
综上所述，正确的结论是①④．
故选：A．
9．D
解：观察图象，可以发现函数图象由三个阶段构成，即△APQ的顶点Q所在边应有三种可能．
当Q的速度低于点P时，当点P到达A时，点Q还在DC上运动，之后，因A、P重合，△APQ的面积为零，画出图象只能有一个阶段构成，故A、B错误；
当Q的速度是点P速度的2倍，当点P到点A时，点Q到点B．之后，点A、P重合，△APQ的面积为0．
期间△APQ面积的变化可以看成两个阶段，与图象不符，故C错误．
故选：D．
10．D
解：设运动时间为false，
false点P到达点B所需时间为false，点Q到达点C所需时间为false，
false点P、Q同时停止运动，且false的取值范围为false，
由题意，false，
false，
false，
false，
则false与false之间的函数图象是抛物线在false的部分，且开口向下，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
11．C
解：A．连接CD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，∠DCF＝∠A＝45°
而AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DF＝DE，∠CDF＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA＝90°，CE＝BF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故A正确；
B．设AC＝BC＝a，CE＝BF＝a﹣x，
S△CFE＝false×CE×CF＝falsex（a﹣x），
当x＝falsea＝false时，S△CFE有最大值＝false×false×（2false﹣false）＝1，
故m＝1，此时a＝4false，
故B正确；
C．△CEF的周长＝EC+CF+EF＝AC+EF＝2false+EF，
而EF＜CE+CF＝2false，
即△CEF的周长＝EC+CF+EF＝AC+EF＝2false+EF＜4false＜6，
故C错误；
D．四边形CEDF的面积＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△AED＝S△ACD＝falseS△ABC＝false×false×2false×2false＝2，
故D正确．
故选：C．
12．A
解：根据题意可知：AP＝x，Q点运动路程为2x，
①当点Q在AD上运动时，
y＝falseAP?AQ＝falsex?2x＝x2，图象为开口向上的二次函数；
②当点Q在DC上运动时，
y＝falseAP?DA＝falsex×3＝false，是一次函数；
③当点Q在BC上运动时，
y＝falseAP?BQ＝falsex?（12?2x）＝?x2＋6x，为开口向下的二次函数，
结合图象可知A选项函数关系图正确，
故选：A．
13．false
解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∵BC=AC=false，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=false，
设BD=AE=x，则AD=（2-x），
∴false，
∵false，函数开口向下，函数有最大值，
当x=1时，false．
故答案为：false．
14．false
解：把x=4代入false得y=2
把x=4，y=2代入false得false
解得a=false
∴false
当x=t时，false，当x=t+1时，false
∴当false时，false=false=false=false
∵false＜0，
∴当t=2时，false的最大值为false
故答案为：false．
15．false
解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴false，
∵四边形PCEF是正方形，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为false．
故答案为：false．
16．3
解：设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，
∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴S△BPQ＝falsePB?BQ＝false（12﹣2t）?4t＝24t﹣4t2，
∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝falseAB?BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144，
∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108，
∴经过3秒四边形APQC的面积最小，
故答案为：3．
17．false
解：在false中，false，false，
∴false，
∵false为false边上的高，
∴AD=BD=DC=false
设false，
∴PD=false，
∵矩形false，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45?，
∴PE=AP=x，
S1=false，
S2=false，
∴false，
false．
故答案为：false．
18．falsefalse
解：设运动时间为false，
false点false，false同时从点false出发，以每秒false的速度分别向点false，false运动，
false，false，false，false，
false的面积false正方形false的面积false的面积false的面积false的面积，
即：false
false
false false
19．（1）false；（2）false，点false不在抛物线上；（3）存在点false，使false是等腰三角形，false的值为false或false或false
解：（1）将false，false两点的坐标代入false得
false
解得false
∴抛物线的解析式为：
false
false作false轴于点false轴于点false，如下图，
则false
易证false
false
false
false
将x=-3代入false得
false，
∵false
false点false不在抛物线上．
false过点false作false轴交false于点false，
设直线false解析式为false，
则false，
解得false
false直线false解析式为false．
依题意false
false当false时，则false
false
解得false（舍去），false；
false当false时，则false，
解得false（舍去），false
false当false时，
false
false
false
false轴，
false点false的纵坐标为false
false，
解得false（舍去），false．
综上所述：存在点false，使false是等腰三角形，
false的值为false或false或false．
20．（1）4；（2）S＝﹣x2+4x；（3）满足条件的x的值为2+false．
解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）＝4（秒），
故答案为4．
（2）如图，当2＜x≤3时，点P在线段BC上，点Q在线段CD上，
∴S＝S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△ABP﹣S△CPQ＝4×2﹣false×2×（x﹣2）﹣false×4×（2x﹣4）﹣false×（6﹣x）×（6﹣2x）＝﹣x2+4x．
故答案为：S＝﹣x2+4x．
（3）当2＜x≤3时，﹣x2+4x＝false，
∴x＝2±false，
∵2＜x≤3，
∴x＝2+false．
∴满足条件的x的值为2+false．
21．（1）直线x＝t；（2）①t＝false；②t≤﹣1或t＝1或t＞false时，抛物线与线段AB有一个公共点．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2tx+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣false＝t，
即抛物线的对称轴为直线x＝t；
（2）点A（﹣1，3）向右平移5个长度单位，得到点B（4，3），
①∵抛物线经过点B，
∴3＝﹣16+8t+2，
解得t＝false；
②∵y＝﹣x2+2tx+2＝﹣（x﹣t）2+t2+2，
∴顶点的坐标为（t，t2+2），
由顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2+2上移动．
把y＝3代入y＝x2+2求得x＝±1，
当抛物线过点A（﹣1，3）时，t＝﹣1．
所以t≤﹣1或t＝1或t＞false时，抛物线与线段AB有一个公共点．
22．（1）y=?x2＋4x＋5（2）P点坐标为（2，9）或（6，?7）；（3）P（false，false）.
解：（1）∵点B（4，m）在直线y＝x＋1上，
∴m＝4＋1＝5，
∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得
false，
解得
false，
∴抛物线解析式为y＝?x2＋4x＋5；
（2）设P（x，?x2＋4x＋5），则E（x，x＋1），D（x，0），
则PE＝|?x2＋4x＋5?（x＋1）|＝|?x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，
∵PE＝2ED，
∴|?x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，
当?x2＋3x＋4＝2（x＋1）时，解得x＝?1或x＝2，但当x＝?1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当?x2＋3x＋4＝?2（x＋1）时，解得x＝?1或x＝6，但当x＝?1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，?7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，?7）；
（3）∵点P是直线上方的抛物线上的一个动点，
设（x，?x2＋4x＋5），则E（x，x＋1），D（x，0），
则PE＝?x2＋4x＋5?（x＋1）＝?x2＋3x＋4，
∴false= Sfalse+ Sfalse=false=false
=false
∴当x=false，false的面积最大
把x=false代入y＝?x2＋4x＋5，解得y=false
故P（false，false）.