北师大版2021年八年级上册第1章《勾股定理》单元同步练习 （Word版含解析）

北师大版2021年八年级上册第1章《勾股定理》单元同步练习
一、选择题
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12
2．在RtΔABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠A=90°，则（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2
C．b2 D．b+a=c
3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．25
4．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
5．false的周长为24，false，且false，则false等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
7．如图,在false中,false,false于点false,则false的长是( )
A．6 B．false C．false D．false
8．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为false，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
二、填空题
9．已知x?32+y?5+z?42=0，则以x，y，z为边长的三角形是_____三角形.
10．已知false、false、false是△ABC三边的长，且满足关系式false，则△ABC的形状为___________
11．在false中，false，false，false分别是false，false，false的对边，且false，false，若三边长为连续整数，则false_________.
12．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的false点沿纸箱爬到false点，那么它所爬行的最短路线的长为________.
13．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________
14．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的面积为false，则正方形⑤的面积为________false.
15．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.?
16．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．
三、解答题
17．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．
18．如图所示， false，false，false，false，false，求阴影部分的面积.
19．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点false和点false是这个台阶的两个相对的端点，false点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点false爬到点false的最短路程是多少？
20．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
21．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
22．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.
（1）运动几秒时，△APC是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
参考答案
1．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵42+82≠102，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，
∵∠A=90°，
∴b2+c2=a2．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．本题易忽视∠A=90°，受思维定式的影响，想当然地认为∠C为直角，从而错选A.解答此类简单题时，一定不能掉以轻心，
3．A
【详解】
解：利用勾股定理可得：false，
故选A．
4．D
【分析】
根据勾股定理可以得到解答．
【详解】
解：由勾股定理知，第三边的长的平方为false或者false，
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．
5．B
【分析】
可先设AB=5x，BC=3x，在该三角形中，由勾股定理可求出AC关于x的代数式，由于直角三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24，据此列出方程求出x的值，代入AC的关于x的代数式中，即可求出AC的值．
【详解】
设AB=5x，BC=3x，在Rt△ACB中，
由勾股定理得：
AC2=AB2-BC2，
AC=false
直角三角形ABC的周长为：5x+4x+3x=24，x=2，
所以，AC=2×4=8，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的运用，关键在于用含有x的式子分别表示出三边的值，代入周长公式求解，属于常考的考点．
6．C
【解析】
楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长．
由于false，
所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．
7．D
【分析】
根据勾股定理的应用与性质即可求解.
【详解】
∵false,false
∴BC=false
∵false
∴CD=false=false=false
故选D
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.
8．C
【分析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=falsefalse
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm．
所以h的取值范围是11≤h≤12．
故选C
【点睛】
考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键.
9．直角
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出x，y，z的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可.
【详解】
解:根据题意得，x-3＝0，y-5＝0，z-4＝0
解得x＝3，y＝5，z＝4
又∵32+42=52
即x2+z2=y2
∴以x，y，z为三边长的三角形是直角三角形
答案为:直角
【点睛】
本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键.
10．等腰直角三角形
【详解】
根据非负数的意义，由false，可知false，a=b，可知此三角形是等腰直角三角形.
故答案为等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
11．2或5.
【分析】
根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，进一步确定第三边的长，由此得出答案即可．
【详解】
解：∵a=3，b=4，
∴根据三角形的三边关系，得4-3＜c＜4+3．
即1＜c＜7，
∵三边长为连续整数
∴.c=2或5．
故答案为2或5．
【点睛】
本题主要考查三角形三边关系，注意掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．20
【分析】
分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案．
【详解】
将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则false,
当蚂蚁经上侧面爬到B点,则false
比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是20，
故答案为：20.
【点睛】
本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等.
13．10或90
【解析】
根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况：
如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=1．
∴BC2=12+32=10．
如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=9，
∴BC2=92+32=90．
故答案是：10或90．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．
14．4
【分析】
求出正方形的性质，再根据勾股定理依次求出各正方形的面积，然后求出正方形①的面积，再根据正方形的性质求出边长即可．
【详解】
试题解析：第一个正方形的面积是64；
第二个正方形的面积是32；
第三个正方形的面积是16；
…
第n个正方形的面积是false，
∴正方形⑤的面积是4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，依次求出各正方形的面积是解题的关键．
15．25.
【详解】
试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=25（尺）．
故答案为25．
考点：平面展开最短路径问题
16．10．
【详解】
解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB=false=false=10．故答案为10．
点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．
17．150或42．
【详解】
分析：本题分两种情况：∠B为锐角或∠C为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
详解：作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12．分两种情况：
①高AD在三角形内，如图1所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，∴DC=9．在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，∴BD=16，∴BC=BD+DC=16+9=25，∴S△ABC=false×25×12=150；
②高AD在三角形外，如图2所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2
∴DC=9．在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，∴BD=16，∴BC=BD﹣DC=16﹣9=7，∴S△ABC=false×7×12=42．
故答案为150或42．

点睛：本题主要考查运用勾股定理的运用，解题的关键是要想到分类讨论，防止漏解．
18．false.
【分析】
连接false.在false中，利用勾股定理求AC,再根据false可得false，根据false，求解.
【详解】
解：如图，连接false.
在false中，false，所以false.
所以false.即false.
因为false，false，
所以false.
所以false.
所以false.
【点睛】
考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.
19．73cm
【解析】
【分析】
首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答.
【详解】
解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段false的长.
在false中，false，false.
由勾股定理，得false.所以false.
因此，蚂蚁从点false爬到点false的最短路程是73cm.
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.
20．E点应建在距A站10千米处．
【分析】
关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】
解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．
故：E点应建在距A站10千米处．
【点睛】
本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
21．（1）证明见解析（2）2
【详解】
试题分析：根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，结合AG=AG得到三角形全等；根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据Rt△ECG的勾股定理得出x的值.
试题解析：（1）、∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折叠的性质可知
AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B， 又AG=AG， ∴△ABG≌△AFG；
（2）、∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设BG=FG=false，则GC=false, ∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3， ∴EG=false， ∴false， 解得false， ∴BG=2.
考点：正方形的性质、三角形全等、勾股定理.
22．（1）运动falses时，△APC是等腰三角形.（2）当运动时间为5.5 s 或6 s 或6.6 s时，△BCQ为等腰三角形.
【分析】
（1）根据题意得，AP=PC，列方程，求解即可；
（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三种情况分别讨论得到关于t的方程，求出t即可．
【详解】
（1）由题意可知AP=t，PC=false
∵AP=PC，
∴t=false，
解得，t=false，
∴出发false秒后△APC能形成等腰三角形；
（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=falseCQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=false，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（false）2+（t-3）2，
解得t=false或t=-false＜0（舍去）；
当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，
当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=falseAC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，
综上可知当△BCQ为等腰三角形时，t=false或t=6或t=5.5．