人教A版（2019）必修第一册—2.2基本不等式习题课学案
2.2
基本不等式(3)(习题课)
一、教学重点与难点：
重点：应用基本不等式求最值的三种类型题的解法.
难点：向这三种类型题转化.
二、导引
【阅读材料】
有人连续问数学家两个问题：
1.“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，让你去烧水，你应当怎样去做？”．
数学家回答：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上”.
2.“假设所有的条件都不变，只是水壶中已灌完水，这时你应该怎样去做？”．
数学家回答：把水倒了，那不和第一个问题一样吗？
注：数学家的这种思维方式在数学中叫做
.
三、进入主题：应用基本不等式求最值的三种类型题.
【题型1】型、型代数式最值的求法.
1.已知x>0，求的最小值.
解析：
解题方法：
2.已知x>0，求的最大值.
解析：
解题方法：
【题型2】ab与a+b同时出现在等式中，求其中之一的取值范围.
已知a>0，b>0，且ab=a＋b＋3.
求：(1)
ab的取值范围.；(2)
a＋b的取值范围.
解析：(1)
(2)
解题方法：、
【题型3】已知ax＋by=c，求＋的最值；已知＋=c，求ax＋by的最值.
1.已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，求＋的最小值.
解析：
解题方法：将目标代数式乘“”即“1”，再将“c”换成对应代数式.
四、变式练
【变式练组1】
1.已知x>－1，求：(1)的最大值；(2)的最小值.
解析：(1)
(2)
转化方法总结：
2.已知a>0，b>0，且2ab=2a＋b＋3.
求：(1)ab的取值范围.；(2)2a＋b的取值范围.
解析：(1)
(2)
转化方法总结：
3.已知a>0，b>0，3a＋b=2ab，求a＋b的最小值.
解析：
转化方法总结：
五、总结提升
1.要准确认知三种题型的
特点，熟练操作解题过程；
2.要有敏锐的洞察力，确定所做的题向哪个方向
；
3.选择
的技术手段，确保转化过程顺利进行.
【变式练组2】
1.若正数x，y满足x2＋xy－2=0，求3x＋y的最小值.
解析：
注：
2.若实数a、b满足＋=，求ab的最小值.
解析：
3.
已知x>0，y>0，且＋=，求x＋y的最小值.
解析：
注：体验转化方法的
性.
六、自我评估
1.求的最小值.
解析：
此题改为：求的最小值，解题方法需不需要改变？
分析：
2.已知a、b都是正数，求＋＋2的最小值.
解析：
注：连续两次用基本不等式放随求最值，必须要确保两次取等条件是
的
3.已知m>0，xy>0，当x＋y=2时，不等式＋≥4恒成立，求m的取值范围.
解析：
1
1
1人教A版（2019）必修第一册—2.2基本不等式习题课讲义
2.2
基本不等式(3)(习题课)
一、教学重点与难点：
重点：应用基本不等式求最值的三种类型题的解法.
难点：向这三种类型题转化.
二、导引
【阅读材料】
有人连续问数学家两个问题：
1.“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，让你去烧水，你应当怎样去做？”．
数学家回答：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上”.
2.“假设所有的条件都不变，只是水壶中已灌完水，这时你应该怎样去做？”．
数学家回答：把水倒了，那不和第一个问题一样吗？
注：数学家的这种思维方式在数学中叫做化归.
三、进入主题：应用基本不等式求最值的三种类型题.
【题型1】型、型代数式最值的求法.
1.已知x>0，求的最小值.
解析：=x－3＋=x＋－3.
x＋≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号，所以x＋的最小值是2.
综上，=x＋－3的最小值为2－3=－1.
解题方法：把分式拆开是对“”型代数式常用的处理手段，拆开之后含变量的代数式转化成了乘积为定值的加数.
2.已知x>0，求的最大值.
解析：==
.
x＋的最小值为2(见上题)，的最大值为.
解题方法：上下同乘“”，分子变成了常数，分母中含变量的两个代数式乘积为定值.
【题型2】ab与a+b同时出现在等式中，求其中之一的取值范围.
已知a>0，b>0，且ab=a＋b＋3.
求：(1)
ab的取值范围.；(2)
a＋b的取值范围.
解析：(1)ab=a＋b＋3，将等号右侧a＋b“缩”为2，得到不等式ab≥2＋3.
2－2－3≥0，(＋1)(－3)≥0.
∵＋1≥0，∴－3≥0，ab
≥
9.
当且仅当，即a=b=3时，取等号.
综上，ab的取值范围.是{x|x
≥
9}.
(2)ab=a＋b＋3，将等号左侧ab“放”为()2，得到不等式()2≥a＋b＋3.
(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，(a＋b＋2)(a＋b－6)≥0，∵a＋b＋2>0，∴a＋b－6≥0，即
a＋b≥6.
当且仅当，即a=b=3时，取等号.
综上，a＋b的取值范围.是{x|x≥6}.
解题方法：a＋b“缩”为2，或ab“放”为()2，将等式变为不等式.
【题型3】已知ax＋by=c，求＋的最值；已知＋=c，求ax＋by的最值.
1.已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，求＋的最小值.
解析：＋=?2(＋)
=?(2x+y)(＋)
=(3＋＋)
≥(3＋2)
=＋
当且仅当，即时，等号成立.
综上，＋的最小值为＋.
2.已知x>0，y>0，且＋＝2，求2x＋y的最小值.
解析：2x＋y=2(2x＋y)
=?(＋)(2x＋y)
=(3＋＋)
往下略.
解题方法：将目标代数式乘“”即“1”，再将“c”换成对应代数式.
四、变式练
【变式练组1】
1.已知x>－1，求：(1)的最大值；(2)的最小值.
解析：(1)设t
=x＋1，则x=
t－1.
====.
t＋≥2=2，当且仅当t=，即t=，x=－1时，等号成立，所以t＋有最小值2.
综上，的最大值为=.
(2)设t=x＋1，则x=t－1.
==
t＋－4，最小值为2－4.
转化方法总结：将一次式设成t，通过换元转化成了题型1.
2.已知a>0，b>0，且2ab=2a＋b＋3.
求：(1)ab的取值范围.；(2)2a＋b的取值范围.
解析：(1)2ab=2a＋b＋3，将2a＋b“缩”为2，得到不等式2ab≥2＋3.
2－2－3≥0，(＋1)(－3)≥0.
∵＋1>0，∴－3≥0，≥3，ab≥，当且仅当时，即时，等号成立.
综上，ab的取值范围是{x|x≥}.
(2)
2ab=2a＋b＋3，将2ab“放”为()2，得到不等式()2≥2a＋b＋3.
(2a＋b)2－4(2a＋b)－12≥0，(2a＋b－6)(2a＋b＋2)≥0.
∵2a＋b＋2>0，∴2a＋b－6≥0，2a＋b≥6，当且仅当时，即时，等号成立.
综上，2a＋b的取值范围是{x|x≥6}.
转化方法总结：将“2a”作为一个整体，就转化成了题型2.
3.已知a>0，b>0，3a＋b=2ab，求a＋b的最小值.
解析：3a＋b=2ab，(3a＋b)=2ab?，＋=2.
a＋b=2(a＋b)=(＋)(a＋b)=(4＋＋)≥(4＋2)=2＋.
当且仅当，即时，取等号.
综上，a＋b的最小值是2＋.
转化方法总结：已知等式左右同乘“”，就转化成了题型3.
五、总结提升
1.要准确认知三种题型的结构特点，熟练操作解题过程；
2.要有敏锐的洞察力，发现所做的题向哪个方向转化；
3.选择恰当的技术手段，确保转化过程顺利进行.
【变式练组2】
1.若正数x，y满足x2＋xy－2=0，求3x＋y的最小值.
解析：x2＋xy－2=0，y==－x.
3x＋y=3x＋(－x)=2(x＋)≥2?2=4.
当且仅当x=，即x=1(此时y=1)时，取等号.
综上，3x＋y的最小值是4.
注：体验转化方法的灵活多样性.
2.若实数a、b满足＋=，求ab的最小值.
解析：＋=，=.
将b＋a“缩”为2，得到不等式≤，整理得，ab≥2.
当且仅当，即a=b=时，取等号.
综上，ab的最小值是2.
3.
已知x>0，y>0，且＋=，求x＋y的最小值.
解析：x＋y=(x＋1)＋y－1.
(x＋1)＋y=2?[(x＋1)＋y]=2(＋)[(x＋1)＋y]=2(2＋＋).
＋≥2=2，当且仅当，即时，等号成立.
综上，＋的最小值为2，(x＋1)＋y的最小值为2(2＋2)=8，x＋y的最小值为8－1=7.
注：体验转化方法的灵活多样性.
六、自我评估
1.求的最小值.
解析：设=t(t>0)，x2=t2＋1.
==t＋≥2=2，当且仅当t=，即t=1，x=±时，取等号.
综上，的最小值是2.
此题改为：求的最小值，解题方法需不需要改变？
分析：设=t，x2=t2－2.
===t＋≥2=2.
当t
=，即t2=1，x2＋2=1，x2=－1，满足取等条件的x不存在，照搬上题方法不可以.
注：此题解法以后学习.
2.已知a、b都是正数，求＋＋2的最小值.
解析：＋＋2=＋2≥＋2==2(＋)
≥2?2=4.
上述过程用了两次基本不等式：
第一次：a+b≥2；第二次：＋≥?2.
两次同时取等的条件是，即a=b=1.
综上，＋＋2的最小值是4.
注：连续两次用基本不等式放随求最值，必须要确保两次取等条件是相同的
3.已知m>0，xy>0，当x＋y=2时，不等式＋≥4恒成立，求m的取值范围.
解析：xy>0，且x＋y=2，则x、y一定都是正值.
＋=(＋)=(x＋y)(＋)=(2＋m＋＋)≥(2＋m＋2)=(2＋m＋2).
当且仅当，即时，取等号.
综上，＋的最小值是(2＋m＋2).
(2＋m＋2).≥4，2＋2－6≥0，(＋3)(－)≥0，－≥0，m≥2
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