七年级数学《垂线》导学案
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文档简介
5.1.2 垂线(第一课时)
□ 自学导读·领悟知识我能行
【学习目标】1、了解垂线的概念；2、理解垂线的性质1；
3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线。
【学习重点】垂线的概念、性质1和画法
【学习难点】画线段和射线的垂线。
【读书思考】自学课本P3-P4内容,认识什么是互相垂直,什么是垂线,在课本上做上记号.
1.垂直用符号_______来表示，画两条相互垂直的直线AB和CD交于O,并在并在图中任意一个角处作上直角记号
2. 观察课本P4图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.
3、判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补.
4、学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
(3)经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
【归纳小结】
知识点一、垂线
垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成900的情况。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O。
在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的, 如：十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线等。
知识点二、垂线的性质
画图实践,探究垂线的性质:用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L,画出直线L的垂线.还能画出L的垂线吗 能画几条 小组交流,怎样才能确定直线L的垂线位置
结论: 经过直线上一点_______________________________________________.
(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条 从中你又得出什么结论
结论:经过直线外一点_________________________________________________.
通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
垂线性质1:_________________________________________________________.
注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。
【典题解析】
例、如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD=7：11，
（1）求∠COE . A F D
（2）若OF⊥OE，∠AOC=70°，求∠COF.
O E
C D
□基础训练·基本题型我过关。
1、垂直是相交的一种 ，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
2、画一条线段的垂线，垂足在（ ）
A、线段上 B、线段的端点 C、线段的延长线上 D、以上都有可能
3、已知点O，画和点O的距离是3厘米的直线可以画（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条
4、如图5所示，AO⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有_____________对
5、如图6，在正方体中和AB垂直的边有____________条
图5 图6
6、自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们度数的比是1：2，则这个钝角的度数是 。
7、如图3，已知直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE=127°，则∠COE= °，∠AOF= °
□ 能力提升·走进中考我能赢
8、如图4，直线MN、PQ交于点O，OE⊥PQ于O，OQ平分∠MOF，若∠MOE=45°，则∠NOE= ______°，∠NOF= °，∠PON= °
C E M
E
A O B P O Q
F D 图3 N 图4 F
9、如图7，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON=3∠MOG，求∠GOP的度数。 P
G M O
5.1.2垂线(第2课时)
□ 自学导读·领悟知识我能行
【学习目标】1、了解垂线段的概念；2、理解“垂线段最短”的性质；
3、体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.
【学习重点】“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用
【学习难点】理解点到直线的距离的概念
【读书思考】看课本P5图5.1-8,思考:
一：要把河中的水引到农田P处, 如何挖渠能使渠道最短
(1)前一章我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗
答:_________________________.
(2)如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢
把江河看成直线L,那么原问题就是什么数学问题.
提示：在连接直线L外一点P与直线L 上各点的线段中,哪一条最短
二、画出直线L,L外一点P;
(1)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(2)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(3)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
你得出垂线的另一条什么性质？
【归纳小结】
知识点一、垂线段的概念。
演示：在黑板上固定木条L,取 L外一点P,木条a一端固定在点P，使之与L相交于点A。
左右摆动木条a, L与a的交点A随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a与L的位置关系怎样时，PA最短
a与L垂直时，PA最短。这时的线段PA叫做垂线段。
知识点二、垂线的性质2
画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短, 简单说成:垂线段最短.
知识点三、点到直线的距离
我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离。
注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。
【典题解析】
例1、判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.
(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.
例2.一个人要从A地出发去河a中挑水，并把水送到B地，那么这个人如何行走，才能使行走的距离最近，画出示意图，并说出理由。
B
A
a
□ 基础训练·基本题型我过关。
１、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）
A、垂线段 B、垂线的长 C、长度 D、垂线段的长
2.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
2.如图,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
３.(1)用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA上任取一点P,过P作PQ⊥OB, 垂足为Q,量一量OP的长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗
(2)若所画的∠AOB为60°角,重复上述的作图和测量,你能发现什么
□ 能力提升·走进中考我能赢
4.如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、
点C到AB的距离.
《5.1.2 垂线》补偿训练
班级___________________ 姓名_______________ 得分____
一、选择题:(每小题5分,共30分)
1.如图1所示,下列说法不正确的是( )毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段
(1) (2) (3)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
3.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )
A.大于acm B.小于bcm
C.大于acm或小于bcm D.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有( )
A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm
二、填空题:(每小题5分,共20分)
1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AO D=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.
3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.
4.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.
三、训练平台:(共12分)
如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.
四、提高训练:(共12分)
如图所示,村庄A要从河流L引水入庄,
需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
五、探索发现:(共12分)
如图6所示,O为直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
六、拓展提升:(共14分)
如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是 位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
O
B BB
A
C BB
D BB
A
B
A
N
M
O
C
B
l
P
O
A2
A1
…
A3
□ 自学导读·领悟知识我能行
【学习目标】1、了解垂线的概念；2、理解垂线的性质1；
3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线。
【学习重点】垂线的概念、性质1和画法
【学习难点】画线段和射线的垂线。
【读书思考】自学课本P3-P4内容,认识什么是互相垂直,什么是垂线,在课本上做上记号.
1.垂直用符号_______来表示，画两条相互垂直的直线AB和CD交于O,并在并在图中任意一个角处作上直角记号
2. 观察课本P4图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.
3、判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补.
4、学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
(3)经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
【归纳小结】
知识点一、垂线
垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成900的情况。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O。
在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的, 如：十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线等。
知识点二、垂线的性质
画图实践,探究垂线的性质:用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L,画出直线L的垂线.还能画出L的垂线吗 能画几条 小组交流,怎样才能确定直线L的垂线位置
结论: 经过直线上一点_______________________________________________.
(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条 从中你又得出什么结论
结论:经过直线外一点_________________________________________________.
通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
垂线性质1:_________________________________________________________.
注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。
【典题解析】
例、如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD=7：11，
（1）求∠COE . A F D
（2）若OF⊥OE，∠AOC=70°，求∠COF.
O E
C D
□基础训练·基本题型我过关。
1、垂直是相交的一种 ，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
2、画一条线段的垂线，垂足在（ ）
A、线段上 B、线段的端点 C、线段的延长线上 D、以上都有可能
3、已知点O，画和点O的距离是3厘米的直线可以画（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条
4、如图5所示，AO⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有_____________对
5、如图6，在正方体中和AB垂直的边有____________条
图5 图6
6、自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们度数的比是1：2，则这个钝角的度数是 。
7、如图3，已知直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE=127°，则∠COE= °，∠AOF= °
□ 能力提升·走进中考我能赢
8、如图4，直线MN、PQ交于点O，OE⊥PQ于O，OQ平分∠MOF，若∠MOE=45°，则∠NOE= ______°，∠NOF= °，∠PON= °
C E M
E
A O B P O Q
F D 图3 N 图4 F
9、如图7，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON=3∠MOG，求∠GOP的度数。 P
G M O
5.1.2垂线(第2课时)
□ 自学导读·领悟知识我能行
【学习目标】1、了解垂线段的概念；2、理解“垂线段最短”的性质；
3、体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.
【学习重点】“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用
【学习难点】理解点到直线的距离的概念
【读书思考】看课本P5图5.1-8,思考:
一：要把河中的水引到农田P处, 如何挖渠能使渠道最短
(1)前一章我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗
答:_________________________.
(2)如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢
把江河看成直线L,那么原问题就是什么数学问题.
提示：在连接直线L外一点P与直线L 上各点的线段中,哪一条最短
二、画出直线L,L外一点P;
(1)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(2)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(3)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
你得出垂线的另一条什么性质？
【归纳小结】
知识点一、垂线段的概念。
演示：在黑板上固定木条L,取 L外一点P,木条a一端固定在点P，使之与L相交于点A。
左右摆动木条a, L与a的交点A随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a与L的位置关系怎样时，PA最短
a与L垂直时，PA最短。这时的线段PA叫做垂线段。
知识点二、垂线的性质2
画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短, 简单说成:垂线段最短.
知识点三、点到直线的距离
我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离。
注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。
【典题解析】
例1、判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.
(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.
例2.一个人要从A地出发去河a中挑水，并把水送到B地，那么这个人如何行走，才能使行走的距离最近，画出示意图，并说出理由。
B
A
a
□ 基础训练·基本题型我过关。
１、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）
A、垂线段 B、垂线的长 C、长度 D、垂线段的长
2.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
2.如图,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
３.(1)用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA上任取一点P,过P作PQ⊥OB, 垂足为Q,量一量OP的长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗
(2)若所画的∠AOB为60°角,重复上述的作图和测量,你能发现什么
□ 能力提升·走进中考我能赢
4.如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、
点C到AB的距离.
《5.1.2 垂线》补偿训练
班级___________________ 姓名_______________ 得分____
一、选择题:(每小题5分,共30分)
1.如图1所示,下列说法不正确的是( )毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段
(1) (2) (3)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
3.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )
A.大于acm B.小于bcm
C.大于acm或小于bcm D.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有( )
A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm
二、填空题:(每小题5分,共20分)
1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AO D=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.
3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.
4.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.
三、训练平台:(共12分)
如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.
四、提高训练:(共12分)
如图所示,村庄A要从河流L引水入庄,
需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
五、探索发现:(共12分)
如图6所示,O为直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
六、拓展提升:(共14分)
如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是 位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
O
B BB
A
C BB
D BB
A
B
A
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M
O
C
B
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P
O
A2
A1
…
A3