2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益八年级（下）期中数学试卷（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益八年级（下）期中数学试卷（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 786.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-13 17:20:02 | ||
图片预览
文档简介
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）.
1．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠2 C．x≥﹣1且x≠2 D．﹣1≤x＜2
2．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
3．在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．最近两年长沙成为了网红城市，岳麓山、橘子洲头、省植物园、省博物馆、世界之窗都深受游客喜爱．某班同学分小组到以上五个地方进行“我爱长沙”主题研学旅行，人数分别为：12，10，11，10，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，11 C．10，12 D．7，11
6．疫情期间，医用物资的运输常常比较棘手，快递小哥甲和的士司机乙同时接到了“将一些药物从江岸区的赵家条运往江夏区的八分山”的任务．已知，两地之间有20km的距离．设他们前进的路程为skm，甲出发后的时间为th，甲，乙前进的路程与时间的函数图象如图．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．乙比甲晚出发1h B．甲比乙晚到3h
C．甲的速度是4km/h D．乙的速度是10km/h
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（ ）
A．（x﹣1）2＝ B．（2x﹣1）2＝0 C．2（x﹣1）2＝1 D．（x+2）2＝
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
9．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B（3，2），正比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过线段AB的中点．若点C（2，p）在该正比例函数的图象上，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
12．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
二、填空题（共4小题满分12分，每小题3分）
13．若一组数据8，6，x，4，7的平均数是6，则这组数据的方差是 ．
14．将函数y＝﹣3x+3的图象向下平移2个单位，得到的图象的函数表达式是 ．
15．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE＝AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC＝ ．
16．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．计算：．
18．解一元二次方程：
（1）3x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣4x﹣16＝0．
19．近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）求抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数；
（3）我校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数．
20．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）．
（1）试判断点P是否在直线l1：y＝x﹣2的图象上，并说明理由；
（2）如图，直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是l1与l2的交点，点D为l1与x轴的交点，求四边形OBCD的面积．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别为x1，x2，y是关于m的函数，且y＝，求y关于m的函数解析式，并求当﹣3≤m≤4时，y的取值范围．
23．近年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如表格所示信息：小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
24．在平面直角坐标系xOy中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：M（1，2）、N（﹣2，﹣1）两点即为“平等点”．
（1）已知点A的坐标为（4，2），
①在点J（﹣2，﹣4）K（3，﹣4）L（3，﹣3）中，为点A的“平等点”的是 ．（填字母）
②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为 ．
（2）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段CD上一点，F是直线y＝3x上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．
（3）如图，点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，第二象限的点Q为P的“平等点”，且∠POQ＝90°，过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为R、S．若直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，求直线PQ的解析式．
25．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．
（1）求证：△AEF是等腰三角形．
（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．
（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．
参考答案
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠2 C．x≥﹣1且x≠2 D．﹣1≤x＜2
解：由题意得，x+1≥0，x﹣2≠0，
解得，x≥﹣1且x≠2，
故选：C．
2．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
解：∵甲，乙两位同学的平均分都是85分，
而甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
5．最近两年长沙成为了网红城市，岳麓山、橘子洲头、省植物园、省博物馆、世界之窗都深受游客喜爱．某班同学分小组到以上五个地方进行“我爱长沙”主题研学旅行，人数分别为：12，10，11，10，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，11 C．10，12 D．7，11
解：∵10出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是10人；
把这些数从小大排列为7，10，10，11，12，
则中位数是10人．
故选：A．
6．疫情期间，医用物资的运输常常比较棘手，快递小哥甲和的士司机乙同时接到了“将一些药物从江岸区的赵家条运往江夏区的八分山”的任务．已知，两地之间有20km的距离．设他们前进的路程为skm，甲出发后的时间为th，甲，乙前进的路程与时间的函数图象如图．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．乙比甲晚出发1h B．甲比乙晚到3h
C．甲的速度是4km/h D．乙的速度是10km/h
解：由图可得，乙比甲晚出发1个小时，故A正确；
甲比乙晚到2个小时，故B错误；
甲的速度是20÷4＝5km/h，故C错误；
乙的速度是20÷1＝20km/h，故D错误．
故选：A．
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（ ）
A．（x﹣1）2＝ B．（2x﹣1）2＝0 C．2（x﹣1）2＝1 D．（x+2）2＝
解：∵2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：A．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，故C选项正确；
D、矩形的对角线一定相等，但不垂直，故D选项错误；
故选：C．
9．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B（3，2），正比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过线段AB的中点．若点C（2，p）在该正比例函数的图象上，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得A，B中点坐标为（，2），
将（，2）代入y＝kx得k＝．
将点C（2，p）代入y＝x得p＝．
故选：D．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵OM⊥AC，
∴MA＝MC．
∴△CDM周长＝MD+MC+CD＝MD+MA+CD＝AD+DC＝8．
∴平行四边形ABCD周长＝2（AD+DC）＝16．
故选：C．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
解：对于函数y＝|x﹣a|，最小值为a+5．
情形1：a+5＝0，
a＝﹣5，
∴y＝|x+5|，此时x＝﹣5时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝﹣1时，有最小值，此时函数y＝x﹣a，由题意：﹣1﹣a＝a+5，得到a＝﹣3．
∴y＝|x+3|，符合题意．
情形3：当x＝2时，有最小值，此时函数y＝﹣x+a，由题意：﹣2+a＝a+5，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝﹣3．
故选：A．
二、填空题（共4小题满分12分，每小题3分）
13．若一组数据8，6，x，4，7的平均数是6，则这组数据的方差是 2 ．
解：∵数据8，6，x，4，7的平均数是6，
∴＝6，
解得：x＝5，
这组数据的方差是S2＝×[（8﹣6）2+（6﹣6）2+（5﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝2，
故答案为：2．
14．将函数y＝﹣3x+3的图象向下平移2个单位，得到的图象的函数表达式是 y＝﹣3x+1 ．
解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x+1的图象向下平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝﹣3x+3﹣2，即y＝﹣3x+1．
故答案是：y＝﹣3x+1．
15．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE＝AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC＝ 112.5° ．
解：∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝45°，
∴∠E+∠CAE＝45°，
∴∠E＝×45°＝22.5°，
在△CEF中，∠AFC＝∠E+∠ECF＝22.5°+90°＝112.5°．
故答案为：112.5°．
16．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 x＞2.8 ．
解：由图象可得，
y＝ax+b中y随x的增大而增大，与x轴交于点A（﹣2，0），
y＝kx+2中y随x的增大而减小，与x轴交于点B（2.8，0），
∴ax+b＞0的解集是x＞﹣2，kx+2＜0的解集是x＞2.8，
∴的解集为x＞2.8，
故答案为：x＞2.8．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．计算：．
解：原式＝1+2+﹣1+3
＝5+．
18．解一元二次方程：
（1）3x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣4x﹣16＝0．
解：（1）∵3x2﹣9＝0，
∴3x2＝9，
则x2＝3，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵2x2﹣4x﹣16＝0，
∴x2﹣2x﹣8＝0，
则（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
19．近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．
（1）a＝ 17 ；b＝ 20 ；
（2）求抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数；
（3）我校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数．
解：（1）本次调查的人数为诶：13÷26%＝50，
a＝50﹣7﹣13﹣10﹣3＝17，b%＝10÷50×100%＝20%，
故答案为：17，20；
（2）＝＝1.78（次），
即抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数为1.78；
（3）5000×＝1300（人），
即估计学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的有1300人．
20．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）．
（1）试判断点P是否在直线l1：y＝x﹣2的图象上，并说明理由；
（2）如图，直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是l1与l2的交点，点D为l1与x轴的交点，求四边形OBCD的面积．
解：（1）∵当x＝m+1时，y＝m+1﹣2＝m﹣1，
∴点P（m+1，m﹣1）在函数y＝x﹣2图象上．
（2）∵直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（6，0），B（0，3），
直线l1：y＝x﹣2中，令y＝0，则x＝2，
∴D（2，0），
解得，
∴C（，），
∴S四边形OBCD＝S△AOB﹣S△ACD＝﹣＝．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别为x1，x2，y是关于m的函数，且y＝，求y关于m的函数解析式，并求当﹣3≤m≤4时，y的取值范围．
解：（1）∵Δ＝m2﹣4×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣8，
∴y＝＝＝，
∴y是关于m的反比例函数，
∵当m＝﹣3时，y＝﹣，
当m＝4时，y＝，
∴当﹣3≤m≤4时，y的取值范围是：y≤﹣或y≥．
23．近年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如表格所示信息：小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）由题意可得：y＝（90﹣65）x+（10﹣5）（100﹣x）＝20x+500；
（2）由题意可得：65x+5（100﹣x）≤3500，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50；
（3）由题意可得：（90﹣65）x+（10﹣5）（100﹣x）≥1450，
解得：x≥47.5，
∴47.5≤x≤50，
又∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵y＝20x+500，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
∴利润最大值为20×50+500＝1500（元）．
答：进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；甲商品进50件，乙商品进50件利润最大，最大利润是1500元．
24．在平面直角坐标系xOy中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：M（1，2）、N（﹣2，﹣1）两点即为“平等点”．
（1）已知点A的坐标为（4，2），
①在点J（﹣2，﹣4）K（3，﹣4）L（3，﹣3）中，为点A的“平等点”的是 J、L ．（填字母）
②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为 （0，6）或（0，﹣6） ．
（2）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段CD上一点，F是直线y＝3x上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．
（3）如图，点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，第二象限的点Q为P的“平等点”，且∠POQ＝90°，过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为R、S．若直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，求直线PQ的解析式．
解：（1）①由点A的坐标知，若点A到x，y轴的距离之和为6，
符合这个条件的点由J、L，
故答案为：J、L；
②设点B的坐标为（0，m），由题意得：0+|m|＝4+2，
解得m＝±6，
故点B的坐标为（0，6）或（0，﹣6），
故答案为：（0，6）或（0，﹣6）；
（2）设点E的坐标为（s，t），则s+t＝4，即点E的坐标为（s，4+s），设点F的坐标为（f，3f），
由题意得：﹣s+s+4＝4＝|f|+|3f|，
解得：f＝1或﹣1，
故点F的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）；
（3）∵∠POR+∠QOS＝90°，∠POR＝∠OPR＝90°，
∴∠QOS＝∠OPR，
∵∠PRO＝∠OSQ＝90°，
∴△PRO∽△OSQ，
则上述两个三角形的周长比等于相似比，而两个三角形均为直角三角形，则相似比也等于两个直角边和的比，而两个直角边和相等，故两个直角边相等，故△PRO≌△OSQ（SAS），
∴OS＝PR，OR＝QS，OP＝OQ，
则△OSQ相等于△ORP围绕点O逆时针旋转了90°，
∵点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，即点P的坐标为（m，6﹣m），则点Q的坐标为（m﹣6，m），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为y＝（x﹣m）+6﹣m，
∵直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，则该直线是PQ的中垂线，
故设直线PQ的表达式为y＝x+r，
即＝，解得m＝，
则直线PQ的表达式为y＝（x﹣m）+6﹣m＝x+．
25．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．
（1）求证：△AEF是等腰三角形．
（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．
（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．
解：（1）证明：由正方形ABCD可知AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE与△ADF中，由勾股定理得：
AE＝，AF＝，
又BE＝DF＝t，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）C△AEF＝AE+EF+AF，C△EFC＝CE+EF+CF，
∴C△AEF﹣C△EFC＝AE+AF﹣CE﹣CF，
又∵AE＝AF，CE＝CF，
∴C△AEF﹣C△CEF＝2AE﹣2CE＝2（AE﹣CE）＝2（），
当C△AEF﹣C△CEF＝8时，有2（）＝8，（0＜t＜4），
解得t＝3；
（3）四边形AEQF为菱形，则有S△EFG＝S△AEF＝S1，对角线AG与EF互相垂直平分，
S△GFC＝S2＝S△GFO﹣S△CFO＝﹣，
∴S1﹣S2＝S△AEF﹣S△GFC，
＝S△AEF﹣（﹣）
＝+
＝6﹣4t﹣×（4﹣t）2]+
＝8﹣2t，
当∠EAF＝60°时，△AEF是等边三角形，
∴∠BAE＝15°，
在AB边上取点H，使AH＝HE，
则∠BHE＝30°，
∴HE＝2t，BH＝，
∴2t+＝4，
解得t＝8﹣4．
∴S1﹣S2＝8﹣2（8﹣4）＝8﹣8．
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）.
1．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠2 C．x≥﹣1且x≠2 D．﹣1≤x＜2
2．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
3．在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．最近两年长沙成为了网红城市，岳麓山、橘子洲头、省植物园、省博物馆、世界之窗都深受游客喜爱．某班同学分小组到以上五个地方进行“我爱长沙”主题研学旅行，人数分别为：12，10，11，10，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，11 C．10，12 D．7，11
6．疫情期间，医用物资的运输常常比较棘手，快递小哥甲和的士司机乙同时接到了“将一些药物从江岸区的赵家条运往江夏区的八分山”的任务．已知，两地之间有20km的距离．设他们前进的路程为skm，甲出发后的时间为th，甲，乙前进的路程与时间的函数图象如图．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．乙比甲晚出发1h B．甲比乙晚到3h
C．甲的速度是4km/h D．乙的速度是10km/h
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（ ）
A．（x﹣1）2＝ B．（2x﹣1）2＝0 C．2（x﹣1）2＝1 D．（x+2）2＝
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
9．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B（3，2），正比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过线段AB的中点．若点C（2，p）在该正比例函数的图象上，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
12．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
二、填空题（共4小题满分12分，每小题3分）
13．若一组数据8，6，x，4，7的平均数是6，则这组数据的方差是 ．
14．将函数y＝﹣3x+3的图象向下平移2个单位，得到的图象的函数表达式是 ．
15．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE＝AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC＝ ．
16．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．计算：．
18．解一元二次方程：
（1）3x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣4x﹣16＝0．
19．近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）求抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数；
（3）我校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数．
20．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）．
（1）试判断点P是否在直线l1：y＝x﹣2的图象上，并说明理由；
（2）如图，直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是l1与l2的交点，点D为l1与x轴的交点，求四边形OBCD的面积．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别为x1，x2，y是关于m的函数，且y＝，求y关于m的函数解析式，并求当﹣3≤m≤4时，y的取值范围．
23．近年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如表格所示信息：小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
24．在平面直角坐标系xOy中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：M（1，2）、N（﹣2，﹣1）两点即为“平等点”．
（1）已知点A的坐标为（4，2），
①在点J（﹣2，﹣4）K（3，﹣4）L（3，﹣3）中，为点A的“平等点”的是 ．（填字母）
②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为 ．
（2）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段CD上一点，F是直线y＝3x上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．
（3）如图，点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，第二象限的点Q为P的“平等点”，且∠POQ＝90°，过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为R、S．若直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，求直线PQ的解析式．
25．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．
（1）求证：△AEF是等腰三角形．
（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．
（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．
参考答案
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠2 C．x≥﹣1且x≠2 D．﹣1≤x＜2
解：由题意得，x+1≥0，x﹣2≠0，
解得，x≥﹣1且x≠2，
故选：C．
2．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
解：∵甲，乙两位同学的平均分都是85分，
而甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
5．最近两年长沙成为了网红城市，岳麓山、橘子洲头、省植物园、省博物馆、世界之窗都深受游客喜爱．某班同学分小组到以上五个地方进行“我爱长沙”主题研学旅行，人数分别为：12，10，11，10，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，11 C．10，12 D．7，11
解：∵10出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是10人；
把这些数从小大排列为7，10，10，11，12，
则中位数是10人．
故选：A．
6．疫情期间，医用物资的运输常常比较棘手，快递小哥甲和的士司机乙同时接到了“将一些药物从江岸区的赵家条运往江夏区的八分山”的任务．已知，两地之间有20km的距离．设他们前进的路程为skm，甲出发后的时间为th，甲，乙前进的路程与时间的函数图象如图．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．乙比甲晚出发1h B．甲比乙晚到3h
C．甲的速度是4km/h D．乙的速度是10km/h
解：由图可得，乙比甲晚出发1个小时，故A正确；
甲比乙晚到2个小时，故B错误；
甲的速度是20÷4＝5km/h，故C错误；
乙的速度是20÷1＝20km/h，故D错误．
故选：A．
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（ ）
A．（x﹣1）2＝ B．（2x﹣1）2＝0 C．2（x﹣1）2＝1 D．（x+2）2＝
解：∵2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：A．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，故C选项正确；
D、矩形的对角线一定相等，但不垂直，故D选项错误；
故选：C．
9．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B（3，2），正比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过线段AB的中点．若点C（2，p）在该正比例函数的图象上，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得A，B中点坐标为（，2），
将（，2）代入y＝kx得k＝．
将点C（2，p）代入y＝x得p＝．
故选：D．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵OM⊥AC，
∴MA＝MC．
∴△CDM周长＝MD+MC+CD＝MD+MA+CD＝AD+DC＝8．
∴平行四边形ABCD周长＝2（AD+DC）＝16．
故选：C．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
解：对于函数y＝|x﹣a|，最小值为a+5．
情形1：a+5＝0，
a＝﹣5，
∴y＝|x+5|，此时x＝﹣5时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝﹣1时，有最小值，此时函数y＝x﹣a，由题意：﹣1﹣a＝a+5，得到a＝﹣3．
∴y＝|x+3|，符合题意．
情形3：当x＝2时，有最小值，此时函数y＝﹣x+a，由题意：﹣2+a＝a+5，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝﹣3．
故选：A．
二、填空题（共4小题满分12分，每小题3分）
13．若一组数据8，6，x，4，7的平均数是6，则这组数据的方差是 2 ．
解：∵数据8，6，x，4，7的平均数是6，
∴＝6，
解得：x＝5，
这组数据的方差是S2＝×[（8﹣6）2+（6﹣6）2+（5﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝2，
故答案为：2．
14．将函数y＝﹣3x+3的图象向下平移2个单位，得到的图象的函数表达式是 y＝﹣3x+1 ．
解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x+1的图象向下平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝﹣3x+3﹣2，即y＝﹣3x+1．
故答案是：y＝﹣3x+1．
15．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE＝AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC＝ 112.5° ．
解：∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝45°，
∴∠E+∠CAE＝45°，
∴∠E＝×45°＝22.5°，
在△CEF中，∠AFC＝∠E+∠ECF＝22.5°+90°＝112.5°．
故答案为：112.5°．
16．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 x＞2.8 ．
解：由图象可得，
y＝ax+b中y随x的增大而增大，与x轴交于点A（﹣2，0），
y＝kx+2中y随x的增大而减小，与x轴交于点B（2.8，0），
∴ax+b＞0的解集是x＞﹣2，kx+2＜0的解集是x＞2.8，
∴的解集为x＞2.8，
故答案为：x＞2.8．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．计算：．
解：原式＝1+2+﹣1+3
＝5+．
18．解一元二次方程：
（1）3x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣4x﹣16＝0．
解：（1）∵3x2﹣9＝0，
∴3x2＝9，
则x2＝3，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵2x2﹣4x﹣16＝0，
∴x2﹣2x﹣8＝0，
则（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
19．近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．
（1）a＝ 17 ；b＝ 20 ；
（2）求抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数；
（3）我校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数．
解：（1）本次调查的人数为诶：13÷26%＝50，
a＝50﹣7﹣13﹣10﹣3＝17，b%＝10÷50×100%＝20%，
故答案为：17，20；
（2）＝＝1.78（次），
即抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数为1.78；
（3）5000×＝1300（人），
即估计学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的有1300人．
20．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）．
（1）试判断点P是否在直线l1：y＝x﹣2的图象上，并说明理由；
（2）如图，直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是l1与l2的交点，点D为l1与x轴的交点，求四边形OBCD的面积．
解：（1）∵当x＝m+1时，y＝m+1﹣2＝m﹣1，
∴点P（m+1，m﹣1）在函数y＝x﹣2图象上．
（2）∵直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（6，0），B（0，3），
直线l1：y＝x﹣2中，令y＝0，则x＝2，
∴D（2，0），
解得，
∴C（，），
∴S四边形OBCD＝S△AOB﹣S△ACD＝﹣＝．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别为x1，x2，y是关于m的函数，且y＝，求y关于m的函数解析式，并求当﹣3≤m≤4时，y的取值范围．
解：（1）∵Δ＝m2﹣4×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣8，
∴y＝＝＝，
∴y是关于m的反比例函数，
∵当m＝﹣3时，y＝﹣，
当m＝4时，y＝，
∴当﹣3≤m≤4时，y的取值范围是：y≤﹣或y≥．
23．近年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如表格所示信息：小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）由题意可得：y＝（90﹣65）x+（10﹣5）（100﹣x）＝20x+500；
（2）由题意可得：65x+5（100﹣x）≤3500，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50；
（3）由题意可得：（90﹣65）x+（10﹣5）（100﹣x）≥1450，
解得：x≥47.5，
∴47.5≤x≤50，
又∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵y＝20x+500，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
∴利润最大值为20×50+500＝1500（元）．
答：进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；甲商品进50件，乙商品进50件利润最大，最大利润是1500元．
24．在平面直角坐标系xOy中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：M（1，2）、N（﹣2，﹣1）两点即为“平等点”．
（1）已知点A的坐标为（4，2），
①在点J（﹣2，﹣4）K（3，﹣4）L（3，﹣3）中，为点A的“平等点”的是 J、L ．（填字母）
②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为 （0，6）或（0，﹣6） ．
（2）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段CD上一点，F是直线y＝3x上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．
（3）如图，点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，第二象限的点Q为P的“平等点”，且∠POQ＝90°，过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为R、S．若直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，求直线PQ的解析式．
解：（1）①由点A的坐标知，若点A到x，y轴的距离之和为6，
符合这个条件的点由J、L，
故答案为：J、L；
②设点B的坐标为（0，m），由题意得：0+|m|＝4+2，
解得m＝±6，
故点B的坐标为（0，6）或（0，﹣6），
故答案为：（0，6）或（0，﹣6）；
（2）设点E的坐标为（s，t），则s+t＝4，即点E的坐标为（s，4+s），设点F的坐标为（f，3f），
由题意得：﹣s+s+4＝4＝|f|+|3f|，
解得：f＝1或﹣1，
故点F的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）；
（3）∵∠POR+∠QOS＝90°，∠POR＝∠OPR＝90°，
∴∠QOS＝∠OPR，
∵∠PRO＝∠OSQ＝90°，
∴△PRO∽△OSQ，
则上述两个三角形的周长比等于相似比，而两个三角形均为直角三角形，则相似比也等于两个直角边和的比，而两个直角边和相等，故两个直角边相等，故△PRO≌△OSQ（SAS），
∴OS＝PR，OR＝QS，OP＝OQ，
则△OSQ相等于△ORP围绕点O逆时针旋转了90°，
∵点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，即点P的坐标为（m，6﹣m），则点Q的坐标为（m﹣6，m），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为y＝（x﹣m）+6﹣m，
∵直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，则该直线是PQ的中垂线，
故设直线PQ的表达式为y＝x+r，
即＝，解得m＝，
则直线PQ的表达式为y＝（x﹣m）+6﹣m＝x+．
25．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．
（1）求证：△AEF是等腰三角形．
（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．
（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．
解：（1）证明：由正方形ABCD可知AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE与△ADF中，由勾股定理得：
AE＝，AF＝，
又BE＝DF＝t，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）C△AEF＝AE+EF+AF，C△EFC＝CE+EF+CF，
∴C△AEF﹣C△EFC＝AE+AF﹣CE﹣CF，
又∵AE＝AF，CE＝CF，
∴C△AEF﹣C△CEF＝2AE﹣2CE＝2（AE﹣CE）＝2（），
当C△AEF﹣C△CEF＝8时，有2（）＝8，（0＜t＜4），
解得t＝3；
（3）四边形AEQF为菱形，则有S△EFG＝S△AEF＝S1，对角线AG与EF互相垂直平分，
S△GFC＝S2＝S△GFO﹣S△CFO＝﹣，
∴S1﹣S2＝S△AEF﹣S△GFC，
＝S△AEF﹣（﹣）
＝+
＝6﹣4t﹣×（4﹣t）2]+
＝8﹣2t，
当∠EAF＝60°时，△AEF是等边三角形，
∴∠BAE＝15°，
在AB边上取点H，使AH＝HE，
则∠BHE＝30°，
∴HE＝2t，BH＝，
∴2t+＝4，
解得t＝8﹣4．
∴S1﹣S2＝8﹣2（8﹣4）＝8﹣8．
同课章节目录