2020-2021学年河北省唐山市乐亭县七年级（下）期末数学试卷（word解析版）

2020-2021学年河北省唐山市乐亭县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共16个小题；每小题3分，共48分）
1．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（　　）
A．2﹣a＞2﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2 D．a2＞b2
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a4＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
4．把0.00258写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（　　）
A．2.58 B．﹣0.58 C．5.58 D．﹣0.42
5．方程2x+y＝5与下列方程构成的方程组的解为的是（　　）
A．x﹣y＝4 B．x+y＝4 C．3x﹣y＝8 D．x+2y＝﹣1
6．下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2
7．计算|﹣2|+2﹣1的结果是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠DAB+∠B＝180° D．∠D＝∠5
9．不等式3﹣x≤2x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D．∠A＝40°，∠B＝55°
11．若3x＝4，3y＝6，则3x+y的值是（　　）
A．24 B．10 C．3 D．2
12．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．75°
13．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF＝FD，CE＝EF，则△DEF的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
16．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β
二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共12分）
17．多项式4x3y2﹣2x2y+8x2y3的公因式是　 　．
18．已知三角形的两边长分别为2和7，则第三边x的范围是　 　．
19．如图，AB∥CD，∠B＝78°，∠E＝27°，则∠D的度数为　 　．
20．对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝﹣5，则整数x的取值是　 　．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为　 　．
22．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：
①x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）．②a3﹣a＝a（a2﹣1）． ③x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）．④2m2+4mn+2n2＝（2m+2n）2．
（1）小红做错的或不完整的题目是　 　（填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
24．整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题：
（1）化简计算：（n+2）（4n﹣8）+17；
（2）在（1）题结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解；
（3）试说明两个连续奇数的平方差能够被8整除．
25．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）填空：∠BIC＝　 　．
（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝　 　．
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，填空：∠BEC＝　 　．
（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于 　 　度时，CE∥AB？请说明理由．
26．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为255人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为150人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织460名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，至少需要租甲种客车几辆？
参考答案
一、精心选一选，慧眼识金（本大题共16个小题；每小题3分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选：D．
2．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（　　）
A．2﹣a＞2﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2 D．a2＞b2
解：A、∵a＞b，
∴2﹣a＜2﹣b，故本选项错误，不符合题意；
B、∵a＞b，
∴2+a＞2+b，故本选项正确，符合题意；
C、∵a＞b，
∴当b＞0时，ab＞b2，当b＜0时，ab＜b2，不能判断ab和b2的大小，故本选项错误，不符合题意；
D、∵a＞b，
不能判断a2和b2的大小，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a4＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
解：A．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
4．把0.00258写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（　　）
A．2.58 B．﹣0.58 C．5.58 D．﹣0.42
解：0.00258＝2.58×10﹣3，
∴a＝2.58，n＝﹣3，
∴a+n＝2.58﹣3＝﹣0.42，
故选：D．
5．方程2x+y＝5与下列方程构成的方程组的解为的是（　　）
A．x﹣y＝4 B．x+y＝4 C．3x﹣y＝8 D．x+2y＝﹣1
解：A、联立得：，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣1，符合题意；
B、联立得：，
①﹣②得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝3，不符合题意；
C、联立得：，
①+②得：5x＝13，
解得：x＝，不符合题意；
D、联立得：，
①×2﹣②得：3x＝11，
解得：x＝，
把x＝代入②得：y＝﹣，不符合题意，
故选：A．
6．下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2
解：A、﹣x2+y2可以用平方差分解，故此选项符合题意；
B、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此选项不符合题意；
C、4x2+4xy﹣y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
D、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．计算|﹣2|+2﹣1的结果是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：|﹣2|+2﹣1＝2+＝2．
故选：D．
8．如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠DAB+∠B＝180° D．∠D＝∠5
解：A、当∠1＝∠2时，可得：AD∥BC，不合题意；
B、当∠3＝∠4时，可得：AB∥CD，符合题意；
C、当∠DAB+∠B＝180°时，可得：AD∥BC，不合题意；
D、当∠D＝∠5时，可得：AD∥BC，不合题意；
故选：B．
9．不等式3﹣x≤2x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：3﹣x≤2x，
﹣x﹣2x≤﹣3，
﹣3x≤﹣3，
x≥1，
故选：B．
10．下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D．∠A＝40°，∠B＝55°
解：A、∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，
∴△ABC不是直角三角形，本选项不符合题意．
B、∵∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，本选项符合题意．
C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴∠C＝×180°＝80°，
∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意．
D、∵∠A＝40°，∠B＝55°，
∴∠C＝85°，
∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意，
故选：B．
11．若3x＝4，3y＝6，则3x+y的值是（　　）
A．24 B．10 C．3 D．2
解：∵3x＝4，3y＝6，
∴3x+y＝3x?3y＝4×6＝24．
故选：A．
12．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．75°
解：∵∠D＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝60°，
∵∠1+∠2＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°+55°＝115°，
∴∠A＝180°﹣115°＝65°，
故选：C．
13．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
14．如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF＝FD，CE＝EF，则△DEF的面积为（　　）
A． B． C． D．
解：∵△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，
∴S△ACD＝S△ABC＝，
∵AF＝FD，
∴DF＝AD，
∴S△CDF＝S△ACD＝×＝，
∵CE＝EF，
∴S△DEF＝S△CDF＝×＝，
故选：D．
15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥2，
∴a≥3，
故选：D．
16．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β
解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：C．
二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共12分）
17．多项式4x3y2﹣2x2y+8x2y3的公因式是　2x2y　．
解：多项式4x3y2﹣2x2y+8x2y3的公因式是2x2y，
故答案为：2x2y．
18．已知三角形的两边长分别为2和7，则第三边x的范围是　5＜x＜9　．
解：根据三角形的三边关系：7﹣2＜x＜7+2，
解得：5＜x＜9．
故答案为：5＜x＜9．
19．如图，AB∥CD，∠B＝78°，∠E＝27°，则∠D的度数为　51°　．
解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝78°，
∴∠EFC＝∠B＝78°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝78°﹣27°＝51°．
故答案为：51°．
20．对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝﹣5，则整数x的取值是　﹣17，﹣16，﹣15　．
解：∵[m]表示不大于m的最大整数，
∴﹣5≤＜﹣4，
解得：﹣17≤x＜﹣14，
∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，
故答案为﹣17，﹣16，﹣15．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答
（1）解不等式①，得　x≤1　；
（2）解不等式②，得　x≥﹣4　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为　﹣4≤x≤1　．
解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得x≥﹣4；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为﹣4≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥﹣4，﹣4≤x≤1．
22．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：
①x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）．②a3﹣a＝a（a2﹣1）． ③x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）．④2m2+4mn+2n2＝（2m+2n）2．
（1）小红做错的或不完整的题目是　②、④　（填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
解：（1）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；2m2+4mn+2n2＝（2m+2n）2＝4（m+n）2．
故答案为②、④；
（2）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；2m2+4mn+2n2＝2（m2+2mn+n2）＝2（m+n）2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．
24．整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题：
（1）化简计算：（n+2）（4n﹣8）+17；
（2）在（1）题结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解；
（3）试说明两个连续奇数的平方差能够被8整除．
解：（1）（n+2）（4n﹣8）+17
＝4（n+2）（n﹣2）+17
＝4（n2﹣4）+17
＝4n2﹣16+17
＝4n2+1
∴（n+2）（4n﹣8）+17＝4n2+1
（2）∵4n2+4n+1＝（2n+1）2
4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2
4n4+4n2+1＝（2n2+1）2
所以新增单项式为：4n或﹣4n或4n4
（3）设两个连续奇数，2n+1，2n﹣1．
依题意得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，
即连续两个奇数的平方差能被8整除．
25．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）填空：∠BIC＝　114°　．
（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝　66°　．
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，填空：∠BEC＝　24°　．
（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于 　84　度时，CE∥AB？请说明理由．
解：（1）∵∠A＝48°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，
∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝66°，
∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．
故答案为：114°；
（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI＝∠DBC+∠IBC＝90°，同理∠DCI＝90°，
∴∠BDC+∠BIC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣114°＝66°．
故答案为：66°；
（3）在△BDE中，∠DBI＝90°，
∴∠BEC＝90°﹣∠BDC
＝90°﹣66°
＝24°；
（4）∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠A＝48°，
∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°，
故答案为：84．
26．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为255人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为150人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织460名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，至少需要租甲种客车几辆？
解：（1）设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，
依题意得：，
解得：．
答：1辆甲种客车的载客量为60人，1辆乙种客车的载客量为45人．
（2）设租用甲种客车m辆，则租用乙种客车（8﹣m）辆，
依题意得：60m+45（8﹣m）≥460，
解得：m≥．
又∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少需要租甲种客车7辆．