2020-2021学年河北省保定市曲阳县七年级（下）期末数学试卷（word解析版）

2020-2021学年河北省保定市曲阳县七年级（下）期末数学试卷
一、单选题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．2x3?x2＝2x6 B．（﹣a3）2＝a6
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．x8÷x2＝x4
2．一个不等式组的两个不等式的解集如图所示、则这个不等式组的解集为（　　）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜3 D．x≤3
3．如图，△ABC中，点D在BC上，△ACD和△ABD面积相等，线段AD是三角形的（　　）
A．高 B．角平分线 C．中线 D．无法确定
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．36° C．40° D．45°
5．若x2﹣ax﹣2可以分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．不等式组的解集是（　　）
A．﹣1＜x≤1 B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x≤1
7．关于式子a2﹣2a+3的说法正确的是（　　）
A．当a＝1时，式子有最大值2
B．当a＝1时，式子有最小值2
C．当a＝﹣1时，式子有最大值2
D．当a＝﹣1时，式子有最小值2
8．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则a2020﹣（﹣）2121的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2
9．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为（　　）
A．2 B．5 C．2或2.5 D．无法计算
10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．不等式3﹣3x＞4x﹣2的最大整数解是　 　．
12．计算：（2a）3＝　 　．
13．小威到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15粒虾仁水饺或20粒韭菜水饺的价钱，若小威先买了9粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买　 　粒韭菜水饺．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于　 　．
15．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 　 　．
16．分解因式：m3n﹣4mn＝　 　．
17．如图是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀剪成四个一样的小长方形拼成一个正方形，则正方形中空白的面积为 　 　．
18．若线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则AM与AN的数量大小关系为 　 　．
19．某商场计划每月销售900台电脑，2007年5月1日至7日黄金周期间，商场开展促销活动，5月的销售计划又增加了30%，已知黄金周这7天平均每天销售54台，则这个商场本月后24天平均每天至少销售　 　台才能完成本月计划．
20．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为20cm2，则△CDE和△BEF的面积分别为 　 　．
三、解答题（满分60分）
21．把下列各式因式分解：
（1）18a2b﹣8b；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
22．解不等式（组）：
（1）；
（2）．
23．先化简，后求值：（2x﹣1）（2x+1）+4x3﹣x（1+2x）2，其中x＝﹣．
24．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
25．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC＝32°，∠AEB＝70°．
（1）求∠BAD和∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
26．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．2x3?x2＝2x6 B．（﹣a3）2＝a6
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．x8÷x2＝x4
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
解：（A）原式＝2x5，故A错误．
（B）原式＝a6，故B正确．
（C）原式＝﹣27a6，故C错误．
（D）原式＝x6，故D错误．
故选：B．
2．一个不等式组的两个不等式的解集如图所示、则这个不等式组的解集为（　　）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据口诀同小取小即可得出答案．
解：由数轴知这个不等式组的解集为x＜2，
故选：A．
3．如图，△ABC中，点D在BC上，△ACD和△ABD面积相等，线段AD是三角形的（　　）
A．高 B．角平分线 C．中线 D．无法确定
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积公式得到S△ACD＝CD?AH，S△ABD＝BD?AH，由于△ACD和△ABD面积相等，于是得到CD?AH＝BD?AH，即可得到结论．
解：过A 作AH⊥BC于H，
∵S△ACD＝CD?AH，S△ABD＝BD?AH，
∵△ACD和△ABD面积相等，
∴CD?AH＝BD?AH，
∴CD＝BD，
∴线段AD是三角形ABC的中线，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【分析】求出∠BAD＝2∠CAD＝2∠B＝2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°
故选：B．
5．若x2﹣ax﹣2可以分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】将分解后的因式乘开，根据对应相等，得出a、b的值，代入求解即可．
解：x2﹣ax﹣2＝（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴，
解得：，
∴a+b＝2．
故选：D．
6．不等式组的解集是（　　）
A．﹣1＜x≤1 B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x≤1
【分析】分别求出不等式的解集，再找到其公共部分即可．
解：，
由①得，x＞﹣1，
由②得，x≤1，
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：A．
7．关于式子a2﹣2a+3的说法正确的是（　　）
A．当a＝1时，式子有最大值2
B．当a＝1时，式子有最小值2
C．当a＝﹣1时，式子有最大值2
D．当a＝﹣1时，式子有最小值2
【分析】利用完全平方公式化简，结合平方的非负性判断．
解：a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，
∵（a﹣1）2≥1（当a＝1时，等号成立），
∴（a﹣1）2+2≥2（当a＝1时，取最小值2），选项B符合题意．
故选：B．
8．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则a2020﹣（﹣）2121的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2
【分析】将代入方程4x＝by﹣2求b，将代入方程ax+5y＝15求a，从而求出代数式的值．
解：将代入方程4x＝by﹣2，得：8＝b﹣2，
∴b＝10，
将代入方程ax+5y＝15，得：5a+20＝15，
∴a＝﹣1，
∴a2020﹣（﹣）2121＝（﹣1）2020﹣（﹣）2121＝1﹣（﹣1）＝2．
故选：A．
9．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为（　　）
A．2 B．5 C．2或2.5 D．无法计算
【分析】根据两种情况即BC＝AB或BC＝CD进行解答即可．
解：如图
∵AB＝2，AD＝7，
∴BD＝BC+CD＝5，
∵BC作为腰的等腰三角形，
∴BC＝AB或BC＝CD，
∴BC＝2或2.5．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
【分析】设运动的时间为xcm，则AP＝（20﹣3x）cm，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
解：设运动的时间为xcm，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4（cm）．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．不等式3﹣3x＞4x﹣2的最大整数解是　0　．
【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大整数解．
解：不等式3﹣3x＞4x﹣2的解集为x＜；
所以其最大整数解是0．
故答案为：0．
12．计算：（2a）3＝　8a3　．
【分析】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
解：（2a）3＝23?a3＝8a3．
故答案为：8a3．
13．小威到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15粒虾仁水饺或20粒韭菜水饺的价钱，若小威先买了9粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买　8　粒韭菜水饺．
【分析】直接利用已知结合二元一次方程得出两种水饺的单价关系，进而得出答案．
解：设虾仁水饺每粒x元，韭菜水饺每粒y元，根据题意可得：
15x＝20y，
则x＝y，
故他身上剩下的钱恰好可买韭菜水饺：（15x﹣9x ）×y＝8（粒），
故答案为：8．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于　15°　．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∠1＝∠3+∠D，则2∠1＝2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D＝∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，
∴2∠1＝2∠3+∠A，
∵∠1＝∠3+∠D，
∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．
故答案为：15°．
15．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 　租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人　．
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
16．分解因式：m3n﹣4mn＝　mn（m﹣2）（m+2）　．
【分析】先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可．
解：m3n﹣4mn
＝mn（m2﹣4）
＝mn（m﹣2）（m+2）．
故答案为：mn（m﹣2）（m+2）．
17．如图是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀剪成四个一样的小长方形拼成一个正方形，则正方形中空白的面积为 　（m﹣n）2　．
【分析】利用空白的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积求解即可．
解：正方形中空白的面积为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2．
18．若线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则AM与AN的数量大小关系为 　AM≤AN　．
【分析】根据垂线段最短进行判断即可．
解：∵线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，
∴AM≤AN，
故答案为：AM≤AN．
19．某商场计划每月销售900台电脑，2007年5月1日至7日黄金周期间，商场开展促销活动，5月的销售计划又增加了30%，已知黄金周这7天平均每天销售54台，则这个商场本月后24天平均每天至少销售　33　台才能完成本月计划．
【分析】求每天的销售量，要先求出剩余的电脑的台数，然后除以天数；求出总和，然后减去已销售的，就可以求出最后所剩的数量．
解：设平均每天销售x台，
依题意得54×7+24x≥900+900×30%，
解得x≥33台，
则这个商场本月后24天平均每天至少销售33台才能完成本月计划．
故答案为：33．
20．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为20cm2，则△CDE和△BEF的面积分别为 　6cm2，5cm2　．
【分析】由BD：CD＝2：3，△ABC的面积为20cm2，可得△ABD、△ACD的面积分别为8cm2，12cm2．又点E，F分别是线段AD，CE的中点，可得△BDE、△CDE面积分别为4cm2，6cm2，所以S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝10cm2，从而可得S△BEF＝S△BEC＝5cm2．
解：∵BD：CD＝2：3，△ABC的面积为20cm2，
∴S△ABD＝S△ABC＝8cm2，S△ACD＝S△ABC＝12cm2，
又点E，F分别是线段AD，CE的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝4cm2，S△CDE＝S△ACD＝6cm2，
∴S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC＝10cm2，
∴S△BEF＝S△BEC＝＝5cm2，
则△CDE和△BEF的面积分别为6cm2，5cm2．
故答案为：6cm2，5cm2．
三、解答题（满分60分）
21．把下列各式因式分解：
（1）18a2b﹣8b；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式；
（2）先去括号，再用完全平方公式．
解：（1）原式＝2b（9a2﹣4）
＝2b（3a+2）（3a﹣2）；
（2）原式＝x2﹣4x+3+1
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
22．解不等式（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：（1）去分母得：3（x﹣2）≥2（2x﹣1）+6，
去括号得：3x﹣6≥4x﹣2+6，
移项得：3x﹣4x≥﹣2+6+6，
合并同类项得：﹣x≥10，
系数化成1得：x≤﹣10；
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤4．
23．先化简，后求值：（2x﹣1）（2x+1）+4x3﹣x（1+2x）2，其中x＝﹣．
【分析】根据整式的混合运算法则、整式的乘法公式把原式化简，代入计算即可．
解：（2x﹣1）（2x+1）+4x3﹣x（1+2x）2
＝4x2﹣1+4x3﹣x（1+4x+4x2）
＝4x2﹣1+4x3﹣x﹣4x2﹣4x3
＝﹣x﹣1
当x＝﹣时
原式＝﹣x﹣1
＝﹣1
＝﹣．
24．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．
25．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC＝32°，∠AEB＝70°．
（1）求∠BAD和∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABC，得出∠BAD＝26°，再求出∠C，得出∠CAD＝52°，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当∠EFC＝90°时；②当∠FEC＝90°时；由角的互余关系和三角形的外角性质即可求出∠BEF的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC＝64°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣64°＝26°，
∵∠C＝∠AEB﹣∠EBC＝70°﹣32°＝38°，
∴∠CAD＝90°﹣38°＝52°；
（2）解：分两种情况：
①当∠EFC＝90°时，如图1所示：
则∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBC＝90°﹣32°＝58°；
②当∠FEC＝90°时，如图2所示：
则∠EFC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BEF＝∠EFC﹣∠EBC＝52°﹣32°＝20°；
综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．
26．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的值，再根据a为整数，即可得出答案．
解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤37．
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）根据题意得：
（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，
解得：a＞35，
∵a≤37，且a应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．