(共26张PPT)
第1课时 归纳推理
课标阐释
思维脉络
1.了解归纳推理的含义.
2.掌握归纳推理的方法与步骤.
3.能运用归纳推理进行推理.
归纳推理
知识梳理
思考辨析
归纳推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的
全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)
特点
(1)由部分到整体、由个别到一般;(2)所得结论超越了前提所包含的范围;(3)所得结论具有猜测性质,不一定正确
步骤
第一步:通过观察个别情况发现某些相同性质;
第二步:从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)
分类
(1)完全归纳推理:由某类事物的全体对象推出结论
(2)不完全归纳推理:由某类事物的部分对象推出结论
【做一做1】
已知n是正整数,
,则当n=1,2,3,4,…时,
M= , , , ,由此可推测当n>1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有 个 ,最后一位是 .?
解析:当n=1,2,3,4,…时,M=3,23,223,2
223,因此推测当n>1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有n-1个2,最后一位是3.
答案:3 23 223 2
223 n-1 2 3
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,那么第36颗珠子的颜色是( )
A.白色
B.黑色
C.白色的可能性大
D.黑色的可能性大
解析:由题图知,这串珠子的排列规律是每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)呈周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第一颗珠子的颜色相同,故它的颜色是白色.
答案:A
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.
( )
(2)归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象.
( )
(3)归纳推理是由部分到整体,由一般到特殊的推理.
( )
(4)归纳推理得出的结果一定不正确.
( )
(5)归纳推理分为完全归纳推理与不完全归纳推理.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
知识梳理
思考辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
等式中的归纳推理问题
【例1】
已知下列等式成立:
13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,……试根据以上几个等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示.
思路分析:分析给出的各个等式左边的项数、各项的次数以及底数的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结论.
解:从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,是13,右边为1,等于12;第2个等式左边有2项,是13+23,右边为9,等于(1+2)2;第3个等式左边有3项,是13+23+33,右边为36,等于(1+2+3)2,第4个等式左边有4项,是13+23+33+43,右边为100,等于(1+2+3+4)2,由此可以归纳得出一般性的结论为13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2(n∈N
).
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟给出几个等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与正整数n的关系,从而写出一般性结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1观察下列各式:
9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……
这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关于n的等式表示为 .?
解析:由已知,得32-12=2×4,42-22=3×4,52-32=4×4,62-42=5×4,
……猜想(n+2)2-n2=4(n+1).
答案:(n+2)2-n2=4(n+1)
探究一
探究二
探究三
探究四
不等式中的归纳推理问题
【例2】观察下列不等式:
思路分析:观察给出的不等式发现,左侧括号内是连续奇数的倒数之和,右侧括号内是连续偶数的倒数之和,而另一个数与项数有关,据此可写出一般性结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟给出几个不等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的不等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与正整数n的关系,从而写出一般性结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2观察下列不等式:log32·log34<1,log43·log45<1,
log54·log56<1,……试由此归纳出一个一般性的结论,并证明这一结论.
解:由所给几个不等式可得一般性结论为:若n∈N
,且n>2,
则logn(n-1)·logn(n+1)<1.
证明:因为n∈N
且n>2,
所以logn(n-1)>0,logn(n+1)>0,
探究一
探究二
探究三
探究四
图形中的归纳推理问题
【例3】
有两种颜色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中灰色正六边形的个数是
( )
?
A.26
B.31
C.32
D.36
思路分析:分析给出的3个图案中灰色正六边形的个数,猜测一般结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:方法一
灰色正六边形个数如表:
由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中灰色正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.
方法二
由图案的排列规律可知,除第一块白色正六边形需6个灰色正六边形围绕外,每增加一块白色正六边形,只需增加5块灰色正六边形(每两块相邻的白色正六边形之间有一块“公共”的灰色正六边形),故第六个图案中灰色正六边形的个数为
6+5×(6-1)=31.
答案:B
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟解决图形形式的归纳推理问题,关键是认真分析给出的图形的各方面的特点,例如数量规律、排列规律、结构规律等,由此推测出一般结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3观察下图中的图形规律,在右下角的空格内画上合适的图形为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
数列中的归纳推理问题
【例4】
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).试归纳猜想数列{an}的通项公式.
思路分析:利用a1的值和公式nan+1=Sn+n(n+1),逐步求得a2,a3,a4的值,然后归纳得到数列{an}的通项公式.
解:由于a1=2,且nan+1=Sn+n(n+1).
令n=1,得a2=S1+1×2=a1+2=2+2=4;
令n=2,得2a3=S2+2×3=a1+a2+6=2+4+6=12,于是a3=6;
令n=3,得3a4=S3+3×4=a1+a2+a3+12=2+4+6+12=24,于是a4=8,
由此可以归纳得到数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N
).
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟在数列问题中,常常用归纳推理来求数列的通项公式与前n项和公式,其一般步骤是:
(1)根据给出的第1项(或其他几项)的值,利用递推关系式求出数列的前几项或前几项和;
(2)观察数列的前几项或前几项和的结果,从中寻找与项数n的关系;
(3)写出数列的通项公式或前n项和公式.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练4已知在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和),则S2,S3,S4分别为 ,由此猜想Sn= .?
解析:由Sn,Sn+1,2S1成等差数列,得2Sn+1=Sn+2S1.
∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2.
1.根据给出的数塔猜测123
456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1
111
1
234×9+5=11
111
12
345×9+6=111
111
A.1
111
110
B.1
111
111
C.1
111
112
D.1
111
113
解析:由数塔呈现的规律知,结果是各位都是1的7位数.
答案:B
2.如图,在所给的四个选项中,最适合填入问号处,使之呈现一定的规律性的为( )
解析:观察第一组中的三个图,可知每一个黑色方块都从右向左循环移动,每次向左移动一格,由第二组的前两个图,可知选A.
答案:A
解析:由已知不等式可猜测
答案:C
4.已知x>1,观察下列不等式:
……
按此规律,第n个不等式为 .?
5.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-an(n∈N
).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并猜想an;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
(1)解:当n=1时,S1=2-a1,∴a1=1;
(2)证明:下面用数学归纳法证明猜想:(共28张PPT)
第2课时 类比推理
课标阐释
思维脉络
1.了解类比推理的含义,了解类比推理的方法与步骤.
2.能够运用类比推理解决简单问题.
3.了解合情推理的含义.
类比推理
定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)
特点
(1)是由特殊到特殊的推理
(2)以原有知识为基础,猜测和发现新结论
(3)结论不一定正确
步骤
(1)明确两类对象;
(2)找出两类对象之间的相似性或者一致性;
(3)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个明确的结论
1.类比推理
知识梳理
思考辨析
名师点拨类比推理与归纳推理的比较
?
归纳推理
类比类推
相同点
根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,提出猜想
不
同
点
特点
由部分到整体,由个别到一般
由特殊到特殊
推理
过程
从一类事物中的部分事物具有的属性,猜测该类事物都具有这种属性
两类对象具有类似的特征,根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
“鲁班发明锯子”的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现了( )
A.归纳推理
B.类比推理
C.没有推理
D.以上说法都不对
解析:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比推理.
答案:B
知识梳理
思考辨析
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
【做一做2】
下列说法正确的是( )
A.合情推理的结论一定正确
B.合情推理的结论一定不正确
C.归纳推理和类比推理都属于合情推理
D.合情推理是由一般到特殊的推理
答案:C
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)类比推理是由一般到特殊的推理.
( )
(2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点连线与平面垂直,这是运用了类比推理.
( )
(3)类比推理得到的结论可以作为定理使用.
( )
(4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
知识梳理
思考辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面与空间的类比
思路分析:由平面向空间类比推广时,等边三角形与正四面体是类比对象,BC的中点与△BCD的重心是类比对象,外接圆与外接球是类比对象.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟平面与空间的类比是最常见的一种类比,一般地,进行平面与空间的类比时,常见的对象如下:
平面
点
直线
边长
面积
三角形
平行四边形
圆
空间
直线
平面
面积
体积
四面体
平行六面体
球
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
等差数列与等比数列的类比
【例2】
在等差数列{an}中,如果m,n,p,r∈N
,且m+n+p=3r,那么必有am+an+ap=3ar,类比该结论,写出在等比数列{bn}中类似的结论,并用数列知识加以证明.
思路分析:从等差数列与等比数列的定义与性质出发,寻找两种数列的联系点进行类比.
解:类似结论如下:在等比数列{bn}中,如果m,n,p,r∈N
,且m+n+p=3r,那么必有bmbnbp
证明如下:设等比数列{bn}的公比为q,则bm=b1qm-1,bn=b1qn-1,bp=b1qp-1,br=b1qr-1,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,二者在很多方面可以进行类比,例如:等差数列中项的加、减、倍数运算与等比数列中的乘、除、开方运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2设等差数列{an}的前n项和为Sn,若存在正整数m,n(m解析:在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时,加减运算类比推理到乘除运算,累加类比推理到累乘,故若正项等比数列{bn}的前n项积为Tn,若存在正整数m,n(m答案:1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解题方法的类比
【例3】
我们知道:
12=1,
22=(1+1)2=12+2×1+1,
32=(2+1)2=22+2×2+1,
42=(3+1)2=32+2×3+1,
……
n2=(n-1)2+2(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,整理得n2=2×[1+2+3+…+(n-1)]+n(n∈N
),
所以1+2+3+…+(n-1)=
.
类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n2的表达式的过程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思路分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题方法与步骤可知,应将13,23,33,…,n3等进行改写,然后两边相加,通过变形整理得出结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:已知:
13=1,
23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,
33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,
43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,
……
n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,得
(13+23+…+n3)=[13+23+…+(n-1)3]+3[12+22+…+(n-1)2]
+3[1+2+…+(n-1)]+n,
整理得n3=3(12+22+…+n2)-3n2+3[1+2+…+(n-1)]+n,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟借助类比推理可以推测未知,可以发现新结论,可以探索和提供解决问题的思路和方法,这是类比推理的重要作用,因此在解决一个未知的问题时,如果能够发现未知问题与已知问题的相似之处,它们之间具有可类比性,就可以根据已知问题的求解方法类比解决未知问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
盲目类比致误
典例平面几何中有结论:若一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.类比这一结论,在立体几何中,若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( )
A.互补
B.相等
C.互补或相等
D.大小关系不定
错解分析本题的错误在于盲目将空间问题与平面问题类比,不注意结合实际问题进行分析.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:如右图所示,当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,如二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A这两个二面角没有任何大小关系,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得类比推理是很重要的推理,利用类比推理可以获得一些重要结论,但它的结论不一定是正确的,因此为了使这种推理更严谨、更完美,我们还要注意结合类比所涉及的实际问题进行分析.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知{an}为等比数列,a7=6,则a1a2·…·a13=613.类比该结论,若{bn}为等差数列,b7=6,则{bn}中的类似结论为 .?
解析:等比数列中,“乘积”类比到等差数列中“和”,故应有结论为b1+b2+…+b13=6×13.
答案:b1+b2+…+b13=6×13
1.下列使用类比推理正确的是( )
A.“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”
C.“实数a,b,c满足运算(ab)c=a(bc)”类比推出“平面向量a,b,c满足运算(a·b)c=a(b·c)”
D.“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”
解析:对于选项A,空间中平行于同一平面的两直线平行是假命题,
错误的.对于选项C,由于向量的数量积不满足结合律,所以C是错误的.显然易知选项D是正确的.故选D.
答案:D
2.一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形.类比此方法,若一个三棱锥的体积V=2,表面积S=3,则该三棱锥内切球的表面积为( )
解析
由题意,三棱锥内切球球心与各顶点相连把此三棱锥分成以原三棱锥各面三角形为底面,高为内切球半径r的4个小三棱锥,从而有V=
Sr?2=
×3r?r=2,所以内切球表面积为4πr2=4π·22=16π.故选B.
答案
B
3.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .?
解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
4.在平面中,如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的正确性?
解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,那么这个平行六面体是直平行六面体.
证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
若对角线A1C与AC1相等,
则四边形ACC1A1是矩形,
因此A1A⊥AC.
同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形,
因此D1D⊥DB,即A1A⊥DB.
又因为AC与BD相交,
所以A1A⊥底面ABCD,
故平行六面体是直平行六面体.(共33张PPT)
2.1.2 演绎推理
课标阐释
思维脉络
1.了解演绎推理的含义.
2.掌握演绎推理的三段论模式,能够运用演绎推理进行推理.
3.了解演绎推理与合情推理的区别与联系.
演绎推理
1.演绎推理
知识梳理
思考辨析
含 义
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,把这种推理称为演绎推理
特 点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理;
(2)只要前提和推理形式正确,结论一定正确
一般模式
三段论推理
【做一做1】
下列推理是演绎推理的是( )
A.若M,N是平面内两定点,动点P满足|PM|+|PN|=2a>|MN|,则点P的轨迹是椭圆
B.由a1=1,an=2n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积为πr2,猜想出椭圆
的面积为πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析:可知B是归纳推理,C,D是类比推理,只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理.
答案:A
知识梳理
思考辨析
2.三段论推理
?
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
S是P
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
“凡是自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数.”以上三段论推理( )
A.完全正确
B.推理形式不正确
C.不正确,两个“自然数”概念不一致
D.不正确,两个“整数”概念不一致
解析:大前提“凡是自然数都是整数”正确.小前提“4是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确.
答案:A
知识梳理
思考辨析
3.演绎推理与合情推理的区别与联系
?
合理推理
演绎推理
区别
定义
根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果),以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程
根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理
等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程
思维
方法
归纳、类比
三段论
推理
形式
由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理
由一般到特殊的推理
结论
结论不一定正确,有待于进一步证明
在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确
知识梳理
思考辨析
?
合理推理
演绎推理
联系
合情推理与演绎推理是相辅相成的,数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理;数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)演绎推理是由特殊到一般再回到特殊的推理.
( )
(2)三段论推理是演绎推理的唯一模式.
( )
(3)三段论中,大前提正确,小前提正确,推理过程正确,则结论正确.
( )
(4)三段论推理中,大前提可以省略,小前提不能省略.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
知识梳理
思考辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
三段论推理模式的理解与应用
例1将下列演绎推理改写为三段论推理的形式,并注明大前提、小前提、结论.
(1)若角A,B是等腰三角形ABC的两个底角,则A=B;
(2)函数f(x)=x3-2x的图象关于原点对称;
(3)通项公式为an=3n-1(n∈N
)的数列{an}是等差数列.
思路分析分析各个命题,明确它们的大前提、小前提、结论,若有省略,则应先补齐,再改写为三段论模式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)等腰三角形的两底角相等,
…………………………大前提
角A,B是等腰三角形的底角,
………………………………小前提
所以A=B.
…………………………
…………………………结论
(2)所有奇函数的图象都关于原点对称,
…………………大前提
函数f(x)=x3-2x是奇函数,
…………………………………小前提
所以函数f(x)=x3-2x的图象关于原点对称.
…………………结论
(3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列,
…………………………
…………………………
…………大前提
通项公式为an=3n-1的数列{an}中,
当n≥2时,an-an-1=3n-1-[3(n-1)-1]=3为常数,
………………小前提
所以通项公式为an=3n-1的数列{an}是等差数列.
…………………………
…………………………
…………结论
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用三段论写演绎推理的过程时,关键是明确其中的大前提、小前提、结论,其中大前提是指一般性的原理,一般都是省略不写的;小前提指出了一种特殊情况,有时也是省略的,大小前提结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系,得到结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1把下列推断写成三段论的形式:
(1)因△ABC三条边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;
(2)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在代数证明中的应用
思路分析:(1)利用等比数列的定义进行证明;(2)根据等差数列的定义求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)证明:因为2an+1-an=n,
所以2an+2-an+1=n+1,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟代数推理和证明的过程,基本都是演绎推理的应用过程,即运用已有的定义、定理、性质、法则等作为大前提进行三段论推理.证明过程中,要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的定义、定理、性质、法则等(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,从而得出正确的结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知函数f(x)=x2+2bx+c(c(1)证明:-3(2)若m是函数y=f(x)+1的一个零点,判断f(m-4)的正负,并加以证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)证明:因为函数f(x)的一个零点是1,所以f(1)=0,
函数y=f(x)+1有零点,即方程x2+2bx+c+1=0有实数根,
故Δ=4b2-4(c+1)=(c+1)2-4(c+1)≥0,
所以c≥3或c≤-1,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)解:f(m-4)的符号为正.f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-1)(x-c),
因为m是函数y=f(x)+1的一个零点,
所以f(m)=(m-c)(m-1)=-1<0,所以c所以c-4所以f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0,
即f(m-4)的符号为正.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在几何证明中的应用
【例3】
已知平面α∥平面β,直线l⊥α,l∩α=A,如图所示,
求证:l⊥β
.
思路分析:本题可由线面垂直的定义证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α=a.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟在几何推理过程中,多数情况下采用的都是三段论推理模式,其中大前提通常是两个三角形全等、相似的判定定理,线面平行与垂直的判定定理、性质定理,面面平行与垂直的判定定理、性质定理等,一般都可以省略不写.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如图,在锐角三角形ABC中,AD,BE是高线,D,E为垂足,
M为AB的中点.求证:ME=MD.试用三段论推理证明这个问题,并指出每一步推理的大、小前提及结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
三段论推理中大(小)前提错误致误
【典例】
如图,已知S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
求证:AB⊥BC.
错解分析:本题常见错误是在证明过程中使用错误的大前提“如果两个平面垂直,那么一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面”,事实上,此处应该用的大前提是面面垂直的性质定理,即“如果两个平面垂直,那么其中一个平面内与交线垂直的直线,必垂直于另一个平面”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,过点A作直线AE⊥SB于点E,
因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,
所以AE⊥平面SBC.
又BC?平面SBC,所以BC⊥AE.
因为SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.
又AE∩SA=A,所以BC⊥平面SAB.
纠错心得在立体几何中,线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程,而这是一个难点,也是易错点,其中主要的错误在于搞错大前提,有时甚至随意编造有关定理作为大前提,从而导致错误.
又AB?平面SAB,所以BC⊥AB,即AB⊥BC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.是正确的
解析:由题意,大前提“指数函数y=ax(a>0,a≠1)是增函数”是错误的,故推理得到错误的结论,选A.
答案:A
1.“因为e=2.718
28…是无限不循环小数,所以e是无理数”,以上推理的大前提是( )
A.实数分为有理数和无理数
B.e不是有理数
C.无限不循环小数都是无理数
D.无理数都是无限不循环小数
解析:由题意得:大前提是无限不循环小数都是无理数.
答案:C
2.大前提:奇函数的图象关于原点对称,小前提:f(x)=
是奇函数,结论:所以f(x)=
的图象关于原点对称,则该推理过程( )
A.正确
B.因大前提错误导致结论错误
C.因小前提错误导致结论错误
D.因推理形式错误导致结论错误
答案:A
3.“一切奇数都不能被2整除,35是奇数,所以35不能被2整除.”把此演绎推理写成“三段论”的形式.
大前提:
,?
小前提:
,?
结论:
.?
答案:不能被2整除的整数是奇数 35是奇数 35不能被2整除(共30张PPT)
2.2.1 综合法和分析法
课标阐释
思维脉络
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2.了解利用综合法和分析法解决问题的思维方式与推理过程.
3.能够运用综合法和分析法证明具体问题.
直接证明
1.综合法
定 义
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法
推理过程
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
其中,P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论
推理特点
①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其推理过程实际上是逐步寻求已知条件的必要条件;
②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,通过演绎推理,一步一步完成命题的证明过程
知识梳理
思考辨析
2.分析法
定 义
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方法叫做分析法
推理过程
Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显
成立的条件
其中,Q表示要证明的结论
推理特点
①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理过程实际上是逐步寻求使结论成立的充分条件;
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的表述有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析:结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.
答案:C
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
要证明
,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( )
A.综合法
B.分析法
C.类比法
D.归纳法
解析:因为我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法证明比较困难,最合理的是分析法,故选B.
答案:B
知识梳理
思考辨析
3.综合法和分析法的综合应用
(1)在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q';根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P'.若由P'可以推出Q'成立,即可证明结论成立.
(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为:
P?P1→P1?P2→…→Pn?P'
?
Q'?Qm←…←Q2?Q1←Q1?Q
知识梳理
思考辨析
名师点拨综合法和分析法的区别与联系
区别:
联系:分析法便于我们去寻找证明思路,综合法便于证明过程的叙述,两种方法各有所长,因而在解决问题时,常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表达证明过程,两种方法结合运用效果会更好.
?
综合法
分析法
推理方向
顺推,由因导果
逆推,执果索因
解题思路
探路较难,易生枝节
容易探路,
利于思考(优点)
表述形式
形式简洁,
条理清晰(优点)
叙述烦琐,易出错
思考的
侧重点
侧重于已知条件
提供的信息
侧重于结论提供的信息
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)综合法的证明过程是合情推理的过程.
( )
(2)分析法的证明过程是演绎推理的过程.
( )
(3)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理过程实际上是逐步寻求使结论成立的充分条件.
( )
(4)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其推理过程实际上是逐步寻求已知条件的必要条件.
( )
(5)分析法与综合法证明同一个问题时,一般思路相反,过程相逆.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
知识梳理
思考辨析
探究一
探究二
探究三
规范解答
综合法的应用
【例1】
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin
Asin
B+sin
Bsin
C+cos
2B=1.求证:a,b,c成等差数列.
思路分析:从已知条件中的等式出发,寻求sin
A,sin
B,sin
C之间的关系,然后结合正弦定理证明结论.
证明:因为sin
Asin
B+sin
Bsin
C+cos
2B=1,
所以sin
B(sin
A+sin
C)+(cos
2B-1)=0,
即sin
B(sin
A+sin
C)-2sin2B=0,
所以sin
B(sin
A+sin
C-2sin
B)=0,
由于在△ABC中,sin
B≠0,
因此sin
A+sin
C-2sin
B=0,
由正弦定理可得
,
于是a+c=2b,故a,b,c成等差数列.
(R为△ABC外接圆半径),
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟1.综合法的证明步骤
(1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理、公理等;
(2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程.
2.综合法的适用范围
(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式问题等;
(2)已知条件明确,且容易寻求已知条件的必要条件获得结论的题型.
3.在利用综合法证明不等式的过程中,要注意不等式性质以及基本不等式的应用,在利用综合法证明三角恒等式的过程中,要注意三角函数基本公式和正弦、余弦定理的应用.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc,
所以a(b2+c2)≥2abc.①
同理可得b(c2+a2)≥2abc,②
c(a2+b2)≥2abc.③
又因为a,b,c不全相等,所以①②③三式中不能同时取到“=”,
故①②③三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
探究一
探究二
探究三
规范解答
分析法的应用
【例2】
已知函数f(x)=x2-2x+2,若m>n>1,求证:
思路分析:已知条件较少,且很难和要证明的不等式直接联系起来,故可考虑从要证明的不等式出发,采用分析法证明.
即证2m2+2n2>m2+2mn+n2,
只需证m2+n2>2mn,
即证(m-n)2>0,
因为m>n>1,所以(m-n)2>0显然成立,
故原不等式成立.
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟分析法的证明过程、书写形式及适用范围
(1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理、公理对结论进行转化,直到获得一个明显成立的条件即可.
(2)书写形式:要证……,只需证……,即证……,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立.
(3)适用范围:已知条件不明确,或已知条件较少而结论式子较复杂的问题.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练2如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过点E作SC的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.
证明:已知EF⊥SC,要证AF⊥SC,
只需证SC⊥平面AEF,
只需证AE⊥SC,
而AE⊥SB,故只需证AE⊥平面SBC,
只需证AE⊥BC,
而AB⊥BC,故只需证BC⊥平面SAB,只需证BC⊥SA,
由SA⊥平面ABC,可知SA⊥BC,即上式显然成立,
所以AF⊥SC成立.
探究一
探究二
探究三
规范解答
综合法与分析法的综合应用
【例3】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且三个内角A,B,C构成等差数列.求证:
思路分析:本题条件较为简单,但结论中的等式较为复杂,故可首先用分析法,将要证明的等式进行转化,转化为一个较为简单的式子,然后再从已知条件入手,结合余弦定理,推导出这个式子,即可得证.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟1.有些数学问题的证明,需要把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称为分析综合法,或者称“两头凑法”.
2.在证明过程中,分析法能够发现证明的思路,但解题的表述过程较为烦琐,而综合法表述证明过程则显得简洁,因此在实际解题过程中,常常将分析法和综合法结合起来运用,先利用分析法探求得到解题思路,再利用综合法有条理地表述解题过程.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练3设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,证明:
.
探究一
探究二
探究三
规范解答
分析法的证明过程及步骤
【典例】
设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,求证:
为偶函数.
审题策略:由于已知条件较为复杂,且不易与要证明的结论联系,故可从要证明的结论出发,利用分析法,从函数图象的对称轴找到证明的突破口.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
答题模板第1步:将证明函数为偶函数的问题转化为证明其图像的对称轴为y轴的问题.
?
第2步:将对称轴用系数a,b表示,从而得到系数a,b应满足的条件.
?
第3步:将已知条件中对称轴满足的条件用系数a,b表示,得到系数a,b之间的关系.
?
第4步:对照第2步中的条件,由分析法证明问题得证.
?
第5步:结论成立.
探究一
探究二
探究三
规范解答
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)不能将所要证明的问题转化为对称轴的问题;
(2)不能将对称轴正确地用系数a,b表示;
(3)不能将已知中的条件转化为a,b之间的关系式;
(4)证明过程中的文字叙述不规范.
探究一
探究二
探究三
规范解答
∴sin(x1+x2)>0,cos
x1cos
x2>0,1+cos(x1+x2)>0,
∴只需证1+cos(x1+x2)>2cos
x1cos
x2,
探究一
探究二
探究三
规范解答
即证1+(cos
x1cos
x2-sin
x1sin
x2)>2cos
x1cos
x2,
即证cos(x1-x2)<1.
由余弦函数性质知上式显然成立,
1.关于综合法和分析法说法错误的是( )
A.综合法和分析法都是直接证明中最基本的两种证明方法
B.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
C.综合法又叫顺推证法或由因导果法
D.分析法又叫逆推证法或执果索因法
解析:对于A,综合法和分析法都是直接证明中最基本的两种证明方法,故A正确;对于B,综合法是由因导果,而分析法是执果索因,故B错误;对于C,综合法又叫顺推证法或由因导果法,故C正确;对于D,分析法又叫逆推证法或执果索因法,故D正确.故选B.
答案:B
2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asin
A,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不确定
解析:∵bcos
C+ccos
B=asin
A,
∴由正弦定理,得sin
Bcos
C+sin
Ccos
B=sin2A,
即sin(B+C)=sin(π-A)=sin
A=sin2A.
又sin
A>0,∴sin
A=1,又A∈(0,π),∴A=
,
∴△ABC是直角三角形,故选C.
答案:C
A.由因导果法
B.分析法
C.综合法
D.间接证法
答案
B
答案:m2.2.2 反证法
课标阐释
思维脉络
1.了解间接证明的基本方法——反证法.
2.了解反证法证明的思考过程与特点.
3.能够运用反证法证明简单的问题.
间接证明→反证法
1.反证法
(1)反证法是间接证明的一种基本方法.
(2)一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了
原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
名师点拨反证法的实质
用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用以下框图表示:
肯定条件p,否定结论q→导致逻辑矛盾→“p且
q为假”→“若p则q”为真
特别提醒反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题.反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
用反证法证明命题“已知实数x,y满足x3+y3=2,求证:x+y≤2”时,应作的假设是 .?
解析:命题的结论是x+y≤2,其否定是x+y>2,故应假设“x+y>2”.
答案:x+y>2
知识梳理
思考辨析
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与
已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
3.反证法的一般步骤
用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程,这个过程包括下面三个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为( )
A.①②③
B.③①②
C.①③②
D.②③①
解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②.
答案:B
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)反证法是间接证明的一种基本方法.
( )
(2)反证法与“证明逆否命题法”是同一种方法.
( )
(3)否定性命题、唯一性命题等只能用反证法进行证明.
( )
(4)反证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定.
( )
(5)反证法的证明过程既可以是合情推理,也可以是一种演绎推理.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
知识梳理
思考辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用反证法证明否定性命题
思路分析:这是否定性命题,可用反证法证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用反证法证明否定性命题的适用类型
所谓否定性命题,就是指所证问题中,含有“不”“不是”“不相等”“不存在”“不可能”“都不”“没有”等否定性词语的命题,这类命题,其结论的反面比较具体,适合采用反证法证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用反证法证明“至少、至多”命题
思路分析:本题为“至少、至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故用反证法证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.对于“至少、至多”型问题,直接证明时分类情况较多,证明过程烦琐,而如果运用反证法证明,则分类情况单一,证明过程简单,这体现了“正难则反”的思想方法.
2.证明“至少、至多”型问题时,常见的“结论词”与“反设词”:
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有
(不存在)
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用反证法证明唯一性命题
【例3】
求证:经过平面α外一点A只能有一条直线和平面α垂直.
思路分析:本题为唯一性命题,可用反证法证明,即假设经过点A有两条直线都与平面α垂直,然后根据空间以及平面中的有关定理推出矛盾.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,点A在平面α外,假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB,AC(B,C为垂足),
那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面β,平面β和平面α相交于直线BC,
因为AB⊥平面α,AC⊥平面α,且BC?α,所以AB⊥BC,AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直,
这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾,
因此假设错误,即经过平面外一点A只能有一条直线和平面α垂直.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用反证法证明唯一性命题的注意点
(1)当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时,反设其结论易于导出矛盾,因此可用反证法证明该类命题.
(2)用反证法证明唯一性命题时,如果其结论的反面呈现多样性,必须罗列出所有可能的各种情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的.
(3)证明“有且只有”等形式的命题时,需要证明两个方面,即证明存在性和唯一性.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在[m,n]上单调递减,若f(m)·f(n)<0,求证:方程f(x)=0在[m,n]上有且只有一个实数根.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:因为函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(m)·f(n)<0,
所以f(x)在区间[m,n]上至少存在一个零点,亦即方程f(x)=0在[m,n]上至少有一个实数根.
下面证明方程f(x)=0在[m,n]上的根是唯一的.
设方程f(x)=0在[m,n]上的实数根为x0,则f(x0)=0.
假设方程f(x)=0在[m,n]上还存在另一个实数根x1,则f(x1)=0,且x0≠x1.
∵f(x)在[m,n]上单凋递减,
故若x0>x1,则有f(x0)若x0f(x1),即0>0,矛盾;
故假设错误,即方程f(x)=0在[m,n]上的根是唯一的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反证法证明过程中未用反设致误
【典例】
已知实数k满足2k2+3k+1<0,运用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根.
错解分析:本题常见错解是虽然对命题的结论进行了反设,但后面的证明过程中,没有将这一“反设”作为条件进行推理,因此没有推出矛盾,故这种证明过程不是利用反证法进行的,是错误的.
证明:假设方程x2-2x+5-k2=0有实数根,
则其判别式Δ=4-4(5-k2)=4k2-16≥0,
解得k≥2或k≤-2.
故假设错误,即关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在反证法的证明过程中,必须首先对结论进行否定,然后在后面的推理过程中真正用上这一“反设”,才是真正利用反证法证明问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知直线a,b相交,求证:直线a与b有且只有一个交点.
证明:假设结论不成立,则有两种情况:直线a与b没有交点;直线a与b有不止一个交点.
(1)假设直线a与b没有交点,则a∥b或a,b是异面直线,这与已知矛盾.
(2)假设直线a与b有不止一个交点,则至少有两个交点,设为P,P',这样经过点P,P'就有两条直线a,b,这与两点确定一条直线矛盾.
由(1)和(2),可知假设不成立,所以直线a与b有且只有一个交点.
1.在用反证法证明“已知x,y∈R,且x+y<0,则x,y中至多有一个大于0”时,假设应为( )
A.x,y都小于0
B.x,y至少有一个大于0
C.x,y都大于0
D.x,y至少有一个小于0
解析
“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”,故其对立面为“x,y都大于0”.故选C.
答案
C
2.用反证法证明命题“已知m,n∈N,若mn能被3整除,则m,n中至少有一个能被3整除”时,假设的内容是( )
A.m,n都能被3整除
B.m,n都不能被3整除
C.m,n不都能被3整除
D.m,n中有一个能被3整除
解析:结论“m,n中至少有一个能被3整除”的否定是“m,n都不能被3整除”,故应假设m,n都不能被3整除.
答案:B
3.若实数x,y,z满足x+y+z>9,则x,y,z中至少有一个大于 .?
解析:假设x,y,z都不大于3,即x≤3,y≤3,z≤3,则x+y+z≤9,这与x+y+z>9相矛盾,故x,y,z中至少有一个大于3.
答案:3
4.命题“关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是
.?
答案:无解或至少有两个解
证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,
则a+b+c<3.
这与a+b+c<3矛盾,
因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于1.(共35张PPT)
第2课时 推理与证明
知识网络
要点梳理
思考辨析
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.合情推理
2.演绎推理
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.综合法与分析法
(1)综合法是从原因推测结果的思维方法,即从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证的结论,这是常用的数学方法.
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
知识网络
要点梳理
思考辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有可能的情况.
(3)反证法证明过程中,必须把结论的否定作为条件进行推理,否则,仅否定结论,但不从结论的反面出发进行推理,即使证得了结论,也不符合反证法的要求.
(4)反证法中,导出的矛盾可以是多种多样的,有的是与已知条件矛盾,有的是与假设矛盾,有的是与已知的事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)归纳推理是由特殊到一般,类比推理是由一般到特殊.
( )
(2)归纳推理的结论不一定正确,类比推理的结论一定正确.
( )
(3)演绎推理的主要模式是三段论.
( )
(4)反证法就是证明原命题的逆否命题成立.
( )
(5)分析法是一种间接证明的方法.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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专题一 合情推理及其应用
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反思感悟1.归纳推理是从个别的、具体的、特殊的结果发现变化规律,得出一般结论,或从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题.
2.类比推理重在考察观察和比较的能力,题目一般情况下较为新颖,也有一定的探索性.
专题归纳
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变式训练1观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,……则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为
( )
A.76
B.80
C.86
D.92
解析:解的个数构成首项为4,公差为4的等差数列,
所以an=4+4(n-1)=4n,a20=80,选B.
答案:B
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专题二 演绎推理及其应用
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反思感悟数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合,结论是大前提和小前提的逻辑结果.
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专题三 综合法与分析法及其应用
【例3】已知a,b,c,d∈R,试分别用分析法和综合法证明
?
思路分析:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;常用分析法找证题思路,用综合法写证明过程.
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证明:分析法:①当ac+bd≤0时,显然成立.
②当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即证2abcd≤b2c2+a2d2,
即证0≤(bc-ad)2.
∵a,b,c,d∈R,∴上式恒成立,
故原不等式成立.综合①②知,命题得证.
综合法:∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,
专题归纳
高考体验
反思感悟综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法与综合法可相互转换,相互渗透,要充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表示证明过程.
专题归纳
高考体验
证明:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
专题归纳
高考体验
专题四 反证法及其应用
【例4】
已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实数a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
专题归纳
高考体验
反思感悟1.反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面进行推理,就不是反证法.
2.推导出的矛盾多种多样,有的与已知相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与已知事实相矛盾等等,推出的矛盾必须是明显的.
专题归纳
高考体验
变式训练4有十只猴子一共分了56根香蕉,每只猴子至少分到1根香蕉,最多分到10根香蕉,试证明至少有两只猴子分到同样多的香蕉.
证明:假设十只猴子分到的香蕉数各不相同,
因为每只猴子至少分到1根香蕉,最多分到10根香蕉,所以十只猴子分别分到了1,2,3,…,10根香蕉,
此时十只猴子一共分了1+2+3+…+10=55根香蕉,这与十只猴子一共分了56根香蕉相矛盾,
故假设错误,即至少有两只猴子分到同样多的香蕉.
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考点一 归纳推理及其应用
1.观察下列等式:
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考点二 演绎推理及其应用
3.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析:因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.
答案:D
专题归纳
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4.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .?
解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.
综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.
答案:1和3
专题归纳
高考体验
5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
专题归纳
高考体验
解析:若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A.
答案:A
专题归纳
高考体验
考点三 综合法与分析法及其应用
6.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
?
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
专题归纳
高考体验
证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD.
所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1?平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
专题归纳
高考体验
7.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.?
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
专题归纳
高考体验
证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC,AB?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC,所以AD⊥AC.
专题归纳
高考体验
考点四 反证法及其应用
8.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是
( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
解析:“至少有一个”的否定为“没有”.
答案:A
专题归纳
高考体验
9.直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:
相交于A,C两点,O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.
专题归纳
高考体验(共22张PPT)
习题课——推理与证明的综合问题
课标阐释
思维脉络
1.掌握新定义问题的解题方法.
2.掌握推理与证明的综合问题的解决方法.
3.掌握探索性问题的求解方法.
推理与证明的综合应用
1.新定义问题
新定义问题是指给出一个新概念、新定义,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求同学在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,解决所给出的新问题.
2.推理与证明的综合
解决有些数学问题时,通常将推理和证明结合起来,一般是先通过合情推理推出有关的结论,再用直接证明或者间接证明的方法进行结论正确性的证明.
知识梳理
3.探索性问题
探索性问题是相对于传统封闭性问题而言的,它具有条件的不完备性、结论的不确定性等特征.解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,则可以得出存在性结论;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在,或者命题不成立.
知识梳理
【做一做1】
在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围是( )
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
解析
∵x☉(x-2)<0,∴x(x-2)+2x+x-2<0,化简得x2+x-2<0,解得
-2答案
B
知识梳理
【做一做2】
若两个向量a,b的夹角为θ,则定义“a×b”为向量的外积,其长度为|a×b|=|a||b|sin
θ.若已知|a|=1,|b|=5,a·b=-4,则|a×b|= .?
解析
设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=1,|b|=5,a·b=-4,
答案
3
知识梳理
【做一做3】
下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:
请将错误的一个改正为lg
= .?
解析:因为表中的对数值有且仅有一个是错误的,且lg
9=2lg
3,
4a-2b=2(2a-b),
所以3和9的对数值正确,
lg
5=1-lg
2,lg
8=3lg
2,
所以3lg
5+lg
8=3,故5和8的对数值也不能都错,
故只有15的对数值错误.
应改正为lg
15=lg
3+lg
5=3a-b+c.
答案:15 3a-b+c
x
3
5
8
9
15
lg
x
2a-b
a+c
3-3a-3c
4a-2b
3a-b+c+1
知识梳理
探究一
探究二
探究三
新定义问题
思路分析:先求出{bn}的通项公式,再求出其前n项和,最后按照“和等比数列”的定义进行判断.
答案:是
探究一
探究二
探究三
反思感悟求解新定义问题时,要紧扣题目给出的新定义、新概念、新运算,并结合学过的其他数学知识加以解决.
探究一
探究二
探究三
变式训练1对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,则a的取值范围是( )
解析:因为f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,所以x2+2ax+1=x无解,即x2+(2a-1)x+1=0无解.所以Δ=(2a-1)2-4<0,解得
答案:A
探究一
探究二
探究三
推理与证明的综合问题
【例2】已知椭圆具有以下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并分别记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线
(a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明.
思路分析:先进行类比推理,得到结论后,再利用综合法进行证明.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
反思感悟椭圆和双曲线在定义、标准方程、几何性质等诸多方面都具有类似的性质,通过我们已经学习过的相关知识,可以将椭圆的某些性质和双曲线的某些性质进行类比,这样就可以发现一些新的结论,并且可以利用相关的知识证明这些结论的正确性.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探索性问题
【例3】
已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离为
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
思路分析:先假设符合条件的直线l存在,设出其方程,再根据两个条件进行求解,若求得相应的直线方程,则存在;否则,不存在.
探究一
探究二
探究三
解:(1)将点A(1,-2)代入抛物线y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,
得p=2.
即抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
解得t=±1.
综上可知t=1.
于是符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
探究一
探究二
探究三
反思感悟解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再在此基础上通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,不出现矛盾,则可以判断结论成立;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在.
探究一
探究二
探究三
变式训练3已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,a≠1),是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解:假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1,
则f(1)=1,即loga(3-a)=1,解得a=1.5,则f(x)=log1.5(3-1.5x),但当x=2时,函数无意义,故a=1.5不符合题意,即不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1.
1.已知函数f(x),其导数为f'(x),记函数f'(x)的导数为f″(x),若在区间(a,b)上,f″(x)>0恒成立,则称f(x)在(a,b)上为下凸函数,下列函数中,在(0,+∞)上为下凸函数的是( )
A.f(x)=2x
B.f(x)=
C.f(x)=x2
D.f(x)=sin
x
解析:对于函数f(x)=x2,f'(x)=2x,于是f″(x)=2,满足f″(x)>0恒成立,故f(x)=x2在(0,+∞)上为下凸函数.
答案:C
答案:B
解析:因为f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),
所以f'(a)=(a-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),
答案:0
4.定义:如果函数y=f(x)在定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,例如y=x2是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=x3+mx是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是 .?
