(共25张PPT)
1.1.1 命题
课标阐释
思维脉络
1.通过实例理解命题的定义,会判断一个语句是不是命题.
2.掌握判断命题真假的方法,会判断一个命题的真假.
3.掌握命题的结构,会分析命题的条件和结论.
命题
【思考1】在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?
答案能对一件事情作出判断的语句,叫做命题.
1.命题的定义
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
名师点拨1.并不是任何语句都是命题,一个语句是命题必须同时具备两个条件:一是陈述句;二能够判断真假.
2.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
3.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
【做一做1】
下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④x>2;⑤2021央视牛年春晚真精彩啊!
A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.②③⑤
解析①②③是陈述句,且能判断真假,因此是命题,④不能判断真假,⑤是感叹句,故④⑤不是命题.
答案A
2.命题的分类
命题按照其真假可以分为两类:真命题和假命题,判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
名师点拨数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题.
【做一做2】
下列命题是真命题的为( )
答案A
【思考2】命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么?
答案条件是“一个数是实数”,结论是“它的平方是非负数”.
3.命题的构成
一个命题常写成“若p,则q”的形式,其中命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
特别提醒数学上有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但可以将它改写成“若p,则q”的形式,从而得到该命题的条件和结论.
【做一做3】
将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p,则q”的形式为 .?
解析该命题的条件是四边形的对角线相等,结论是该四边形是矩形,故写成“若p,则q”的形式为:若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形.
答案若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一命题的判断
例1
判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(1)三角形的三个内角的和等于360°;
(2)a+b=4;
(3)2016年奥运会的举办城市是里约热内卢;
(4)这是一棵大树;
(5)你是高二的学生吗?
(6)求证:
是无理数;
(7)并非所有的人都喜欢数学;
(8)x2+1>0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思路分析按照命题的定义进行分析判断.
解(1)这是陈述句,且可以判断真假,因此是命题;
(2)由于变量a,b的值不确定,无法判断其真假,因此不是命题;
(3)这是陈述句,且可以判断真假,因此是命题;
(4)“大树”的标准不确定,无法判断其真假,因此不是命题;
(5)这是疑问句,不是命题;
(6)这是祈使句,不是命题;
(7)可以判断为真,人群中有的人喜欢数学,也存在着不喜欢数学的人,因此是命题;
(8)虽然变量x的值不确定,但可以判断其真假,因此是命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟判定一个语句是否为命题的方法
(1)必须是陈述句,祈使句、疑问句、感叹句一般都不是命题.
(2)含义模糊不清,不能判断真假的语句,不是命题.另外,并非所有的陈述语句都是命题,凡是在陈述语句中含有比喻、形容词的,都不是命题.
(3)不要误以为判断为假的陈述句不是命题,只不过它是假命题而已.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数的算术平方根一定是非负数;
③若x,y都是无理数,则xy是无理数;
④请完成第九题;
⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.
其中是命题的是 .?
解析①不是命题,因为它不是陈述句;
②可以判断真假,是陈述句,是命题;
③可以判断真假,是陈述句,是命题;
④不是命题,因为它不是陈述句;
⑤可以判断真假,是陈述句,是命题.
答案②③⑤
探究一
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探究二命题真假的判断
例2
判断下列命题是真命题还是假命题?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思路分析根据真假命题的定义,结合相关的数学知识进行推理判断.
解(1)是真命题;
(2)是假命题,如当x=-1时,log2x2=0,而2log2x=2log2(-1)无意义;
(3)是真命题,若m>1,则Δ=4-4m<0;
(4)是假命题,直线x+y=0的倾斜角是
;
(5)是真命题;
(6)是假命题,如当A={1,2,3},B={2,3,4}时,1∈A,但1?A∩B.
反思感悟命题真假的判定方法
根据已学过的定义、定理、公理、已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理,若得出的结果与结论相符,则为真命题;反之,为假命题.说明一个命题是假命题,只需举一个反例即可.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实数根;③对于实数x,若x-2=0,则(x-2)(x+1)=0;④若p>0,则p2>p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是 .?
解析当c=0时不成立,故①是假命题;方程x2-x+1=0的判别式Δ=-3<0,所以方程x2-x+1=0无实根,故②是假命题;取p=0.5>0,但p2>p不成立,故④是假命题;正方形的四条边相等,是菱形,故⑤是假命题,对于③,若x-2=0,则x=2,所以(x-2)(x+1)=0,故③是真命题.
答案③
探究一
探究二
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探究三命题结构的分析
例3
指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假.
(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若a>0,b>0,则a+b<0;
(3)面积相等的两个三角形全等;
(4)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2.
思路分析注意对命题的表述形式进行改变,然后找出其条件和结论.
解(1)条件p:整数a能被2整除,结论q:a是偶数.这是一个真命题.
(2)条件p:a>0,b>0,结论q:a+b<0.这是一个假命题.
(3)命题改写为:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等.
条件p:两个三角形面积相等,结论q:这两个三角形全等.这是一个假命题.
(4)命题改写为:已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2.条件p:y=x+1,结论q:y=3,x=2.这是一个假命题.
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反思感悟命题结构形式的改写
1.数学中的命题基本上都是“若p,则q”的形式,但也有一些命题,从形式上看,不是“若p则q”的形式,而将其表述进行适当改变,也可以写成“若p则q”的形式.
2.改写命题时,不能把大前提放在条件中,应写在“若”前面,仍作为命题的大前提.
3.对一个命题的形式进行改写后,其真假性保持不变.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论,并判断各命题的真假.
(1)相似三角形的对应边成比例;
(2)当0
(3)平行于同一个平面的两平面平行.
解(1)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.
条件p:两个三角形相似,结论q:两个三角形的对应边成比例.这是一个真命题.
(2)若0条件p:0(3)若两个平面平行于同一个平面,则这两个平面平行.
条件p:两个平面平行于同一个平面,结论q:这两个平面平行.这是一个真命题.
探究一
探究二
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当堂检测
思维辨析
一题多变——命题的真假判断
典例给定下列命题:
①若a>b,则2a>2b;
②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;
③直线x=
是函数y=sin
x的一条对称轴;
④在△ABC中,若
>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的是 .
探究一
探究二
探究三
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解析对于①,根据函数f(x)=2x的单调性知①为真命题.
对于②,若a=1+,b=1-,则a+b=2不是无理数,因此②是假命题.
对于③,函数y=sinx的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③为真命题.
方法总结命题真假的判断方法
探究一
探究二
探究三
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变式训练1(变结论)本例中命题①变为“若a>b,则方程ax2-2bx+a=0无实根”,该命题是真命题还是假命题.
解若a=1,b=-5,满足a>b,但Δ=4b2-4a2>0,方程有两个不相等的实根,因此该命题是假命题.
变式训练2(变条件)本例中命题④变为“若
<0,则△ABC是锐角三角形”,该命题还是真命题吗?
解不是真命题,
<0只能说明∠B是锐角,其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角,才可以判定三角形为锐角三角形.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.下列语句不是命题的个数为( )
①2<1;②x<1;③若x<1,则x<2;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析语句①③④都能判断真假,是命题,语句②不能判断真假,不是命题.
答案B
探究一
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2.下列命题是假命题的是( )
A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.5>3
解析|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.
答案B
探究一
探究二
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当堂检测
3.命题“正弦函数是周期函数”的条件是( )
A.一个函数是正弦函数
B.一个函数是周期函数
C.一个函数不是正弦函数
D.一个函数不是周期函数
解析命题可以改写为“若一个函数是正弦函数,则它是周期函数”,因此其条件是“一个函数是正弦函数”.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知p(x):x2+2x-m>0,且p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为 .?
解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,
解得m≥3.又因为p(2)是真命题,
所以4+4-m>0,
解得m<8.
所以实数m的取值范围是[3,8).
答案[3,8)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)当ac>bc时,a>b;
(2)当m>
时,方程mx2-x+1=0无实根;
(3)当abc=0时,a=0或b=0或c=0.
解(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.
(2)若m>
,则方程mx2-x+1=0无实根,是真命题.
(3)若abc=0,则a=0或b=0或c=0,是真命题.(共27张PPT)
1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
课标阐释
思维脉络
1.了解命题的四种形式,会写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题.
2.理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系.
3.能够利用命题的等价性解决有关问题.
四种命题
及关系
【思考】初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题?
答案在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题,其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.
1.四种命题
(1)逆命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.如果原命题为“若p,则q”,则其逆命题为“若q,则p”.
(2)否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题,其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.如果原命题为“若p,则q”,那么其否命题为“若?p,则?q”.
(3)逆否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.如果原命题为“若p,则q”,那么其逆否命题为“若?q,则?p”.
名师点拨1.四种命题中的任何一个都可以作为原命题,即命题的四种形式中,原命题是不确定的.
2.“互为逆否命题”与“逆否命题”是不同的,互为逆否命题指的是两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具有单向性.
【做一做1】
已知命题p:若x=y,则cos
x=cos
y,则命题p的逆命题为 ;命题p的否命题为 ;命题p的逆否命题为 .?
答案若cos
x=cos
y,则x=y 若x≠y,则cos
x≠cos
y 若cos
x≠cos
y,则x≠y
2.四种命题间的关系
名师点拨四种命题之间共有互逆、互否、互为逆否三种关系:(1)互逆关系:原命题与逆命题;否命题与逆否命题;(2)互否关系:原命题与否命题;逆命题与逆否命题;(3)互为逆否关系(等价关系):原命题与逆否命题;逆命题与否命题.
【做一做2】
给出以下命题:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;③正方形的四条边相等;④圆内接四边形对角互补;⑤对角不互补的四边形不内接于圆;⑥若一个四边形的边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有 ;互为否命题的有 ;互为逆否命题的有 .?
答案③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
3.四种命题的真假性关系
(1)四种命题的真假性,有以下四种情况:
(2)四种命题的真假性之间的关系:
①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
【做一做3】
命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由a>-3可得a>-6,但由a>-6得不出a>-3,故原命题及原命题的逆否命题为真命题.
答案B
探究一
探究二
当堂检测
探究一命题的四种形式
例1
写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题.
(1)若sin
α=
,则tan
α=
;
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(3)当1(4)若ab=0,则a=0或b=0.
探究一
探究二
当堂检测
(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.
否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
(3)逆命题:若x2-3x+2<0,则1否命题:若x≤1或x≥2,则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(4)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
否命题:若ab≠0,则a≠0,且b≠0.
逆否命题:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟写出原命题的其他三种命题的方法及注意点
(1)给出一个命题,写出该命题的其他三种形式时,首先要弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,则应先改写为“若p,则q”的形式,找出命题的条件和结论.
(2)写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,只否定结论的错误.
(3)要特别注意一些常见形式的否定的写法,例如:“都是”的否定为“不都是”,“a,b中至少一个为零”的否定为“a,b都不为零”.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练1命题“若x=3或y=5,则(x-3)(y-5)=0”的逆命题是 ;否命题是 ;逆否命题是 .?
答案若(x-3)(y-5)=0,则x=3或y=5 若x≠3,且y≠5,则(x-3)(y-5)≠0 若(x-3)(y-5)≠0,则x≠3,且y≠5
探究一
探究二
当堂检测
探究二四种命题的真假判断
例2
(1)对于原命题:“已知a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,在这4个命题中,真命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
(2)判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.
思路分析(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可.
探究一
探究二
当堂检测
(1)解析当c=0时,ac2>bc2不成立,故原命题是假命题,从而其逆否命题也是假命题;原命题的逆命题为“已知a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”是真命题,从而原命题的否命题也是真命题,故选C.
答案C
(2)解方法一:原命题的逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0.
∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,解得a<-
,
∴原命题的逆否命题为真命题.
方法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x2+x-a=0,根的判别式Δ=1+4a>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题为真命题.
∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟判断命题真假的方法
(1)分清该命题的条件与结论,直接对该命题的真假进行判断;
(2)不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常都通过判断其逆否命题的真假来实现.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练2判断下列命题的真假:
(1)“在△ABC中,若AC(2)“已知a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2>0”的逆否命题.
解(1)“在△ABC中,若AC(2)若a≠0且b≠0,
因为a,b∈R,
所以a2>0,b2>0,
则a2+b2>0;
因此,命题“已知a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2>0”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.
探究一
探究二
当堂检测
解析(1)当AB=AC时,△ABC为等腰三角形为真命题,故逆否命题为真命题.逆命题是△ABC为等腰三角形,则AB=AC为假命题,故否命题为假命题.
(2)①是真命题.其逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题,因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,所以其否命题是真命题.②是假命题.原命题(如取x=1,y=0)是假命题,所以其逆否命题是假命题.③是假命题.该命题的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,显然是假命题.④是假命题.该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”,显然是假命题.
答案(1)C (2)B
探究一
探究二
当堂检测
思想方法
等价性命题的应用
典例求证:当a2+b2=c2时,a,b,c不可能都是奇数.
思路分析可将要证明的问题看作一个命题,只需证明这个命题是真命题即可,若证明这个命题本身比较困难,则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题.
证明构造命题p:若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数.
该命题的逆否命题是:若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2.下面证明该逆否命题是真命题.
由于a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,于是a2+b2必为偶数,而c2为奇数,所以有a2+b2≠c2,故逆否命题为真命题,从而原命题也是真命题.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟正难则反思想:在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
探究一
探究二
当堂检测
跟踪训练求证:若a+b≥6,则a,b中至少有一个不小于3.
证明构造命题p:若a+b≥6,则a,b中至少有一个不小于3,则其逆否命题为:若a,b都小于3,则a+b<6.
而当a<3,且b<3时,必有a+b<6,所以逆否命题为真,从而原命题p为真命题,故原结论成立.
探究一
探究二
当堂检测
1.命题“若x2≤1,则-1≤x≤1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≤-1或x≥1
B.若-1C.若x≤-1或x≥1,则x2≥1
D.若x<-1或x>1,则x2>1
解析命题“若x2≤1,则-1≤x≤1”的逆否命题是“若x<-1或x>1,则x2>1”.
答案D
探究一
探究二
当堂检测
2.在命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是( )
A.原命题、否命题
B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题
D.逆命题、否命题
解析因为原命题为真,逆命题为假,所以逆否命题为真,否命题为假.
答案D
探究一
探究二
当堂检测
3.下列命题中,真命题的个数是( )
①“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的否命题;②“全等三角形是相似三角形”的逆命题;③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
A.3
B.2
C.1
D.0
答案C
4.命题“若α=β,则sin
α=sin
β”的等价命题是 .?
解析原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若α=β,则sin
α=sin
β”的等价命题是“若sin
α≠sin
β,则α≠β”.
答案若sin
α≠sin
β,则α≠β
探究一
探究二
当堂检测
5.已知命题p:“若ac≥0,则二次不等式ax2+bx+c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题;
(2)判断命题p的否命题的真假.
解(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下:
因为ac<0,
所以-ac>0,Δ=b2-4ac>0,所以二次方程ax2+bx+c=0有实根,即ax2+bx+c>0有解,所以该命题是真命题.(共28张PPT)
1.2 充分条件与必要条件
课标阐释
思维脉络
1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.
2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.
3.掌握证明充要条件的一般方法.
充分条件与必要条件
1.推出符号“?”的含义
(1)一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p?q”;
(2)如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作
“p
q”.
【做一做1】
用推出符号“?和
”表示下列命题:
(1)p:a>b,q:ac>bc;
(2)p:a>b,q:a+c>b+c.
解(1)p
q;(2)p?q.
【思考】用恰当的语言表述下列语句的意义.
①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;
②只有同心协力,才可能把事情办好.
答案①落后是骄傲自满的必然后果,即骄傲自满是落后的充分条件.
②同心协力是办好事情的必要条件.
2.充分条件与必要条件
一般地,如果p?q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.
名师点拨1.若p?q,则说p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立就足够了;若p?q,则说q是p的必要条件,所谓“必要”,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可.
2.注意以下说法是等价的:①p?q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
3.判断充分条件或必要条件的实质是判断命题“若p,则q”或其逆命题的真假.
【做一做2】
用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的 ,q是p的 .?
(2)若p:θ=
,q:cos
θ=0,则p是q的 ,q是p的 .?
(3)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的 ,q是p的 .?
答案(1)充分条件 必要条件 (2)充分条件 必要条件 (3)必要条件 充分条件
3.充要条件
一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件.
名师点拨1.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件,否则,都不能说p是q的充要条件.
2.命题真假与充分条件、必要条件、充要条件的关系:
【做一做3】
下列选项中,p是q的充要条件的是
( )
A.p:a=b,q:
B.p:xy>0,q:xy>0
C.p:直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行,q:a=1
D.p:m>0,q:关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根
解析在B选项中,p?q,且q?p,所以p是q的充要条件.
答案B
【做一做4】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.( )
(2)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.( )
(3)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.( )
答案(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
当堂检测
(1)p:0(2)p:函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,q:a=2;
(3)p:x-3,
x,x成等比数列,q:x=4;
(4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形;
(5)p:m<1.
探究一充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1
指出下列各题中,p是q的什么条件?(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)
思路分析分析判断p?q,q?p是否成立,再结合充分条件、必要条件的定义得出结论.
探究一
探究二
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解(1)当0p,故p是q的充分不必要条件.
(2)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,当a>1时,得a2=4,所以a=2,当0,即由函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,可得a=2或a=
,即p
q;但当a=2时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,即q?p,故p是q的必要不充分条件.
探究一
探究二
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探究一
探究二
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反思感悟充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法:按如下步骤进行:①分清条件与结论,即分清哪一个是条件,哪一个是结论;②判断p?q及q?p的真假;③下结论.
(2)等价法:将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题.
(3)集合法:当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,我们可以借助集合间的基本关系进行充要条件的判断,即写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系加以判断,具体情况如下:
①若A?B,则p是q的充分条件;②若A?B,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.
探究一
探究二
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2.判断充分必要条件的常用方法.
(1)定义法:按如下步骤进行:①分清条件与结论,即分清哪一个是条件,哪一个是结论;②判断推式的真假,即判断p?q及q?p的真假;③下结论,即根据推式及定义下结论.
(2)等价法:将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题.
(3)集合法:当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,我们可以借助集合间的基本关系进行充要条件的判断,即写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系加以判断,具体情况如下:
①若A?B,则p是q的充分条件;②若A?B,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.
探究一
探究二
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变式训练1指出下列各命题中,p是q的什么条件.
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(4)p:a<1.
探究一
探究二
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解(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B?BC>AC,所以p是q的充分必要条件.
(2)因为x=2且y=6?x+y=8,即?q??p,但?p
?q,所以p是q的充分不必要条件.
(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.
探究一
探究二
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探究二充要条件的证明
例2
求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0思路分析第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“00对一切实数x都成立”.
第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论?条件”;再证充分性:“条件?结论”.
探究一
探究二
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探究一
探究二
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反思感悟充要条件的证明解题策略
1.充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
2.证明p是q的充要条件,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
3.证明p的充要条件是q,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
探究一
探究二
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变式训练2在△ABC中,求证角A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
证明充分性:
在△ABC中,A+B+C=180°.
∵B=60°,∴A+C=120°,
∴A+C=2B.∴A,B,C成等差数列.
必要性:
∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.
故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
探究一
探究二
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思维辨析
一题多变——充分条件、必要条件、充要条件的应用
典例已知命题p:x2-8x-20≤0,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件,所以p?q且q
p.
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集,
所以
解得m≥9或m>9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.
探究一
探究二
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探究一
探究二
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延伸探究本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围.
解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),
探究一
探究二
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1.设α:x>1且y>2,β:x+y>3,则α是β的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析若“x>1且y>2”,则“x+y>3”成立;当x=5,y=1时,满足x+y>3,但x>1且y>2不成立.故“x>1且y>2”是“x+y>3”的充分不必要条件.故选A.
答案A
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2.“α≠
”是“sin
α≠1”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
探究一
探究二
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3.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)内为增函数”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2a,+∞)内为增函数,得2a≤2,即a≤1,故选B.
答案B
探究一
探究二
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4.若a∈R,则“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的 条件.(注:在“充要”“既不充分也不必要”“充分不必要”“必要不充分”中选填一个)?
解析“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”等价于a(a+1)+1×(2a)=0,即a=0或a=-3,又易知:“a=-3”是“a=0或a=-3”的充分不必要条件,即“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的充分不必要条件,故答案为充分不必要.
答案充分不必要
探究一
探究二
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(1)若p
为真,求x的取值范围;
(2)若?q是?p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解(1)因为p为真,
所以(x-2)(x-5)<0,
解得2即x的取值范围是(2,5);
探究一
探究二
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1.3 简单的逻辑联结词
课标阐释
思维脉络
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.
2.掌握用逻辑联结词改写命题的方法.
3.掌握判断含逻辑联结词的命题真假的方法.
4.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法.
简单的逻辑联结词
【思考】观察三个命题:①2是4的约数;②2是6的约数;③2是8的约数且是10的约数,它们之间有什么关系?从集合的角度如何理解“且”的含义.
答案命题③是将命题①,②用“且”联结得到的新命题,“且”与集合运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,表示“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既……,又……”相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用“和”“与”代替.
1.逻辑联结词“且”“或”“非”
(1)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”.
(2)用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”.
(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作?p,读作“非p”或“p的否定”.
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.一个命题的否定与命题的否命题不同,命题的否定只是将命题的结论进行否定,而否命题则是将命题的条件和结论都进行否定.
【做一做1】
指出下列各个命题分别运用了哪个逻辑联结词?
(1)函数f(x)=x2既是二次函数,又是幂函数.
(2)常数数列不是等差数列.
(3)x≥y.
(4)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
解(1)且 (2)非 (3)或 (4)且
2.含逻辑联结词的命题(即复合命题)的真假判断(真值表)
p
q
p∨q
p∧q
?p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
名师点拨注意以上真值表的逆用,当p∧q为真时,p和q都必须是真命题;当p∨q为真时,p和q中至少有一个是真命题;当p∨q为假时,p和q都必须是假命题;当p∧q为假时,p和q中至少有一个是假命题.
【做一做2】
已知命题:
p:对任意x∈R,总有2x>0;
q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.
则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.(?p)∧(?q)
C.(?p)∧q
D.p∧(?q)
解析因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q,?p为假命题,?q为真命题,(?p)∧(?q),(?p)∧q为假命题,p∧(?q)为真命题,故选D.
答案D
探究一
探究二
探究三
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探究一含逻辑联结词的命题的构成
例1
指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题:
(1)1是质数或合数;
(2)他是运动员兼教练;
(3)不等式|x-2|≤0没有实数解;
(4)周长相等或面积相等的两个三角形全等;
(5)这部作品不仅艺术上有缺点,而且政治上也有错误.
思路分析根据命题中所使用的逻辑联结词,或者命题所表达的实际意义判断命题的结构.
探究一
探究二
探究三
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解(1)这个命题是p∨q形式,其中p:1是质数,q:1是合数.
(2)这个命题是p∧q形式,其中p:他是运动员,q:他是教练.
(3)这个命题是?p形式,其中p:不等式|x-2|≤0有实数解.
(4)这个命题是p∨q形式,其中p:周长相等的两个三角形全等,q:面积相等的两个三角形全等.
(5)这个命题是p∧q形式,其中p:这部作品艺术上有缺点,q:这部作品政治上有错误.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟复合命题的判断及注意的问题
1.辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时,应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词,或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式,准确理解语义应注意抓住一些关键词.如“是……也是……”,“兼”,“不但……而且……”,“既……又等.
2.要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式.如a≥3是a>3或a=3,xy=0是x=0或y=0,x2+y2=0是x=0且y=0.
3.如果要用逻辑联结词“且”“或”“非”联结两个命题,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.
4.常见词语及其否定形式:是→不是,相等→不相等,>→≤,<→≥,都是→不都是,都不是→至少有一个是.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题:
(1)48是16与12的公倍数;
(2)方程x2+x+3=0没有实数根;
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等;
(4)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
解(1)这个命题是p∧q形式,其中p:48是16的倍数,q:48是12的倍数.
(2)这个命题是?p形式,其中p:方程x2+x+3=0有实数根.
(3)这个命题是p∨q形式,其中p:相似三角形周长相等,q:相似三角形对应角相等.
(4)这个命题是p∧q形式,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.
探究一
探究二
探究三
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探究二含逻辑联结词的命题的真假判断
例2
分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题的真假.
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
(2)p:函数f(x)=3x-3-x是偶函数,q:函数f(x)=3x-3-x是单调递增函数;
(3)p:点(1,2)在直线2x+y-4=0上,q:点(1,2)不在圆x2+(y-3)2=2上;
(4)p:不等式x2-x+2<0没有实数解,q:函数y=x2-x+2的图象与x轴没有交点.
探究一
探究二
探究三
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思路分析分析判断出每个简单命题的真假,然后结合真值表得到每个复合命题的真假.
解(1)因为p是假命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是假命题,?p是真命题.
(2)因为p是假命题,q是真命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是真命题.
(3)因为p是真命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是假命题.
(4)因为p是真命题,q是真命题,
所以p∧q是真命题,p∨q是真命题,?p是假命题.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟判断“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题真假的步骤
第一步,确定复合命题的构成形式;
第二步,判断简单命题p,q的真假;
第三步,根据真值表作出判断.
其中特别要注意:一真“或”为真,一假“且”即假.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2(1)已知命题p:方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+
的最小值为4.给出下列命题:
①p∧q;②p∨q;③p∧(?q);④(?p)∨(?q).
则其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2021全国甲,理7)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
探究一
探究二
探究三
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解析(1)由于Δ=(-2a)2-4×1×(-1)=4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+
<0,所以命题q为假命题,所以p∨q,p∧(?q),(?p)∨(?q)是真命题,故选C.
(2)当数列{an}满足q=1>0,a1=-1时,an=-1,Sn=-n,{Sn}不是递增数列;当{Sn}是递增数列时,n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,q>0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案(1)C (2)B
探究一
探究二
探究三
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探究三命题的否定及其应用
例3
(1)写出下列命题的否定形式:
①函数f(x)=sin
3x是周期函数;
②面积相等的三角形都是全等三角形;
③若m2+n2+p2=0,则m,n,p全为0.
(2)若p:x2-2x-3>0,q:
>0,试判断?p是?q的什么条件?
探究一
探究二
探究三
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解(1)各个命题的否定形式分别是:
①函数f(x)=sin
3x不是周期函数.
②面积相等的三角形不都是全等三角形.
③若m2+n2+p2=0,则m,n,p不全为0.
(2)(方法1)因为x2-2x-3>0?x>3或x<-1,所以?p:-1≤x≤3.
又因为
>0?x2-x-6>0?x>3或x<-2,
所以?q:-2≤x≤3.
因为{x|-1≤x≤3}?{x|-2≤x≤3},所以?p是?q的充分不必要条件.
(方法2)因为p:x2-2x-3>0?x>3或x<-1,q:
>0?x2-x-6>0?x>3或x<-2,
所以p是q的必要不充分条件,故?p是?q的充分不必要条件.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.注意区分命题的否定与命题的否命题,二者是有区别的,对于“若p,则q”形式的命题,其否命题是“若?p,则?q”,即条件和结论都进行否定,而命题的否定只对结论进行否定.
2.若p是q的充分不必要条件,即p?q,q
p,则由原命题与其逆否命题的等价性可知,?q??p,?p
?q,所以?p是?q的必要不充分条件;同理,若p是q的必要不充分条件,则?p是?q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,则?p是?q的充要条件.因此在判断?p与?q之间的关系时,可以借助下表进行恰当的转化,简化解题过程.
p是q的充分不必要条件??p是?q的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件??p是?q的充分不必要条件
p是q的充要条件??p是?q的充要条件
探究一
探究二
探究三
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规范解答
一题多变——由复合命题的真假求参数的取值范围
典例已知命题p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,命题q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究1本例题条件不变,试求p∧q为真命题时m的取值范围.
解由例题知,当p为真时,m>2,当q为真时,1探究一
探究二
探究三
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延伸探究2本例题中,若命题p改为“关于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0}”,命题q改为“函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R”.其他不变,试求a的取值范围.
解根据关于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集为{x|x<0},知00的解集为
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法总结根据命题的真假求参数范围的步骤
(1)求出命题p,q均为真时参数的取值范围;
(2)根据命题p∧q,p∨q的真假判断命题p,q的真假;
(3)根据命题p,q的真假求出参数的取值范围.
探究一
探究二
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1.下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A.28是5的倍数或是7的倍数
B.2既是方程x2-4=0的根又是方程x-2=0的根
C.函数y=ax(a>1)是增函数
D.函数y=ln
x是减函数
答案B
探究一
探究二
探究三
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2.命题“若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1”的否定是( )
A.若x2-2x-3≠0,则x≠3或x≠-1
B.若x2-2x-3≠0,则x≠3且x≠-1
C.若x2-2x-3=0,则x≠3或x≠-1
D.若x2-2x-3=0,则x≠3且x≠-1
解析因为结论为“x=3或x=-1”,其否定为“x≠3且x≠-1”,所以原命题的否定是“若x2-2x-3=0,则x≠3且x≠-1”.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
A.p∧q
B.(?p)∧(?q)
C.(?p)∧q
D.p∧(?q)
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知命题p:函数f(x)=log0.5(3-x)定义域为(-∞,3);命题q:若k<0,则函数h(x)=
在(0,+∞)上是减函数.则下列结论中错误的是 .(填序号)?
①命题“p∧q”为真;②命题“p∨(?q)”为假;③命题“p∨q”为假;④命题“(?p)∧(?q)”为假.
解析由3-x>0,得x<3,所以命题p为真,所以命题?p为假.又由k<0,易知函数h(x)=
在(0,+∞)上是增函数,所以命题q为假,所以命题?q为真.所以命题“p∧q”为假,命题“p∨(?q)”为真,命题“p∨q”为真,命题“(?p)∧(?q)”为假,故答案为①②③.
答案①②③
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1>0的解集是R;②函数f(x)=logmx是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数m的取值范围是 .?
解析若①是真命题,则m≥0,若②是真命题,则0答案{0}∪[1,+∞)(共32张PPT)
1.4 全称量词与存在量词
课标阐释
思维脉络
1.理解全称量词与存在量词的意义,能够用符号表示全称命题与特称命题.
2.掌握判断全称命题与特称命题真假的方法.
3.理解全称命题与特称命题的关系,掌握对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定的方法.
量词
命题的否定
【思考】观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m≤8;
Q:对所有的m∈R,m≤8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
答案语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
名师点拨常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称命题.
【做一做1】
(1)给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)给出下列全称命题,①负数没有对数;②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析(1)①②是全称命题,③不是全称命题,故选C.
(2)①②③为真命题,④是假命题.
答案(1)C (2)C
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:?x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题.
名师点拨常用的存在量词还有“有些”
“有一个”
“存在”
“某个”
“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是特称命题.
【做一做2】
(1)给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sin
x|≤1.其中特称命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个θ,使tan
θ=tan(90°-θ)
B.存在实数x0,使sin
x0=π2
C.对一切θ,使sin
θ=sin(180°-θ)
D.sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β
解析(1)命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”,是全称命题;而命题④是全称命题.故只有一个特称命题.
(2)只有A,B两个选项中的命题是特称命题.因为|sin
x|≤1,所以sin
x0=
不成立,故B中命题为假命题.又因为当θ=45°时,tan
θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.
答案(1)B (2)A
3.全称命题与特称命题的否定
特别提醒1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.
【做一做3】
(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )
A.存在一个三角形的内角和等于180°
B.所有三角形的内角和都等于180°
C.所有三角形的内角和都不等于180°
D.很多三角形的内角和不等于180°
(2)命题“?x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 .?
答案(1)B (2)?x0∈Z,4x0-1不是奇数
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一全称命题与特称命题的辨析
例1
判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(4)有些素数的和仍是素数;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
思路分析看命题中是否含有全称量词或存在量词,若含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)可以改写为:所有的凸多边形的外角和都等于360°,故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”,故为特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故为全称命题.
(4)含有存在量词“有些”,故为特称命题.
(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.
(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
(4)一个全称命题(或特称命题)往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称量词(或存在量词),应结合具体问题多加体会.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 (填序号).?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
答案①②③ ④
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二全称命题与特称命题的真假判断
例2
指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.
(1)?x∈N,2x+1是奇数;
(2)存在一个x0∈R,使
=0;
(3)能被5整除的整数末位数是0;
(4)有一个角α,使sin
α>1.
解(1)是全称命题,因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使
=0成立,所以该命题是假命题.
(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题.
(4)是特称命题,因为?α∈R,sin
α∈[-1,1],所以该命题是假命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
(2)要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R,3-x+1>1
B.?x∈[-1,2],x2-2x≤3
解析对任意x∈R,3-x>0,所以3-x+1>1,故A中命题为真命题;
对任意x∈[-1,2],x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,3],故B中命题为真命题;
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三全称命题与特称命题的否定
例3
写出下列各命题的否定.
(1)p:对任意的正数x,
>x-1;
(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:有些质数是奇数;
(5)t:?α,β∈R,cos(α+β)=cos
α+cos
β;
(6)u:?a,b∈R,a+b≥2
.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)?q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
(3)?r:所有三角形的内角和小于或等于180°.
(4)?s:所有的质数都不是奇数.
(5)?t:?α,β∈R,cos(α+β)≠cos
α+cos
β.
思路分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再写出相应的否定.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟写出命题的否定的基本思路
1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2-x+
≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)?q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.
(3)?r:?x∈R,x2+3x+7>0,是真命题.
∴?r是真命题.
(4)?s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题.
∵当x=-1时,x3+1=0,∴?s是假命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多变——由全称(特称)命题的真假确定参数的范围
(1)解析因为命题p是假命题,所以?p:?x∈R,2x2-3ax+9≥0为真命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)解设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),
则9x-3x-a=0?a=(3x)2-3x?a=t2-t,t∈(0,+∞),
设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究1(变条件)若将本例题(2)条件“?x0∈R”,改为“?x0∈[0,1]”,其他不变,试求实数a的取值范围.
解设3x=t,x∈[0,1],∴t∈[1,3].a=t2-t,
∴a=t2-t在[1,3]内单调递增.
∴t2-t∈[0,6].
即a的取值范围是[0,6].
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法总结应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质求解;也可以根据函数等数学知识来解决.
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.“a⊥平面α,则a垂直于平面α内任一条直线”是( )
A.否命题
B.假命题
C.全称命题
D.特称命题
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.(多选)下列命题是真命题的是( )
A.?x∈R,2x2-3x+4>0
B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0
D.?x0∈N
,使x0为29的约数
解析因为y=2x2-3x+4,开口向上,Δ=9-32<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,所以A是真命题;因为x=-1时,2x+1=-1<0,所以?x∈{1,-1,0},2x+1>0,不成立,所以B是假命题;?x0∈N,使
≤x0,当x0=0或x0=1时成立,所以C是真命题;
?x0∈N
,使x0为29的约数,例如x0=29,所以D是真命题.故选ACD.
答案ACD
探究一
探究二
探究三
当堂检测
A.[4,+∞)
B.[1,4]
C.[e,4]
D.(-∞,1]
解析若命题p是真命题,则有a≥e;若命题q是真命题,则应有16-4a≥0,解得a≤4.因为命题p,q均是真命题,所以e≤a≤4,故选C.
答案C
3.已知命题p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“?x0∈R,
-4x0+a=0”,若命题p,q均是真命题,则实数a的取值范围是( )
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共29张PPT)
第1课时 常用逻辑用语
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
填一填:① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥ ;⑦
.?
答案①逆命题 ②逆否命题 ③充分必要 ④p∧q ⑤p∨q ⑥全称命题 ⑦特称命题
知识网络
要点梳理
1.命题的概念
能够判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题真假性没有关系.
知识网络
要点梳理
3.充分条件、必要条件与充要条件
4.含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真值性的判断(见下表)
知识网络
要点梳理
5.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:形如“对M中的所有x,p(x)”的命题,用符号简记为“?x∈M,p(x)”.
知识网络
要点梳理
6.存在量词与特称命题
(1)存在量词:短语“存在一个”或“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词,并用符号“?”表示.
(2)特称命题:含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为?x0∈M,q(x0).
(4)全称命题与存在性命题的否定
命 题
命题的否定
?x∈M,p(x)
?x0∈M,?p(x0)
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,?p(x)
专题归纳
高考体验
专题一 四种命题及其真假判定
例1
已知下面四个命题:
①对于?x,若x-3=0,则x-3≤0;
②命题“设a,b是非零向量且a·b=0,则a⊥b”的逆命题;
③“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分而不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(?p)∧(?q)”为真命题.
其中所有真命题的序号是 .?
思路分析对于②③要注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
专题归纳
高考体验
自主解答①∵x-3=0?x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”为真命题.
此椭圆焦点在y轴上,反之亦成立.
所以“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件.∴题目命题为假命题.
④由p∨q为假命题,∴p与q均为假命题.
∴?p,?q为真命题,一定有(?p)∧(?q)为真,故④为真命题.
综上知,命题①②④为真命题.
答案①②④
反思感悟四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.
专题归纳
高考体验
跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:
(1)相等的两个角的正弦值相等;
(2)若x2-2x-3=0,则x=3.
解(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等,假命题;
否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等,假命题;
逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等,真命题.
(2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0,真命题;
否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3,真命题;
逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0,假命题.
专题归纳
高考体验
专题二 充分条件、必要条件的判断及应用
例2
下列各小题中,p是q的充要条件的是( )
①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
②p:
=1;q:y=f(x)为偶函数;
③p:cos
α=cos
β;q:tan
α=tan
β;
④p:A∩B=A;q:?UB??UA.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
思路分析把握充要条件的概念,会用反例来排除选项.
专题归纳
高考体验
自主解答对于①,∵y=x2+mx+m+3有两个不同零点,∴m2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6.∴p是q的充要条件,排除选项B,C.
对于②,q:取f(x)=x2,其在R上为偶函数,但
在x=0处没有意义,p是q的充分不必要条件,排除选项A.
答案D
反思感悟充分条件与必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断:即若p?q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断:p?q的等价命题是?q??p,即若?q??p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
专题归纳
高考体验
跟踪训练2已知p:x2-(a+1)x+a≤0,q:1≤x≤3,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .?
解析x2-(a+1)x+a≤0,即(x-1)(x-a)≤0,
p是q的必要不充分条件,
当a=1时,由(x-1)(x-1)≤0得x=1,此时不满足条件,
当a<1时,由(x-1)(x-a)≤0得a≤x≤1,此时不满足条件,
当a>1时,由(x-1)(x-a)≤0得1≤x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则a>3,
即实数a的取值范围是(3,+∞).
答案(3,+∞)
专题归纳
高考体验
专题三 全称命题与特称命题
例3
判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真假.
(1)有一个实数α,使得sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
(3)存在实数x,使得
=2.
思路分析首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理.
答案(1)特称命题,否定:?α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:?直线l,l没有斜率,真命题.
(3)特称命题,否定:?x∈R,
≠2,真命题.
专题归纳
高考体验
反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,否定时既要改写量词,又要否定结论.
专题归纳
高考体验
跟踪训练3下列命题为假命题是( )
A.?x0∈R,lg
x0=0
B.?x0∈R,tan
x0=1
C.?x∈R,x3>3
D.?x∈R,2x>0
解析∵当x=1时,lg
1=0,∴A是真命题.
∵当x=
时,tan
=1,∴B是真命题.
∵当x<0时,x3<0,∴C是假命题.
由指数函数的性质可知,对?x∈R,2x>0成立,∴D是真命题.
答案C
专题归纳
高考体验
专题四 转化与化归思想
例4
已知命题p:f(x)=x2+2(m-1)x+3在区间(-∞,0)上是减函数;
命题q:不等式x2-4x+1-m≤0无解.
若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数m的取值范围.
思路分析如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,进而可得实数m的取值范围.
专题归纳
高考体验
解f(x)=x2+2(m-1)x+3的图象是开口朝上,且以直线x=1-m为对称轴的抛物线,
若命题p:f(x)=x2+2(m-1)x+3在区间(-∞,0)上是减函数为真命题,
则1-m≥0,即m≤1;
命题q:“不等式x2-4x+1-m≤0无解”为真命题,
则Δ=16-4(1-m)<0,即m<-3.
如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,
若p真,q假,则-3≤m≤1,
若p假,q真,则不存在满足条件的m值,
∴-3≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[-3,1].
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反思感悟转化与化归思想的应用
所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题通过变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.
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跟踪训练4已知命题r(x):?x∈R,sin
x+cos
x>m成立;s(x):?x∈R,x2+mx+1>0成立.若r(x)为假命题,s(x)为真命题,求实数m的取值范围.
又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任意的x∈R,不等式x2+mx+1>0成立,所以Δ=m2-4<0,即-2故如果对任意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,应有
-
≤m<2.
故实数m的取值范围是[-
,2).
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考点一 含有一个量词的命题的否定
1.设命题p:?n∈N,n2>2n,则?p为( )
A.?n∈N,n2>2n
B.?n∈N,n2≤2n
C.?n∈N,n2≤2n
D.?n∈N,n2=2n
解析∵p:?n∈N,n2>2n,∴?p:?n∈N,n2≤2n.故选C.
答案C
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考点二 四种命题及相互关系
答案C
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考点三 充分、必要条件的判定
3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
解析由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
答案B
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4.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.
答案B
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考点四 命题真假的判断
5.设有下面四个命题
p1:若复数z满足
∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
;
p4:若复数z∈R,则
∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3
B.p1,p4
C.p2,p3
D.p2,p4
p2:因为i2=-1∈R,而z=i?R,故p2不正确;
p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;
p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.
答案B
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6.已知命题p:?x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.p∧?q
C.?p∧q
D.?p∧?q
解析对?x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题.又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以?q为真命题,故p∧?q为真命题.故选B.
答案B
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7.(2020全国Ⅱ,文16)设有下列四个命题:
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线l?平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .?
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③(?p2)∨p3 ④(?p3)∨(?p4)
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解析∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,
∴?p2,?p3为真命题,
∴p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,(?p2)∨p3为真命题,(?p3)∨(?p4)为真命题.
故填①③④.
答案①③④
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8.(2021全国乙,理3)已知命题p:?x∈R,sin
x<1;命题q:?x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q
B.?p∧q
C.p∧?q
D.?(p∨q)
解析因为当x≠2kπ+
(k∈Z)时,sin
x<1,所以命题p为真命题;
因为|x|≥0,而y=ex为R上的增函数,所以e|x|≥e0=1,故命题q为真命题.
所以p∧q为真命题;?p∧q为假命题;p∧?q为假命题;?(p∨q)为假命题.
答案A(共19张PPT)
习题课——充分条件与必要条件的综合应用
课标阐释
思维脉络
1.掌握探求一个命题成立的充分条件、必要条件、充要条件的方法与步骤.
2.掌握利用充分条件、必要条件求参数取值范围的一般方法.
充分条件与必要
条件的综合应用
1.若A是B的充分不必要条件,则A是条件,B是结论,且A?B,但B
A;
若A是B的必要不充分条件,则A是条件,B是结论,且B?A,但A
B;
若A是B的充要条件,则A是条件,B是结论,且A?B,B?A.
2.若A的充分不必要条件是B,则B是条件,A是结论,且B?A,但A
B;
若A的必要不充分条件是B,则B是条件,A是结论,且A?B,但B
A;
若A的充要条件是B,则B是条件,A是结论,且A?B,B?A.
3.若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q中相应变量的取值集合分别记为A,B,那么有以下结论:
(1)若A?B,则p是q的充分不必要条件;
(2)若A?B,则p是q的充分条件;
(3)若A?B,则p是q的必要不充分条件;
(4)若A?B,则p是q的必要条件;
(5)若A=B,则p是q的充要条件;
(6)若A不包含于B,B不包含于A,则p是q的既不充分也不必要条件.
【做一做1】
设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
解析首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x>2”),p是q的必要不充分条件,即p
q且q?p,显然只有A满足.
答案A
【做一做2】
已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=-
B.x=-1
C.x=5
D.x=0
解析因为a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b,
所以ab=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2=2x=0,即x=0.
答案D
【做一做3】
设a∈R,则“a>1”是“|a|>1”的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)?
解析解绝对值不等式“|a|>1”,得a>1或a<-1,
又“a>1”是“a>1或a<-1”的充分不必要条件,
即“a>1”是“|a|>1”的充分不必要条件,
答案充分不必要
探究一
探究二
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探究一充分条件、必要条件、充要条件的探求
例1
(1)“x2-4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A.0B.0C.x>0
D.x<4
(2)不等式x(x-2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A.x∈(0,2)
B.x∈[-1,+∞)
C.x∈(0,1)
D.x∈(1,3)
解析(1)由x2-4x<0得0(2)由x(x-2)<0得0答案(1)B (2)B
探究一
探究二
当堂检测
延伸探究将本例(1)改为“x2-4x<0”是“(x+1)·(x-5)≤0”的什么条件?
解由x2-4x<0,得0反思感悟探求充分条件与必要条件的解题策略
1.探求一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
探究一
探究二
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变式训练1(1)下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为 ;可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为 .?
(2)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是 .?
解析(1)由x2<1,得-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
答案(1)②③ ①⑤ (2)m=-4或m=0
探究一
探究二
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探究二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例2
已知p:|x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解由|x-4|≤6,解得-2≤x≤10,
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),整理得[x-(1-m)]·[x-(1+m)]≤0,
解得1-m≤x≤1+m,
又p是q的充分不必要条件,
∴
∴m≥9或m>9.
∴实数m的取值范围是[9,+∞).
探究一
探究二
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反思感悟根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
条件类别
集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件
M?N
p是q的必要不充分条件
M?N
p是q的充要条件
M=N
p是q的充分条件
M?N
p是q的必要条件
M?N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究一
探究二
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变式训练2已知p:(x-m)2>3(x-m),q:x2+3x-4<0,且p是q成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-7)∪(1,+∞)
B.(-∞,-7]∪[1,+∞)
C.[-7,1]
D.(-7,1)
解析由题意知,p:x>m+3或xm+3或x答案B
探究一
探究二
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思维辨析
一题多解——充要条件的证明
典例已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:
的充要条件是xy>0.
探究一
探究二
当堂检测
方法总结
充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件,既要证明命题“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(2)证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.
探究一
探究二
当堂检测
1.“a+b>2c”的一个充分不必要条件是( )
A.a>c或b>c
B.a>c或bC.a>c且bD.a>c且b>c
解析由a>c且b>c可推得a+b>2c,但当a+b>2c时,不一定能推得a>c且b>c,故选D.
答案D
探究一
探究二
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2.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )
答案A
探究一
探究二
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3.若“xA.a≥3
B.a≤-1
C.-1≤a≤3
D.a≤3
解析因为x2-2x-3≥0,所以x≥3或x≤-1.又因为“x答案B
探究一
探究二
当堂检测
4.使得“2x>
”成立的一个充分条件是 .?
探究一
探究二
当堂检测
5.已知不等式|2x+3|<1的解集为集合A,不等式
x2-(2a+2)x+a2+2a≤0的解集为集合B,设p:x∈A,q:x∈B,若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解由x2-(2a+2)x+a2+2a≤0,得a≤x≤a+2,
故B={x|a≤x≤a+2}.
解不等式|2x+3|<1,得-2故A={x|-2因为q是p的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件.
故实数a的取值范围是[-3,-2].