(共35张PPT)
第二章
圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
课标阐释
思维脉络
1.了解曲线与方程的对应关系.
2.理解曲线的方程、方程的曲线的概念.
3.掌握求曲线的方程的一般步骤与方法.
曲线与方程
【思考1】到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么?
答案y=±x.在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0,即(x0,y0)是方程y=±x的解;反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的解,那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.
【思考2】曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明.
答案不能.还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心,以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2+y2=4”,曲线C上的点都满足方程,但曲线C的方程不是x2+y2=4.
1.曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地,在直角坐标系中,如果曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.
名师点拨(1)定义中的条件①阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性),即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外;条件②阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性),即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏.
(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形,其实质是曲线C的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对应关系.曲线的性质完全反映在它的方程上,方程的性质又反映在它的曲线上.
【做一做1】
已知曲线C的方程是f(x,y)=0,则下列结论错误的是( )
A.不在曲线C上的点的坐标可以满足方程f(x,y)=0
B.曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0
C.坐标不满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上
D.不在曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0
解析满足方程是f(x,y)=0的解的对应点都在曲线C上,曲线C上的点的坐标都满足方程,则曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则不在曲线C上的点的坐标不可能满足方程f(x,y)=0,故A错误.故选A.
答案A
【做一做2】
方程y=|x|所表示的曲线为( )
A.一条直线
B.两条直线
C.一条射线
D.两条射线
解析由y=|x|可得y=x(x≥0)或y=-x(x<0),因此该方程所表示的曲线为两条射线.
答案D
【做一做3】
判断正误
(1)若点P的坐标是方程f(x,y)=0的解,则点P在方程f(x,y)=0的曲线上.( )
答案(1)√ (2)×
2.求曲线方程的一般步骤
求曲线的方程,一般有如下步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
特别提醒1.一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当补充说明.
2.在求动点轨迹方程时,若题目的已知条件中,已经出现点的坐标、方程等,则说明已经建立了直角坐标系,这时可省略步骤(1).
3.在求轨迹方程时,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.
【做一做4】
到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为( )
A.|x|-|y|=3
B.|y|-|x|=3
C.|x|-|y|=±3
D.x-y=±3
解析设动点为(x,y),则它到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|,依题意有||y|-|x||=3,即|x|-|y|=±3.
答案C
3.坐标法与解析几何研究的对象
(1)借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫做坐标法.
(2)由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是:
①根据已知条件,求出表示曲线的方程;
②通过曲线的方程,研究曲线的性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一对“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的理解
例1
判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)到x轴距离为3的点的轨迹方程为y=-3;
思路分析根据曲线的方程与方程的曲线的定义进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
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解(1)错误.因为到x轴距离为3的点的轨迹方程为|y|=3,不满足完备性.
(2)错误.到原点的距离等于4的点的轨迹方程应为x2+y2=16,不满足完备性.
(3)正确.由方程
(y+2)=0,得x=1或y+2=0(x≥1),因此该方程表示一条直线x=1或一条射线y+2=0(x≥1).
(4)错误.点(4,0)在方程x2+y2=16(x≥0)表示的曲线上,但点(-2,2
)不在该曲线上.
探究一
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反思感悟定义法判断曲线的方程与方程的曲线
判断“方程是不是指定曲线的方程”“曲线是不是所给方程的曲线”时,主要依据“曲线的方程与方程的曲线”定义中的两个条件,二者缺一不可,即一方面要证明曲线上任意一点的坐标都是方程的解,另一方面,又要证明以这个方程的解为坐标的点都在这条曲线上.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;
(2)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0;
(3)方程(x+y-1)
=0表示的是一条直线和一个圆.
解(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确.
(2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3≤y≤0),故结论错误.
(3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y2≥4),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.
探究一
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探究二曲线与方程关系的应用
例2
已知方程x2+(y-1)2=10.
思路分析(1)将点的坐标代入验证即可;(2)将点的坐标代入曲线方程求解即可.
探究一
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延伸探究本例中曲线方程不变,若点N(a,2)在此圆外,求实数a的取值范围.
解结合点与圆的位置关系,得
a2+(2-1)2>10,即a2>9,
解得a<-3或a>3,
故所求实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(3,+∞).
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反思感悟曲线方程的应用
1.判断某个点是不是曲线上的点,就是检验这个点的坐标是不是该曲线的方程的解,若适合方程,就说明这个点在该曲线上;若不适合,就说明点不在该曲线上.
2.求两条曲线的交点坐标,就是联立两条曲线的方程,构成方程组,然后解方程组,方程组的解就是交点的坐标,方程组解的个数就是两曲线交点的个数.
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变式训练2(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.以上都不对
(2)已知方程xy+3x+ky+2=0表示的曲线经过点(2,-1),则k的值等于 .?
解析(1)联立得方程组
解得交点为(-4k,-3k),代入圆的方程中,
即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=±1.
(2)依题意有2×(-1)+3×2+k(-1)+2=0,解得k=6.
答案(1)C (2)6
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探究三直接法求动点的轨迹方程
例3
已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.
思路分析设出点M的坐标,利用两点间距离公式及点到直线的距离公式建立等式即可.
解设动点M的坐标为(x,y),且点M到x轴的距离为d,则d=|y|.
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反思感悟直接法在求轨迹方程中的应用
1.如果题设条件有明显的等量关系或者可运用平面几何知识推导出等量关系,则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程,这种方法叫做直接法.
2.求动点的轨迹方程时,如果已知条件中没有坐标系,则应首先建立坐标系,建立坐标系的方式不同,得到的轨迹方程可能也不同.
探究一
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变式训练3一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.
解设动点P坐标为(x,y),
则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|,到点A的距离
化简得3x2+4y2=48.
故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.
探究一
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探究四代入法(相关点法)求动点的轨迹方程
例4
已知圆O:x2+y2=4,点A(-3,5),点M在圆O上移动,且点P满足
,求点P的轨迹方程.
思路分析点P与点M有关,点M是点P的相关点,只需找到点P与点M的坐标之间的关系即可求得点P的轨迹方程.
探究一
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探究一
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反思感悟代入法在求轨迹方程中的应用
1.代入法(相关动点法)求轨迹方程:在一些问题中,动点满足的条件不宜直接用等式列出,但是动点随着另一动点(称之为相关点)的运动而变化.如果相关点所满足的条件是明显的,这时,我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程,即可求得动点的轨迹方程,这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关动点法).
探究一
探究二
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2.代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤:
探究一
探究二
探究三
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变式训练4已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设直线m与y轴的交点为N,若向量
，求动点Q的轨迹方程.
解设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点N的坐标为(0,y0).
探究一
探究二
探究三
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思维辨析
一题多解——用直接法(定义法)求曲线方程
典例在Rt△ABC中,斜边长是定长2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
思路分析以线段AB的中点为原点,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
方法一(直接法):利用|AC|2+|BC|2=|AB|2求解.
方法二(定义法):顶点C在以AB为直径的圆上.
解方法一(直接法):取AB边所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,
过O与AB垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,
探究一
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探究四
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则A(-a,0),B(a,0),设动点C为(x,y).
由于|AC|2+|BC|2=|AB|2,
由于当x=±a时,点C与点A或点B重合,故x≠±a.
所以所求的点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
方法二(定义法):建立平面直角坐标系同方法一
因为AC⊥BC,则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点),因此顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
探究一
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探究三
探究四
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1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )
A.两条直线
B.一条直线和一条曲线
C.两个点
D.圆
故方程表示两个点(-1,-1),(1,1).故选C.
答案C
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2.与直线3x+2y-4=0和3x+2y+8=0距离相等的点的轨迹是( )
A.直线3x+2y+2=0
B.直线3x+2y-2=0
C.直线3x+2y±2=0
D.以上都不对
解析∵直线3x+2y-4=0平行于直线3x+2y+8=0,∴到两平行直线距离相等的点的轨迹是与两直线平行的直线,
∴可设该直线方程为3x+2y+n=0,由题意可得
,解得n=2,
∴直线方程为3x+2y+2=0,故选A.
答案A
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3.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
解析设点P坐标为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1),
所以x1=2x-3,y1=2y.
因为(x1,y1)在曲线x2+y2=1上,
即(2x-3)2+4y2=1.
答案C
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4.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-
,则动点P的轨迹方程为( )
A.x2-3y2=4
B.x2+3y2=4
C.x2-3y2=4(x≠±1)
D.x2+3y2=4(x≠±1)
答案D
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当堂检测(共33张PPT)
2.2.1 椭圆及其标准方程
课标阐释
思维脉络
1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决问题.
2.掌握椭圆的标准方程,了解其推导过程.
3.会用待定系数法求椭圆的标准方程.
椭圆及其标准方程
【思考1】给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?
答案在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距.
名师点拨1.由椭圆的定义知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},其中2a>|F1F2|.
2.在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.
【做一做1】
(1)下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上)?
①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=
的点P的轨迹为椭圆;
②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;
③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
解析(1)①中,因为F1(-1,0),F2(1,0),可得|F1F2|=2,因为
<2,所以点P的轨迹不存在;
②中,因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;
③中,到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即x=0.
F1(0,-2)与F2(0,2)的距离之和等于10,且|F1F2|=4<10,所以根据椭圆的定义知点P的轨迹是以F1(0,-2)与F2(0,2)为焦点的椭圆.
答案(1)② (2)椭圆
【思考2】若两定点A,B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?
答案以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以
2.椭圆的标准方程
名师点拨1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
【做一做2】
(1)椭圆
=1的一个焦点为(0,1),则m= .?
(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为 .?
解析(1)∵椭圆的一个焦点为(0,1),∴焦点在y轴上,∴4-m=1,解得m=3.
3.点与椭圆的位置关系
(1)根据椭圆的定义判断点M(x0,y0)与椭圆的位置关系如下:
|MF1|+|MF2|<2a?点M在椭圆内部;
|MF1|+|MF2|=2a?点M在椭圆上;
|MF1|+|MF2|>2a?点M在椭圆外部.
A.点在椭圆C上
B.点在椭圆C内
C.点在椭圆C外
D.无法判断
答案B
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探究一对椭圆定义的理解
例1
点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.
思路分析根据椭圆的定义进行分析即可,特别要注意对定义中的常数的限制条件的考查.
解方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64,圆心为(3,0),半径r=8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.
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延伸探究若将本例中圆C的方程改为:x2+y2-6x=0且点P(-3,0)为其外一定点,动圆M与已知圆C相外切且过P点,求动圆圆心M的轨迹方程.
解设M(x,y),由题意可知,圆C:(x-3)2+y2=9,
圆心C(3,0),半径r=3.
由|MC|=|MP|+r,故|MC|-|MP|=r=3,
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反思感悟椭圆定义的应用
(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.
(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
(3)常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
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探究二对椭圆标准方程的理解
A.(-9,25)
B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25)
D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .?
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解得-9即实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).
(2)由题意知m≠0,将椭圆方程化为
探究一
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反思感悟根据椭圆方程求参数的取值范围
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答案(-4,0)∪(0,3)
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探究三求椭圆的标准方程
例3
根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
思路分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
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因为不满足a>b>0,所以无解.
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反思感悟椭圆方程的求法
1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:
(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.
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变式训练2根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.
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思维辨析
求与椭圆有关的轨迹问题
典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.
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方法总结求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.
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1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.
答案A
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2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )
答案C
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3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)和(0,3),且椭圆经过点(0,4),则该椭圆的标准方程是( )
解析∵椭圆的焦点在y轴上,
答案B
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4.已知点(3,2)在椭圆
=1(m>0,n>0)上,则点(-3,3)与椭圆的位置关系是 .?
答案点在椭圆外
探究一
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探究三
当堂检测
5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,
)的椭圆的标准方程.(共32张PPT)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课标阐释
思维脉络
1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质.
2.能够利用椭圆的标准方程画出椭圆的图形.
3.掌握根据椭圆的几何性质解决有关问题的方法.
椭圆的简单几何性质
→应用
【思考】观察椭圆
=1(a>b>0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
答案(1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;
(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;
(3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).
椭圆的几何性质
名师点拨1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等.
2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:
(1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;
(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;
(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.
【做一做1】
已知椭圆C:
+x2=1,下列说法正确的是( )
A.焦点坐标为(±2,0)
B.长轴长为4
C.短轴长为1
答案B
【做一做2】
若点P(m,n)是椭圆
=1上任意一点,则m的取值范围是 ,n的取值范围是 .?
【做一做3】
椭圆4x2+9y2=36的离心率为( )
答案D
【做一做4】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)椭圆
=1(a>b)的长轴长为a,短轴长为b.( )
(2)椭圆的离心率越大,则椭圆越接近于圆.( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上,则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( )
答案(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一根据椭圆的标准方程研究其几何性质
例1
求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟确定椭圆几何性质的基本步骤
(1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;
(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;
(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;
(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1已知椭圆C1:
=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二根据椭圆的几何性质求其标准方程
例2
根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)椭圆过点(3,0),离心率e=
;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
思路分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入即可.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)设椭圆的标准方程为
=1(a>b>0).
如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,
OF为斜边A1A2的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,
∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.
故所求椭圆的标准方程为
=1.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟根据椭圆的性质求方程
1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
(3)写出标准方程.
2.在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三椭圆的离心率问题
例3
(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.
(2)椭圆
=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c,求椭圆的离心率.
思路分析(1)依题意先建立c与b的不等式,再转化为a,c的不等式,即可求得离心率的取值范围;(2)根据题意,建立参数a,b,c的方程求解,注意椭圆定义的灵活运用.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟离心率的求法
(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式进行求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3若直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆离心率为( )
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多变——求椭圆的离心率
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.
解在△PF1F2中,
∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,
∴∠F1PF2=60°,
设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2(变条件,变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知椭圆9x2+4y2=36,则其长轴长为( )
A.2
B.4
C.6
D.9
故a2=9,b2=4,
∴椭圆的长轴为2a=6,故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为18,则椭圆C的方程为( )
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.已知椭圆x2+my2=1的离心率为
,求m的值及椭圆的长轴长.(共29张PPT)
2.3.1 双曲线及其标准方程
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握双曲线的定义.
2.掌握双曲线的标准方程,了解其推导过程.
3.会用待定系数法求双曲线的标准方程.
双曲线及其标准方程
【思考1】若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?
答案如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的
焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
名师点拨理解双曲线的定义,应重点抓住它与椭圆的不同点:
(1)双曲线的定义中是动点到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数,而不是差等于非零常数,否则轨迹只能为双曲线的某一支,而不是完整的双曲线,这一点不同于椭圆.
(2)双曲线的定义中,常数应小于两个已知定点间的距离且不等于0,否则,若常数等于|F1F2|,则轨迹变为两条射线;若常数等于0,则轨迹为线段F1F2的垂直平分线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在,这一点也与椭圆不同.
【做一做1】
(1)给出下列条件,其中动点轨迹为双曲线的是( )
A.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于8
B.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差等于6
C.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于4
D.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之和等于4
(2)动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
解析(2)因为|PM|-|PN|=2,且|MN|=2,所以点P在线段MN的延长线上.
答案(1)C (2)D
【思考2】双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?
答案双曲线标准方程中,b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b大小不确定.
2.双曲线的标准方程
名师点拨1.双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.
2.两种双曲线
=1(a>0,b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
3.双曲线的焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正,这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.
【做一做2】
(1)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),P为双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=4,则双曲线的标准方程为( )
解析(1)由双曲线的定义可得c=3,2a=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,且焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为
=1.故选A.
(2)由题意,双曲线
=1的焦点在x轴上,焦距为8,可得m>0且7+m=42,解得m=9.
答案(1)A (2)9
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一双曲线定义的应用
例1
若F1,F2是双曲线
=1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离.
(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
思路分析(1)直接利用定义求解.
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,
即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=
×|PF1|·|PF2|sin
∠F1PF2求得面积.
(2)利用公式S=
×|F1F2|×|yP|求得面积.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是( )
A.||PF1|-|PF2||=5
B.||PF1|-|PF2||=6
C.||PF1|-|PF2||=7
D.||PF1|-|PF2||=0
解析A中,因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;
B中,因为||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点);
C中,因为||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在;
D中,因为||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,所以动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二对双曲线标准方程的理解
例2
给出曲线方程
=1.
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟双曲线方程的应用
给出方程
=1,其表示双曲线的条件是mn>0,表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m>0,n>0,表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m<0,n<0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
(2)若方程x2sin
α-y2cos
α=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三求双曲线的标准方程
例3
根据下列条件,求双曲线的标准方程:
思路分析(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.
(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.
(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟1.求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;
(2)求出a2,b2的值.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
解(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.
∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.
∵焦点在x轴上,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多变——双曲线定义的应用
典例已知点F1,F2分别是双曲线
=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.试求△F1PF2的面积.
解因为点P是双曲线左支上的点,
所以|PF2|-|PF1|=6,
两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若本例条件“|PF1|·|PF2|=32”改成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
解由|PF1|∶|PF2|=2∶5,
|PF2|-|PF1|=6,可知|PF2|=10,|PF1|=4,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
解析因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,为一条射线.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
故m2=1,则m=1,
故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知方程
=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)
B.(-2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-2)∪(-2,0)
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
A.3
B.6
C.9
D.12
点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.设双曲线与椭圆
=1有共同的焦点,且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4,求双曲线的标准方程.(共34张PPT)
2.3.2 双曲线的简单几何性质
课标阐释
思维脉络
1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.
2.能够利用双曲线的标准方程画出双曲线的图形.
3.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.
双曲线的几何性质
→应用
【思考】观察下面的图形:(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制?
(2)是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点?
答案(1)有限制,因为
≥1,即x2≥a2,所以x≥a或x≤-a.
(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
双曲线的几何性质
名师点拨1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为
=λ(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.
【做一做1】
若点M(x0,y0)是双曲线
=1上支上的任意一点,则x0的取值范围是 ,y0的取值范围是 .?
解析因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.
答案(-∞,+∞) [2,+∞)
答案2
【做一做3】
已知双曲线
=1(a>0,b>0)的一个焦点为(3,0),一个顶点为(1,0),那么其渐近线方程为 .?
解析设双曲线的焦距为2c,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一双曲线的几何性质
例1
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写出各个结果.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若将方程9y2-4x2=-36改为9y2-4x2=36,其结果又将如何?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求双曲线的几何性质的基本思路
1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,则应先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出它的几何性质.
2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上,以免写错.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是( )
答案(1)D (2)C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二根据双曲线几何性质求其标准方程
例2
求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(
,2);
(2)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为
,且经过点M(-3,2
);
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧
⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的
倍,且一个顶点的坐标为(0,2);
(2)双曲线的渐近线方程为y=±
x,且经过点A(2,-3).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三双曲线的渐近线与离心率问题
例3
(1)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=
,则双曲线的离心率等于( )
(2)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于
,则其渐近线方程为 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟双曲线的离心率与渐近线的求法及其关系
1.求双曲线的离心率,就是求a和c的值或a和c的关系,然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,很难或不可能求出a和c的值,只能将条件整理成关于a和c的关系式,进而求得
的值,其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,化简为参数a,c的关系式进行求解.
2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助
进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3(1)过双曲线
=1(a>0,b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于点E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为( )
(2)已知直线2x-y+6=0过双曲线
=1(m>0)的一个焦点,则双曲线的渐近线方程为 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思想方法
数学方法——双曲线离心率的常见求法
典例(1)若双曲线
=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
(2)已知点A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则双曲线E的离心率为( )
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案(1)D (2)D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法总结求双曲线离心率的方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案(1)B (2)2+
探究一
探究二
探究三
当堂检测
A.(±4,0)
B.(0,±4)
C.(±5,0)
D.(0,±5)
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.若双曲线
=-1的渐近线方程为y=±2x,则实数m等于 .?
答案16
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共35张PPT)
2.4.1 抛物线及其标准方程
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握抛物线的定义.
2.理解并掌握抛物线的标准方程.
3.掌握求抛物线标准方程的方法.
4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.
抛物线及其标准方程
【思考1】平面内,到两定点距离相等的点的轨迹是什么?
答案连接两定点所得线段的垂直平分线.
【思考2】平面内,到两个确定平行直线l1,l2距离相等的点的轨迹是什么?
答案一条直线.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
特别提醒抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求这个定点不能在定直线上,否则轨迹就不再是一条抛物线,而是一条直线(过定点且与定直线垂直的直线).
【思考3】二次函数解析式是什么?其图象是什么?
答案二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),它的图象是抛物线.
【做一做1】
若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.
答案D
2.抛物线的标准方程
名师点拨要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).
特别提醒抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0.
【做一做2】
(1)抛物线x2=
y的开口向 ,焦点坐标为 ,准线方程是 .?
(2)若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为 ,焦点坐标为 .?
【做一做3】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( )
(3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的参数p=-2.( )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
例1
求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.
解(1)由方程y2=-12x知,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,2p=12,所以p=6,
=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为x=3.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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A.y=4
B.y=8
C.y=-4
D.y=-8
答案(1)C (2)C
探究一
探究二
探究三
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探究二求抛物线的标准方程
例2
根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为y=
;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;
(3)经过点(-3,-1);
(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
(3)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=
;
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=
.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,
=3,∴p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,
=4,∴p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.
∴所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系.
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数.
(3)注意p与
的几何意义.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究将本例(4)改为焦点为圆x2+y2=4与坐标轴的交点,抛物线方程为什么?
解由题意可知抛物线的焦点坐标分别为(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2),故
=2,p=4,所以抛物线方程分别为y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);
(2)过点(4,-8);
(3)焦点在x-2y-4=0上.
解(1)方法一:设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)代入方程,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)方法一:设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),将点(4,-8)代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)代入x2=-2p'y,得p'=1.所以所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.
方法二:当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n≠0),又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,抛物线的方程为y2=16x;
当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m≠0),又抛物线过点(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.
综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
所以所求抛物线的焦点坐标为(0,-2)或(4,0).
当焦点为(0,-2)时,由
=2,得p=4,所以所求抛物线方程为x2=-8y;当焦点为(4,0)时,由
=4,得p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x.
综上所述,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.
探究一
探究二
探究三
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探究三利用抛物线的定义解决轨迹问题
例3
已知动点M(x,y)满足5
=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.直线
D.抛物线
到定直线3x-4y+2=0的距离,因此动点M(x,y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x-4y+2=0的距离,且定点(1,0)不在定直线3x-4y+2=0上,故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点,以3x-4y+2=0为准线的抛物线.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .?
解析设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有
=2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.
答案y2=8x
探究一
探究二
探究三
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思维辨析
抛物线定义的应用
典例(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
(2)已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,对于定点A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的P点坐标.
(3)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
思路分析(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程,再求m和准线方程.
(2)利用抛物线的定义,把|PF|转化为到准线的距离.
(3)利用|MC|的长度比点M到直线y=2的距离大1求解.
探究一
探究二
探究三
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解(1)设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),由
+3=5得p=4,因此抛物线方程为x2=-8y,其准线方程为y=2,由m2=24得m=±2
.
(2)如图,作PN⊥l于N(l为准线),连接PF,PA,作AB⊥l于B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,
当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号.
∴(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5.
此时yP=2,代入抛物线得xP=1,
∴P(1,2).
(3)设动圆圆心为M(x,y),半径为r,
则由题意可得M到圆心C(0,-3)的距离与直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
规律方法抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练(1)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(1)解析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,
∴点P到准线x=-
的距离d=|PF|,
易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部,
连接AF,交y2=2x于点P',
欲使所求距离之和最小,只需A,P',F共线,
答案A
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,可得xM=9,则点M到y轴的距离是9.故选D.
答案D
探究一
探究二
探究三
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2.P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则p=( )
A.2
B.4
C.4或9
D.2或18
解析由题意可得,抛物线y2=2px(p>0)的准线l的方程为x=-
,设点P(x,y),又点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,
即p的值分别为18或2.故选D.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.x2=8y
D.x2=-8y
解析依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,AF的中点坐标为(2,2),则C的方程为 .?
解析因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,
答案y2=8x
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.若抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2
)到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.
解设焦点为F(a,0),依题意有|PF|=
=6,即a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.(共27张PPT)
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课标阐释
思维脉络
1.掌握抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题.
3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程的思想解决它们之间的关系.
抛物线的简单几何性质
【思考】观察下列图形,思考以下问题:
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?
(2)根据图形及抛物线方程y2=2px(p>0)如何确定横坐标x的范围?
答案(1)抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心.
(2)由抛物线y2=2px(p>0)有
所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
1.抛物线的简单几何性质
名师点拨1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.
2.抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
【做一做1】
(1)顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A.x2=16y
B.x2=8y
C.x2=±8y
D.x2=±16y
(2)若点(a,b)是抛物线x2=2py(p>0)上的一点,则下列点一定在抛物线上的是( )
A.(a,-b)
B.(-a,b)
C.(-a,-b)
D.(b,a)
解析(1)由已知得
=4,2p=16,所以抛物线方程为x2=±16y.
(2)抛物线x2=2py关于y轴对称,所以点(a,b)关于y轴的对称点(-a,b)一定在抛物线上.
答案(1)D (2)B
2.直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
特别提醒直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行.
【做一做2】
(1)已知曲线y=x2-x+2与直线y=x-m有两个交点,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.(-∞,-1)
D.(-∞,1)
(2)过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析(1)依题意,方程组
有两组实数解,
即方程x2-x+2=x-m有两个不相等的实数根,
将方程整理为x2-2x+m+2=0,
所以Δ=4-4(m+2)>0,
解得m<-1.故选C.
(2)易知点(0,1)在抛物线y2=2px(p>0)外,过(0,1)可作抛物线的两条切线,过(0,1)与对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点,所以共有3条.故选D.
答案(1)C (2)D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一由抛物线的几何性质求标准方程
例1
抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解椭圆的方程可化为
=1,其短轴在x轴上,
∴抛物线的对称轴为x轴,
∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即
=3,∴p=6.
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,
其准线方程分别为x=-3或x=3.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟抛物线各元素间的关系
抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为
.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究抛物线的顶点在原点,对称轴重合于双曲线9x2-4y2=36虚轴所在的直线,其他条件不变,抛物线的方程如何?
解双曲线9x2-4y2=36的虚轴为y轴,
∴抛物线的对称轴为y轴,
∴设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即
=3,∴p=6.
∴抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是
( )
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二直线与抛物线的位置关系
例2
已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:
(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?
思路分析将直线方程与抛物线方程联立,消去y得到关于x的方程后,讨论根的情况,得到公共点的个数情况.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
当k≠0时,方程(
)是一个一元二次方程,且Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k,
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交;
②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
研究直线与抛物线的位置关系问题主要采用代数方法,即当直线斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,抛物线的方程为y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
解析设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1,所以-1≤k≤1.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三抛物线在实际问题中的应用
例3
如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O'P=1
m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2
m,点P距抛物线的对称轴1
m,则水池的直径至少应设计多少米?(精确到1
m)
思路分析以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得点P的坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,设抛物线与水面的交点为B,则由点B的纵坐标求出点B的横坐标即可得解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P(-1,-1)在抛物线上,代入得p=
.
故得抛物线方程为x2=-y.
反思感悟坐标法解决与抛物线有关的实际问题
解决实际问题时,首先找到合适的数学模型,把它转化为数学问题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
m,水面宽为4
m.水位下降1
m后,水面宽为
m.
解析建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±
,故水面宽为2
m.
答案2
探究一
探究二
探究三
当堂检测
思维辨析
一题多解——与中点弦有关的问题
典例过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,弦AB恰被点Q所平分,则AB所在直线的方程为 .?
思路分析方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),用点差法求kAB;方法二:设直线AB的方程,建立方程求解.
解析(1)方法一:设以Q为中点的弦AB的端点坐标为
∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2),
∴所求弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),
即4x-y-15=0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
方法二:设弦AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1.联立
消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,
由根与系数的关系得y1+y2=
.
又y1+y2=2,∴k=4.
∴所求弦AB所在直线的方程为4x-y-15=0.
答案4x-y-15=0
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,则C的焦点坐标为( )
解析∵焦点F到准线l的距离为2,∴p=2.抛物线方程为y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.直线y=2x+4与抛物线y=x2交于A,B两点,则△ABO的面积为( )
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知点P(m,m)(m≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,且点P到该抛物线焦点的距离为30,则p=( )
A.10
B.12
C.20
D.30
解析因为点P(m,m)(m≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,
所以m2=2pm,即m=2p.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.如图所示,等边三角形OAB的边长为8
,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上,求抛物线E的方程.(共34张PPT)
习题课——抛物线的综合问题及应用
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用抛物线的定义解决有关问题的方法.
2.掌握抛物线焦点弦问题的求解方法.
3.掌握抛物线中的定点与定值问题的方法.
抛物线综合问题及应用
1.抛物线定义的应用
若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离.
2.抛物线的焦半径与焦点弦
(1)抛物线的焦半径
抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:
(2)抛物线的焦点弦
过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
①|AB|=x1+x2+p;
②AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短;
③A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即
⑤以AB为直径的圆必与准线相切.
【做一做1】
抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A.20
B.8
C.22
D.24
解析设P(x0,12),则x0=18,所以|PF|=x0+
=20.
答案A
【做一做2】
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若F是线段AB的中点,则|AB|=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由题可知,线段AB为抛物线的通径,
所以|AB|=2p=4,故选D.
答案D
【做一做3】
若过抛物线C:y2=4x的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,则线段AB的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
所以直线AB的方程为y=2x-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=3,|AB|=x1+x2+2=5.故选C.
答案C
【做一做4】
若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2-
=1的右焦点重合,则实数p的值为 .?
答案4
【做一做5】
已知点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,点A(3,0),则|PA|的最小值为 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一利用抛物线的定义解决问题
例1
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于( )
答案B
反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
例2
已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.
思路分析根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图所示,作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,
当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立.
所以(|PA|+|PF|)min
此时yP=2,代入抛物线得xP=2,则点P的坐标为(2,2).
故|PA|+|PF|的最小值为
,此时点P的坐标为(2,2).
反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”,使问题获解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2定点M
与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为( )
解析如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为
所以点P的坐标为(2,2).
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二抛物线的焦点弦问题
例3
已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=
p,求AB所在直线的方程.
思路分析依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求抛物线焦点弦的长度的两种方法
一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如果AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.
(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;
(1)解依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).
设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y整理得x2-3x+1=0,
所以x1+x2=3,x1x2=1.
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)证明设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三与抛物线有关的最值问题
例4
在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若将抛物线方程改为x2=-2y,其他条件不变,结果又将如何?
反思感悟与抛物线有关的最值问题的解决方法
解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练4已知点P是抛物线y2=4x上任意一点,点Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为 .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
规范解答
抛物线中的定点与定值问题
典例如图所示,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【审题策略】
欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0=
,写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
【规范展示】
设直线AB的斜率为k(k≠0).
因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k≠0).
又直线AB的方程是y=k(x-4)+2.
消去y整理得,
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
【答题模板】
第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系.
?
第2步:写出AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标.
?
第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标.
?
第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果.
?
第5步:得出结论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)不能根据AB与AC两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程;
(2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的坐标;
(3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C坐标;
(4)化简整理出现错误.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.抛物线x2=2py(p>0)上一点(4,1)到其焦点的距离d=( )
A.4
B.5
C.7
D.8
解析将点(4,1)代入x2=2py,得p=8,则由抛物线定义得到d=1+
=5.故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,|AB|=6,弦AB中点P的横坐标xP=2,则该抛物线的方程为( )
A.y2=2x
B.y2=4x
C.y2=6x
D.y2=8x
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线定义知,x1+x2+p=6,
故抛物线方程为y2=4x.故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= .?
解析|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
答案8
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析抛物线标准形式为x2=4y,焦点坐标(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为y=kx+1,代入抛物线方程得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,求证:直线AB经过一个定点.(共26张PPT)
习题课——双曲线的综合问题及应用
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法.
2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法.
双曲线的综合问题及应用
1.双曲线中的焦点三角形问题
双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,又|F1F2|=2c,则
(1)定义:|r1-r2|=2a.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.
【思考】直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切,那么,直线与双曲线相切,能用这个方法判断吗?
答案不能.
2.直线与双曲线的位置关系
(1)判定方法
直线:Ax+By+C=0,双曲线:
=1(a>0,b>0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0.
(2)联立直线方程与双曲线方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.
(3)直线与双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双曲线相切,也可能相交,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.
位置关系
公共点个数
判定方法
相交
2个或1个
m=0或
相切
1个
m≠0且Δ=0
相离
0个
m≠0且Δ<0
【做一做1】
若M是双曲线
=1上一点,F1,F2为左、右焦点,若|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于( )
A.2
B.4
C.8
D.12
解析由已知得2a=2×4=8,所以|MF1|-|MF2|=8,于是2|MF2|=8,|MF2|=4.
答案B
【做一做2】
已知双曲线E的中心为原点,点F(3,0)是双曲线E的焦点,过F的直线l与双曲线相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
答案B
【做一做3】
已知双曲线C:x2-4y2=1,经点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为( )
A.y=2x-1
答案C
【做一做4】
双曲线x2-
=1的左、右顶点分别为A,B,右支上有一点M,且kMA=1,则△MAB的面积为 .?
解析因为kMA=1,A(-1,0),故直线MA的方程为y=x+1,代入x2-
=1,整理得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,故M(2,±3),故S△MAB=3.
答案3
探究一
探究二
当堂检测
探究一利用双曲线的定义解决轨迹问题
例1
若动圆P经过定点A(3,0),且与定圆B:(x+3)2+y2=16外切,试求动圆圆心P的轨迹方程.
思路分析由动圆经过点A,以及与定圆B相切,找到动点P与两个定点A,B的距离之间的关系,再对照双曲线的定义进行判断求解.
解设动圆圆心P(x,y),半径为r.
则依题意有|PA|=r,|PB|=r+4,故|PB|-|PA|=4.
即动圆圆心P到两个定点B(-3,0),A(3,0)的距离之差等于常数4,且4<|AB|,
因此根据双曲线定义,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟定义法求轨迹(或方程)
解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之差(绝对值)是不是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值小于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是双曲线.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练动点P与点F1(0,5)与点F2(0,-5)满足|PF1|-|PF2|=6,则点P的轨迹方程为( )
解析依题意,动点P到两个定点F1,F2之间的距离之差等于常数6,且常数6<|F1F2|=10,但由于不是到两个定点距离之差的绝对值,所以动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的靠近点F2的一支.该双曲线焦点在y轴上,且c=5,a=3,所以b2=25-9=16,故点P的轨迹方程为
答案D
探究一
探究二
当堂检测
探究二直线与双曲线的位置关系
例2
已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1,
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为
,求实数k的值.
思路分析直线方程与双曲线方程联立方程组?判断“Δ”与“0”的关系?直线与双曲线的位置关系.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟直线与双曲线位置关系的判断方法
1.方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
2.数形结合思想的应用
(1)直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
(2)直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
探究一
探究二
当堂检测
延伸探究本例条件不变,若直线l与双曲线C有一个交点,实数k的取值如何?
解当1-k2=0时,即k=1或k=-1,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个交点;当1-k2≠0时,由Δ=0解得k=
或k=-
,此时直线与双曲线相切,只有一个交点.综上所述,当k=±1或k=±
时,直线与双曲线有一个交点.
探究一
探究二
当堂检测
思维辨析
一题多解——中点弦问题
典例已知双曲线
-y2=1,求过点A(3,-1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
方法总结解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围问题.
探究一
探究二
当堂检测
1.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( )
解析点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,当点P与双曲线右支顶点M重合时,|PA|最小,最小值为
答案C
探究一
探究二
当堂检测
解析设双曲线右焦点为F2,连接AF2,BF2,由图形的对称性知四边形AFBF2为矩形,则有|AF|-|AF2|=2a,
|AF|·|AF2|=3a2,∴|AF|=3a,|AF2|=a,在Rt△AFF2中,kAF=tan∠AFF2=
,故选A.
答案A
探究一
探究二
当堂检测
答案C
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
探究一
探究二
当堂检测
(2)假设直线l存在.
设B(1,1)是弦MN的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.
∵点M,N在双曲线上,
∴2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,
∴4(x1-x2)=2(y1-y2),
∴直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,
∵Δ=16-4×3×2=-8<0,
∴直线l与双曲线无交点,∴直线l不存在.
