(共33张PPT)
第一章
预备知识
§1
集合
1.1
集合的概念与表示
第1课时
集合的概念
新生军训
拔河
端午赛龙舟
观察前面的几幅图片:新生军训、拔河、赛龙舟，谈一谈你的感受。
我们以前有没有学习过与“集合”有关的内容呢？
“集合”是现代数学的基本语言，可以帮助我们比较准确清晰地刻画研究对象。在本章，我们将学习集合的一些基本知识，用集合语言表示有关数学对象，并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念.
通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。
理解集合的含义（数学抽象）
掌握集合中元素的三个特性（直观想象）
记住常用数集及其记法（直观想象）
问题一：新生军训参训同学、拔河队员、全体赛龙舟的选手，能否分别构成一个“集合”呢？
探究一
集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为_______，通常用大写字母_______________表示。集合中的每个对象叫做这个集合的________通常用小写字母_____________表示。
集合
A，B，C，…
元素
a，b，c，…
组成集合的元素一定是数吗？
组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？
思考交流
1.
某班所有的“高个子男孩”能否构成一个集合？由此说明什么？
不能.
其中的元素是不确定的.
【解析】
“高个子”是一个模糊的概念，具有相对性，多么“高”才算“高个子”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象．因此，不能构成集合。
集合中的元素是确定的
给定集合的元素必须是确定的。也就是说给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。
2.
由2，1，0，5，
这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
集合中的元素是互异的
不正确，集合中只有4个不同元素2，1，0，5。
规定：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复。
3.高一（42）班的全体同学组成一个集合，重新调整座位后这个集合有没有变化？
集合中的元素是无序的，所以集合无变化
【解析】只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。因此，如果调整座位前高一（42）班看成集合A，调整座位后的高一（42）班看成集合B，由于两个集合中的元素一模一样，我们称集合A与集合B相等。
通过以上的学习你能总结出集合中元素的特性吗？
确定性、互异性、无序性
例1
（多选）下列所给的对象能构成集合的是（
）
A
所有的正三角形
B
高中数学必修一课本上的所有难题
C
无限接近于0的实数全体
D
平面上到点P的距离等于1的点的全体
AD
【解析】判断一组对象能否构成集合，关键在于看判断标准是否明确。A选项只要满足三角形三边相等，可以构成集合；B选项不能构成集合，因为“难题”的标准是模糊的；C选项中“无限接近”也是一个相对的概念，标准不明确，D标准明确，即平面内到定点P距离等于定长1.
变式训练1
下列给出的对象中能构成集合的是( )
A.著名的数学家
B.很大的数
C.长得帅的人
D.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
【解析】A选项“著名”B选项中“很大”C选项中“帅”的含义都是相对的，模棱两可的概念，评判标准不明确，所以不能构成集合；D选项中对象的区分标准明确，能够成集合。
D
问题二：在数学上如何表示元素与集合的关系呢？
探究二
元素与集合的关系
注意：在a∈A与a
?A这两种情况中有且只有一种成立
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与
集合的
关系
属于
如果__________________，就说a属于A
_______
“a属于A”
不属于
如果___________________，就说a不属于A
______
“a不属于A”
a是集合A中的元素
a∈A
a不是集合A中的元素
a
?A
例2
已知集合A中的元素
满足
则下列各式正确的是（
）
A
B
C
D
【解析】集合A中的元素满足共同的特征即
，因为3大于
-3小于
所以选D
D
变式训练2
集合M是由不小于π的实数组成的集合，下列关系正确的是( )
A.-5
B.
C.5
D.
【解析】集合M中的元素大于等于π则,由于
和
均大于1小于2所以
B、D
均不符合条件，正确答案选C
C
探究三
常用数集及符号表示
名称
自然数集
正整
数集
整数集
有理数集
实数
正实数集
记法
N
N
或N+
Z
Q
R
R+
例3
用符号“∈”或“?”填空.
(1)2
N.
(2)
Q.
(3)0
N.
(4)
R.
【反思感悟】求解此类问题必须要做到以下两点：
①熟记常见的数集符号；
②正确理解元素与集合之间的“属于”关系.
变式训练3
下列所给关系正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.首先分析给出的数的属性，然后根据常用数集的符号判断两者的关系。正确的是(1)(2)(3)。
C
【反思感悟】判断元素与集合的关系的两种方法
（1）直接法：如果元素是直接给出的，那么只要判断该元素在已知集合是否出现即可，此时应明确集合是由哪些元素构成的。
（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
例4
探究四
集合中元素的特性及其应用
【反思感悟】利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
含义
元素的特性
集合
数集及其符号
元素与集合间的关系
确定性
无序性
互异性
属于∈
不属于?
集合的含义
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
集合的定义
元素的性质
集合相等的含义
判断集合时，要明确集合中元素的特征及范围
用集合中元素的性质进行求解
分类讨论思想在求参数时的应用
求集合中的元素时，
注意元素互异性的检验
数学抽象：通过自然语言到数学符号语言的转化，培养数学抽象的核心素养
确定性
无序性
互异性
1.考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的著名景点；
②直角坐标系中直线y=x上的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年12月31日，参与“一带一路”的国家.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
【解析】选B.①中“著名”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合.
B
2.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A.矩形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
【解析】选D.由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等.
D
π
Q
32
N
Q
R
Z
N
3.
用
或
符号填空
4.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，
则实数a=________.
【解析】因为-3∈A，所以a-3=-3或2a-1=-3，解得a=0或a=-1，检验两个元素不相等，符合互异性要求。
0或-1
5.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解组成集合M,
则M中元素的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
C
【解析】选C.x2-5x+6=0方程的解为2和3，x2-x-2=0方程的解为2和-1，根据集合中元素的互异性，集合M中的元素为-1，2，3所以元素个数为3个。
在数学的天地里，重要的不是知道什么，而是怎么知道什么。
——毕达哥拉斯(共29张PPT)
第1单元
集合
1.1
集合的概念与表示
第2课时
集合的表示
用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2
为半径的圆周上的点”组成集合A
那么，我们是否可以用更简便的方式表示集合A呢？
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。在具体情境中了解空集的含义。
掌握集合的表示方法：列举法和描述法（数学抽象）
能进行自然语言和集合语言间的相互转换（直观想象）
能正确使用区间表示数集（数学抽象）
问题一:
不等式
的所有自然数解组成集合A，我们如何表示这个集合A？
定义
把集合的所有元素___________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.
例如，20以内的所有素数组成的集合C用列举法可以表示为
C={2，3，5，7，11，13，17，19}
探究一
列举法
一一列举
点拨：
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素可用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
例1
用列举法表示下列集合：
（1）由大于3小于10的所有整数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合
【解析】
（1）设由大于3小于10的所有整数组成的集合为A，那么
A={4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
注意整数
(3)判断正误
?
由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(
)
?
集合{(1，2)}中的元素是1和2.(
)
【解析】
?集合中的元素具有互异性.
?集合中的元素应为实数对(1，2).
×
×
变式训练1
用列举法表示下列集合
（1）一次函数
与
的图象的交点组成的集合
（2）方程
的所有实数根组成的集合
【解析】（1）解二元一次方程组可得
因此交点组成的集合可表示为
（2）方程的根为±2所以组成的集合列举法表示为{-2,2}
问题二：不等式
的所有实数解组成集合B
我们如何表示这个集合B呢？
探究二
描述法
通过描述
表示集合的方法叫做描述法
元素满足的条件
代表元素
及
的取值范围
满足的条件（共有特征）
我们约定，如果从上下文看
是明确的，那么上述
集合也可以写成
由于解不等式
可以得到
，所以不等式
的解集应当写作
例2
用描述法表示下列集合
（1）所有正奇数组成的集合A
（2）小于10的所有有理数组成的集合B
【解析】
（1）
由于正奇数都可以写成
所以所有正奇数组成的集合为
（2）设
，则
，且使
成
立。因此，用描述法可以表示为
变式训练2
下列三个集合是不是相同的集合，它们的各自含义是什么？
A＝{x|y＝x2＋1}，
B＝{y|y＝x2＋1}，
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
【解析】集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量的取值范围；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围.集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的，是一个点集.
在具体问题中，应根据实际需要选择适当方法来表示集合。
思考：方程
的解集F用列举法表示为F={0,2},也可
以用描述法表示为F={x｜
}
___________：含有有限个元素的集合
___________：含有无限个元素的集合
___________：不含任何元素的集合
记作______
有限集
无限集
空集
Φ
你能说出列举法和描述法的优缺点吗？
优点
缺点
列举法
直观、明了
不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示
描述法
把集合中元素所
具有的性质描述
出来，具有抽象性、概括性、
普遍性的特点
不易看出集合的具体元素
思考
探究三
区间的概念与表示
设a，b∈R，且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
________
?
{x|a开区间
________
?
{x|a≤x半开半闭区间
________
?
{x|a半开半闭区间
________
?
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
定义
名称
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
?
{x|x>a}
(a，＋∞)
?
{x|x≤a}
(－∞，a]
?
{x|x(－∞，a)
?
R
(－∞，＋∞)
注意区间端点的开闭
例3
（1）区间[1，2)表示的集合为________.
（2）{x|x＜0}用区间可表示为________.
【解析】根据区间的定义，（1）用集合可表示为{x|1≤x<2}.（2）用区间可表示为(-∞，0)
思考：区间与集合有什么区别与联系？
【反思感悟】区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.
变式训练3
把下列数集用区间表示
(1)
{x|x≥－1}
(2)
{x|x<0}
(3)
{x|－1(4)
{x|0【解析】
(1)
{x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；
(2)
{x|x<0}＝(－∞，0)；
(3)
{x|－1(4)
{x|0【反思感悟】用区间表示数集的方法：
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
集合的表示方法
列举法
区间
描述法
集合的分类
有限集
空集
无限集
核心知识
1.自然语言
2.集合语言
3.图形语言
列举法
描述法
方法总结
1.选用列举法：
（1）元素个数有限；
（2）共同特征难以概括
2.选用描述法：
（1）元素无法一一列出；
（2）可抽象出元素的共同
特征
3.选用自然语言表示：集合中元素不是实数或式子
易错提醒
1.弄清元素所具有的形式是使用描述法的前提
2.共同特征即是集合中元素满足的条件
核心素养
数学抽象：通过具体实例抽象出列举法、描述法的定义，培养数学抽象的核心素养
4.区间的概念与表示
1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为(
)
A.{1,1}
B.{1}
C.{x=0}
D.{x2-2x+1=0}
【解析】选B.集合{x|x2-2x+1=0}是方程x2-2x+1=0的解集，而方程有两个相等的实根1，故可表示为{1}.
B
2.下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A.{x|x＝1}
B.{y|(y－1)2＝0}
C.{x＝1}
D.{1}
【解析】选C.由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由等式x＝1组成的集合.
C
3.下列集合中，( )是空集
A.{0}
B.{x|x<-2,且x>2}
C.{x∈N｜x2-1=0}
D.{x｜x>4}
【解析】选B.因为集合A含有一个元素0所以A集合不是空集，集合B中不存在既大于2又小于-2的元素所以B是空集，C集合元素既是方程x2-1=0的根又是自然数则x=1，D是大于4的无限集。所以答案是B。
B
空集是指不含任何元素的集合
4.试用区间表示下列实数集
（1）{x|5≤x<6}
（2）{x|x≥9}
（3）{x|x≤-1}
（4）{x|9（-∞，-1]
（9，20)
[9，+∞)
[5，6)
数学是科学的女王。
——高斯(共35张PPT)
第1单元
集合
1.2
集合的基本关系
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.
如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马组成集合B,那么集合Ａ与集合Ｂ的关系是怎样的？怎样来表示这种关系？
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
理解子集、真子集的概念及集合相等的含义（数学抽象）
掌握子集、真子集及集合相等的应用，会判断集合间的基本关系（逻辑推理）
在具体情境中了解空集的含义并会应用（数学抽象）
问题1：实数有相等、大于、小于关系，如5=5，5＞3，5＜7等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
同学们！带着问题开始这节课的探究吧！
①A={1,3,4},
B={1,2,3,4,5};
观察下面两个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
②A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，
B＝｛x｜x是等腰三角形｝.
①，②中集合Ａ中的每一个元素都是集合Ｂ中的元素,即集合Ａ与集合Ｂ有包含关系.
微课1
子集
提示:
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一
个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包
含关系，称集合A为集合B的子集，记作
读作：“A包含于B”(或“B包含A”)
则
符号语言：
子集
文字语言
如果
,则A必须符合以下什么条件:
1.A中的元素都是B中的元素.
2.显然，任何一个集合都是它本身的子集
【特别提醒】
用Venn图表示集合的包含关系.
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
为了更直观地表达集合间的关系，我们常用图示的方法来更清晰的展现：
图形语言
已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x实数a的取值范围是（
）
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
【解析】选A.集合M中x<2,集合N中xA
【即时训练】
问题2：如何用子集的概念对两个集合的相等作进一步的数学描述？
（2）集合A中的元素和集合B中的元素相同．
比较（1）（2）中两个集合有何关系？
（1）A={1,2,3},
B={1,2,3,4,5}.
（2)A＝｛x｜x是三条边相等的三角形｝，
B＝｛x｜x是三个内角相等的三角形｝.
（1）集合B中含有不属于集合A的元素.
微课2
集合相等
提示:
如果集合A是集合B的子集（A?B),且集合B是集
合A的子集（B?A），此时，集合A与集合B中的元素
是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B.
集合相等
文字语言
判断正误
（1）若两个集合相等，则所含元素完全相同，与元素的顺序无关.
（
）
（2）如果两个集合是无限集，则这两个集合不可能相等.
（
）
×
√
【即时训练】
对于一个集合A,在它的所有子集中,去掉集合A本身,
剩下的子集与集合A的关系属于“真正的包含关系”,
这种包含关系我们该怎样来更精确地描述呢?
【提示】可以引入“真子集”的概念来描述这种“真包含”关系.
当“
”时，允许A=B或
成立；当“
”
时A=B不成立.所以若“
”，则“
”，不一定成立.
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称
集合A是集合B的真子集,
读作：“A真含于B（或“B真包含A”).
微课3
真子集
A
B
?
?
B
A
?
?
或（ ）
记作
子集与真子集的区别
A
B
?
?
A
B
?
?
A
B
?
?
【特别提醒】
集合A是集合B的子集吗？
没有任何元素哎!是怎样的集合？
微课4
空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为
，
并规定：空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集。
例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程x2+1=0的实数根组成的集合为?
（1）
是不含任何元素的集合.
（2）{0}是含有一个元素的集合，
{0}.
与{0}的区别
?
?
【特别提醒】
以下几个关系式：①
{
}
②
∈{
}
③
{0}
④0
⑤
={
},其中正确的序号是：
①②③④
【即时训练】
问题:根据子集的概念,结合Venn图,你能得到子集的一些特性吗?
(1)任何一个集合都是它本身的子集.即
(2)对于集合A,
B,
C,
如果
,且
,
C
B
A
那么
.
微课5
子集的性质
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（
）
里打“√”，若不是则在（
）里打“×”.
①
(
)
②
(
)
③A={0},
(
)
④A={a,b,c,d},
B={d,b,c,a}
(
)
√
×
×
√
【即时训练】
例1
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
解：集合{a，b}的所有子集为：
，{a}，{b}，{a，b}.
真子集为：
,{a}，{b}.
【总结提升】
写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.
写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
写出集合
的所有子集，并指出它的真子集.
解：集合{a,b,c}的所有子集为
.
真子集为
一般地，若集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n-1个.
【互动探究】
方法规律
即
或
.
综上
或
或
.
例2
已知
,
，若B
?
A,
求实数a的值．
解：
(1)当
时,
满足
.
(2)当
时，
.
若
，则
或
,
对集合B中的a进行分类讨论，并注意检验。
【解题关键】
设集合
，
若
，求实数
的值.
解：由
或
得
或
（舍去）.
所以
【变式练习】
1.包含关系
与属于关系
有什么区别？
2.集合
与集合
有什么区别？
前者为集合与集合之间的关系，后者为元素与集合之间的关系.
【易错点拨】
?
?
3.回顾本节课你有什么收获？
（1）子集：
A?B
?
任意x∈A，则x∈B.
（2）真子集:
?
A?B，
但存在
∈B且
?A.
（3）集合相等：A＝B?
A?B且B?A.
（4）性质:
①??A，若A非空，则?
A.
②A?A.
③A?B，B?C?A?C.
?
?
?
集合间的
基本关系
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
空集：无任何元素
?
相等：两集合的元素完全相同
（1）求子集时，注意不要漏掉空集和集合本身
（2）解含参集合问题时，注意用到分类讨论思想
数学运算：通过集合间的关系判断或求参数，培养数学运算的核心素养
求子集的方法：
（1）分类讨论：按照元素个数从0到n依次列举出子集；
（2）用树状图：协助写出子集
判断集合关系方法：
（1）观察法：一一列举观察；
（2）元素特征法：先确定元素，再根据元素特征判断；
（3）数形结合法：利用数轴或Venn图
B
【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合
C
【解析】选C.A={-2,2}所以A的真子集为{-2}，{2}，?
3.
已知集合M={y|y=x2-2x-1,x∈R}，N={x|-2≤
x≤4}，则集合M与N之间的关系是______.
【解析】因为y=x2-2x-1≥-2，所以M={y|y≥-2}，
所以N
M.
N
M
3
5.
已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1＜x＜2m-1}，
若B?A,求实数m的取值范围.
【分析】若B?A,则B=
或B≠
,故分两种情况讨
论.
【解析】当B=?时,有m+1≥2m-1,得m≤2,
当B≠?
时,有
解得
2＜m≤4.
综上，2m+1≥-2，
2m-1≤7，
m+1＜2m-1，
我们不需要死读硬记，我们需要用基本的知识来发展和增进每个学习者的思考力.
——列宁(共25张PPT)
第1单元
集合
1.3
集合的基本运算
第1课时
交集与并集
某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题：
(1)问至少读过一本书的有哪些同学？
(2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集.
理解两个集合的并集与交集的含义（数学抽象）
能求两个集合的并集与交集（数学运算）
能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象）
微课1
交集
设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x≥0},C={x|0≤x≤2}
思考：
集合A，B与集合C的关系如何？
你能用Venn图表示出它们之间的关系吗？
【解析】集合C中的元素既在集合A中，又在集合B中.各组集合均可用下图表示
由图形可以看出：集合C中的每一个元素既在集合A中，又在集合B中。
A
C
B
交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元
素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作
“A交B”），即
A∩B＝___________________.
用Venn图表示为：
{x|x∈A，且x∈B
}
例1
新华中学开运动会，设
A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，
B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，
求A∩B.
解：A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以，A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
例2
设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.
解：平面内直线l1,l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.
(1)直线l1,l2相交于一点P可表示为L1∩L2=｛点P｝；
(2)直线l1
，l2平行可表示为L1∩
L2=
；
(3)直线l1
，l2重合可表示为L1∩L2=
L1=L2.
【总结提升】
两个集合求交集，结果还是一个集合，由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.
（2）设集合A＝{x
|1＜x＜5}，集合B
＝{x|2＜x＜6}，
求A
B．
（1）设集合A＝{4，5，6，8}，集合B＝{3，5，7，8，9}，
求A
B.
【变式练习】
观察下列各个集合,你能说出集合A,B，C之间的关系吗?
(1)
A={1,3,5},
B={2,4,6}
,C={1,2,3,4,5,6}
(2)
A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
C={x|x是实数}.
集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
微课2
并集
集合间元素的关系
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素
组成的集合，称为集合A与B的并集，
即：A∪B__________________.
用Venn图表示为：
={x|x∈A，或x∈B}
文字语言
记作A∪B（读作“A并B”），
符号语言
图形语言
1.两个集合的并集中的元素就是将两个集合中的元
素合在一起.
(
)
2.A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于
集合B的元素组成.
(
)
3.若集合A和集合B有公共元素，根据集合元素的互
异性，则在A∪B中仅出现一次.
(
)
×
√
√
【即时训练】
例3
设A={4,5,6,8},
B={3,5,7,8},
求A∪B.
解:
A∪B={4,5,6,8}
∪
{3,5,7,8}
={3,4,5,6,7,8}
元素全部拿过来，重复的只写一次
【解题关键】
例4 已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，求P∪Q
解：在数轴上表示两个集合，
如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.
画数轴、找端点是关键
两个集合求并集，结果还是一个集合，由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次.对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.
【提升总结】
交集、并集的定义、表示及性质
并集
交集
定义
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成
符号表示
A∪B＝{x|____________}
A∩B＝{x|_______________}
Venn图
性质
A∪B____B∪A；
A∪A＝_____；
A∪?＝___；
A∪B_____A；
A∪B______B
A∩B_____B∩A；
A∩A____A；
A∩?____?；
A∩B____A；
A∩B____B
x∈A或x∈B
x∈A且x∈B
＝
A
A
?
?
＝
＝
＝
?
?
【总结提升】
1．A＝{直线}，B＝{圆}，那么A∩B含什么元素？
提示：无元素，因为A∩B＝?.
2．如果A中有n个元素，B中有m个元素，那么A∪B中一定有m＋n个元素吗？
提示：不一定．如果A∩B＝?，A∪B中有m＋n个元素．否则少于m＋n个元素，若用符号card(A)表示A中的元素个数，则有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
3．A∩B与A∪B能否相等？
提示：可以相等．当A＝B时，A∪B＝A∩B.
【易错点拨】
两种方法
几个性质
并集与交集
两个定义
A∩A＝A，A∪A＝A，
A∩?＝?，A∪?＝A；
A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A.
数轴和Venn图.
并集
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，
交集
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.
并集、交集
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
（1）避免混淆并集与交集的含义
（2）准确识别“∪”
“∩”
数学运算：通过集合的并集和交集的运算，培养数学运算的核心素养
并集
交集
概念
表示
性质
应用
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2}则A∩B=( )
A.（-1，+∞）
B.（-∞，2）
C.（-1，2）
D.（-∞，+∞）
【解析】选C.结合数轴可得A∩B=(-1,2)
C
2.
若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．16
【解析】选C.因为A={1，2，3}，B={1，3，4}，
所以A∩B={1，3}，则A∩B的子集个数为22=4．
C
3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2}，则使A∪B=A成立
的a的值为_____.
【解析】因为A∪B=A,所以B?A,
所以a2=0或a2=1,
所以a=0或a=±1,但a=0或a=1不符合条件，舍去,
故a=-1.
-1
4.设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0,a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
【解析】 ∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，
∴B＝?或B≠?.
追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他。(共30张PPT)
第1单元
集合
1.1
集合的基本运算
第2课时
全集与补集
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，
张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在
学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集
合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
问题 没有获得金奖的学生有哪些？
提示 没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.
1.在具体情境中，了解全集与补集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
理解全集、补集的含义（数学抽象）
能够解决交集、并集、补集的综合运算问题（数学运算）
能借助Venn图，利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题（直观想象）
思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？
{2}
思考2:不等式0{2，3，4}
微课1
全集
思考3：在不同范围内研究同一个问题，可能有
不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围
所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.那么全集
的含义如何呢？
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中
涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
（universe
set），通常记作U.
全集
全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.
全集一定包含任何元素吗？
【提示】
全集仅包含我们研究问题所涉及的集合的全部元素，而非任何元素.
【特别提醒】
观察下列三个集合：
U＝{高一年级的同学}
A＝{高一年级参加军训的同学}
B＝{高一年级没有参加军训的同学}
这三个集合之间有何关系？
显然，由所有属于集合U但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B．
微课2
补集
如何在全集S中研究相关集合间的关系呢？
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary
set)，简称为集合A的补集，记作
，
可用Venn图表示为
U
A
U
A
文字语言
符号语言
图形语言
表示全集和补集的三种数学语言互译.
U
CUA
A
文字语言
符号语言
图形语言
【提升总结】
补集符号?UA有三层含义：
（1）A是U的一个子集，即A
U；
（2）?UA表示一个集合，且?UA
U；
（3）?UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
【特别提醒】
判断:(1)补集既是集合间的一种关系，同时也是集
合间的一种运算.
(
)
(2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，
集合A其实是给定的条件.
(
)
√
√
【易错点拨】
【解析】因为M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
所以M∪N={1，3，5，6，7}，
因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以
U（M∪N）={2，4，8}.
已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
求
U（M∪N）.
【即时训练】
例1
(1)
设U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}，
B={3，4，5，6}，求
解：（1）根据题意可知，
(2)设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，
B={x|x是钝角三角形}，求
.
（2）根据三角形的分类可知
｛x∣x是直角三角形｝.
所以
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则
=(
)
A.U
B.{1,3,5}
C.{3,5,6}
D.{2,4,6}
C
【解析】选C.U中的元素去掉1,2,4得
={3,5,6}.
【变式练习】
例2
已知全集U=R，集合
，
,
求
.
解：
设全集U＝R，在数轴上表示出集合A＝{x|－2【变式练习】
解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
?UA={x|x≤－2或x≥1}
补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集合时，在记号?UA中的U要相应变换．
从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下面我们逐一探求.
【提升总结】
若全集为U，A?U，则:
微课3
补集的运算性质（1）
U
补集的运算性质（2）
若全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，
N＝{5,6,7}，则?U(M∪N)＝
（
）
A．{5,7}
B．{2,4}
C．{2,4,8}
D．{1,3,5,6,7}
【解析】选C.借助于Venn图，如图所示
因为M∪N＝{1,3,5,6,7}，所以?U(M∪N)＝{2,4,8}．
C
【即时训练】
例3
已知全集U={所有不大于30的质数}，A，B
都是U的子集，若
，
你能求出集合A，B吗？
解：
5,13,23
2，
17
11,19，29
3,7
Venn图的灵活运用
1，6
A
B
2，3
0，5
U
4
,
7
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
【变式练习】
1.
要准确理解和把握它们的定义，直接通过定义的理
解来解决．
2．要使用好韦恩(Venn)图，特别是进行有限集合的这
种运算的时候，如对集合A,B而言，有下图．
3．要使用好数轴这个工具，特别是关于数集的交、
并、补运算，利用数轴可以直观地写出解集．
【总结提升】
全集
和补
集的
概念.
并集运算
交集运算
补集运算
补
集
补集的性质
回顾本节课你有什么收获？
综合应用
数轴
Venn图
补集
全集
定义
性质
(1)A∪(
A)=U,A∩(
A)=φ；(2)
(
A)=A,
U=φ，
φ
=U
(3)
(A∩B)=(
A)∪(
B)，
(A∪B)=(
A)∩(
B)
注意解题过程中出现空集的情况.
逻辑推理：在补集运算时，通过定义或数形结合法的运用，培养逻辑推理的核心素养
1.设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则?UM＝( )
A.{x|－2≤x≤2}
B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2}
D.{x|x≤－2或x≥2}
【解析】选A.在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|－2≤x≤2}.
A
2.
已知集合A，B,全集U={1，2，3，4}，且?U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩?UB=（ ）
A．{3}
B．{4}
C．{3，4}
D．?
【解析】选A.因为全集U={1，2，3，4}，且?U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，
B={1，2}，所以?UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或
{3，2}或{1，2，3}．
所以A∩?UB={3}．
A
3.设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，
B
?UA
求实数a的取值范围．
解：如图所示，B＝{x|x<－a}，
∵?UA＝{x|x≤1}，要使B
?UA，
∴－a≤1，即a≥－1.
?
?
?
?
4.设
,求
,
解析：
不要抱怨读书苦，这是你通向多彩世界的路。