(共24张PPT)
§2
常用逻辑用语
2.1
必要条件与充分条件
王安石在《游褒禅山记》中写道“而世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。”
思考：“有志”与“至”有什么关系？
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
了解真命题与推出符号的关系，领会符号语言的优越性（数学抽象）
理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法（逻辑推理）
掌握证明充要条件的一般方法（逻辑推理）
我们约定：若p，则q为真，记作：
或
若p，则q为假，记作：
探究一
充分条件与必要条件
提示：两三角形全等
两三角形面积相等
例如：
1.如果两个三角形全等，那么两三角形面积相等.
提示：两个三角形面积相等
两三角形全等
2.如果两个三角形面积相等，那么两三角形不一定全等.
用符号
与
填空.
（1）
x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
两直线平行；
（3）整数a能被6整除
a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc
a=b.
【即时训练】
充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”
为真命题
，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们
就说，由p可推出q，记作
，并且说，p
是q
的充分条件，q
是p
的必要条件．
例如：
“x>3”是“x>2”充分条件，“x>2”是“x>3”的必要条件
解析:
命题(1)是真命题,命题(2)是假命题.
所以,命题(1)中的p是q的充分条件.
例1
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若x为无理数,则x2为无理数.
下列条件中哪些是a+b>0的充分条件？
a>0，b>0
②a<0,b<0
④a>0，b<0且|a|>|b|
③a=3,b=-2
思路分析：先给多个p，进行选择，通过选择，
感知p的不唯一性.
答案：①
③
④
【变式练习】
解析:
命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
例2
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若x=y,则x2=y2;
(2)若x<3,则x<5;
(3)若a>b,则ac>bc.
p
q，相当于p
q，
p足以导致q,也就是说条件p充分了；
q是p成立所必须具备的前提.
从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p
q
p
【提升总结】
一般地，如果既有p
?
q，又有q
?
p，
就记作
p
?
q.
此时，我们说，p是q的充分必要条件，
简称充要条件（sufficient
and
necessary
condition）.
概念！
探究2
充要条件
显然，如果p是q的充要条件，
那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果p
?
q，
那么p与q互为充要条件.
对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？
提示：p是q的充分条件，p不是q的必要条件；
p是q的必要条件，p不是q的充分条件；
即p是q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件
p与q之间的四种逻辑关系：
p是q的充要条件；
p是q的充分不必要条件；
p是q的必要不充分条件；
p是q的既不充分条件，也不必要条件.
判断p是q的什么条件，并填空：
（1）
p：
x
是整数是
q：x是有理数的
；
（2）
p：
ac＝bc是
q：a＝b的
；
（3）
p：
x＝3
或x＝-3是
q：x2＝9
的
；
（4）
p：同位角相等是
q：两直线平行的
；
（5）
p：(x-2)(x-3)＝0
是
q：x+2＝0
的__________________．
充分不必要条件
充要条件
充要条件
既不充分也不必要条件
必要不充分条件
【即时训练】
充分条件与
必要条件
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
（2）集合法:A?B,
A是B的充分条件，B?A,
A是B的必要条件.
（1）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向
（2）证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论
逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养
充分条件
必要条件
充要条件
判断与证明
应用
1.x∈N是x∈Q的_____________.
（用“充分条件”、“必要条件”、“充要条件填空”）
充分条件
【解析】因为x∈N能够推出x∈Q,但x∈Q推不出x∈N,所以x∈N是x∈Q的充分条件,x∈Q是x∈N的必要条件。
2.设x∈R,则“0 )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
【解析】选B.因为|x-1|<1,所以0（1）p:菱形
q:正方形
（2）p:
x>4
q:
x>1
解：(1)由图１可知p是q的必要条件
(2)由图２可知p是q的充分条件
p:菱形
q:正方形
图１
q
p
0
1
4
图２
3.用集合的方法来判断下列哪个p是q的充分条件，
哪个p是q的必要条件?（用
或
填写）
由小推大
4.
判断正误
?
p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；则p是q的充要条件.(
)
?
x＞0,y＞0是xy＞0充要条件.(
)
×
√
【解析】?p和q可以互相推出，所以p是q的充要条件
?x＞0,y＞0可以得出xy＞0但xy＞0得不出x＞0,y＞0所以错误
在学习上不肯钻研的人是不会提出问题的；在事业上缺乏突破力的人是不会有所创新的.(共24张PPT)
2.2
全称量词与存在量词
第1课时
全称量词命题与存在量词命题
在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有x2
≥0；
（3）存在有理数x，使x2
－2＝0;
（4）有些人没有环境保护意识.
对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
会用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容（数学抽象）
掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法（逻辑推理）
观察下列命题
(1)所有正方形都是矩形.
(2)对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
(3)空集是任何集合的子集.
探究点1
全称量词
短语“所有”“任意”“任何”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“
”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称量词命题.
常见的全称量词还有
“一切”
“每一个”
“任给”
等
【提升总结】
全称量词命题举例：
全称量词命题符号记法：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；
每一个有理数都能写成分数的形式。
全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立
”可用符号简记为：
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
要判定全称量词命题“
x∈M,p(x)
”是真命题，
需要对集合M中每个元素x,
证明p(x)成立；
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不
成立，那么这个全称量词命题就是假命题.
判断全称量词命题真假
下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①末位是0的整数，可以被2整除．
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
C
【即时训练】
【解析】（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题.
（2）真命题.
例1
判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
（3）
是无理数，但
=2是有理数.所以为假命题.
判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）
【解析】（1）真命题；
（2）-4没有算术平方根，所以为假命题；
（3）真命题。
【变式练习】
命题：有的平行四边形是菱形；
有一个素数不是奇数。
这是全称量词命题吗?
提示：不是。
思考：
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)2x+1=3.
(2)x能被2和3整除.
(3)存在一个x0∈R，使2x0+1=3.
(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
提示：语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；
语句(3)(4)可以判断真假，是命题.
探究点2
存在量词
（1）与(3)区别是存在一个x0∈R，使2x0+1=3；
（2）与(4)区别是至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
短语“存在一个”“至少有一个”
在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“
”表示.
含有存在量词的命题，
叫做存在量词命题.
常见的存在量词还有
“有些”“有一个”
“对某个”“有的”等
存在量词命题举例：
存在量词命题符号记法：
命题：有的平行四边形是菱形；
有一个素数不是奇数。
存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立
”可用符号简记为：
读作“存在M中元素x0，使p(x0)成立”。
判断存在量词命题真假
要判定存在量词命题
“
x0∈M,
p(x0)”是
真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使
p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)
成立的元素x不存在，则存在量词命题是假命题.
在下列存在量词命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A．0
B．1
C．2
D．3
A
【即时训练】
【解析】（1）对于x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2＞0恒成立，所以x2+2x+3=0无解，所以为假命题.
（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以为假命题.
（3）真命题.
例2
判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数。
【变式练习】
判断下列存在量词命题的真假：
（1）
(
)
（2）
(
)
√
√
1.下列命题中是存在量词命题的是(
)
A、?x∈R，x2≥0
B、?x∈R，x2<0
C、平行四边形的对边不平行
D、矩形的任一组对边都不相等
B
B
【解析】②③是全称量词命题，①④是存在量词命题.
3．下列命题中是真命题的是( )
A.?x0∈R，x02＋1<0
B.?x0∈Z,3x0＋1是整数
C.?x∈R，|x|>3
D.?x∈Q，x2∈Z
B
【解析】选B.A中?
x0∈R，x02＋1>0;C中x=1时|x|<3;D中x=0.5时不成立.
4．用符号“?”与“?”表示下列命题，并判断真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
【解析】(1)?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(2)?x∈R，使x2＋x＋4≤0.
x2＋x+4=
+
＞0恒成立，所以为假命题.
全称量词与存在量词
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
全称量
词命题
存在量
词命题
逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养
（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化
（2）注意省略量词的命题的真假判断
（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理
判断全称、存在量词命题真假的方法:
（1）若全称量词命题为真，则给定集
合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.
（2）若存在量词命题为真，则给定集
合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
否定
否定结论
厚积分秒之功，始得一鸣惊人！(共25张PPT)
第2课时
全称量词命题与存在量词命题的否定
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”
问题: 请问探险家该如何保命？
【解析】
探险家应该说“我将被五马分尸”.
如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；
如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定；能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.（逻辑推理）
探究点1
全称量词命题的否定
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）?x∈R,
x2－2x＋1≥0.
提示：
经过观察，我们发现，以上三个全称量词命题的否定都可以用存在量词命题表示.
上述命题的否定可写成:
（1）存在一个矩形不是平行四边形；
（2）存在一个素数不是奇数；
（3）?x0∈R，x02-2x0+1<0.
一般地,
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,
有下面的结论:
全称量词命题p:?x∈M，p（x），
它的否定﹁p:?x0∈M,﹁p（x0）.
例1
写出下列全称量词命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
提示：含有量词命题的否定要注意量词的变化。
【解析】（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；
（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；
（3）﹁p：?x0∈Z，x02的个位数字等于3.
通过上面的学习，我们可以知道：
全称量词命题的否定就是存在量词命题，所以我们只要把全称量词命题改成它相应的存在量词命题即可.
【提升总结】
思考：存在量词命题如何否定？
写出下列命题的否定：
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）某些平行四边形是菱形；
（3）?x0∈R,
x02＋1＜0.
探究点2
存在量词命题的否定
提示：
经过观察，我们发现，以上三个存在量词命题
的否定都可以用全称量词命题表示.
上述命题的否定可写成:
（1）所有实数的绝对值都不是正数；
（2）每一个平行四边形都不是菱形；
（3）?x∈R，x2+1≥0.
命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（
）
A.存在一个三角形，内角和等于180o
B.所有三角形，内角和都等于180o
C.所有三角形，内角和都不等于180o
D.很多三角形，内角和不等于180o
B
【即时训练】
一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:
存在量词命题p:
?x0∈M，p（x0），
它的否命题﹁p:
?x∈M,﹁p（x）.
例2
写出下列存在量词命题的否定：
（1）p：?x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；
（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有一个素数含有三个正因数.
【解析】（1）﹁p：?x∈R，x2＋2x＋2＞0；
（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；
（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.
通过上面的学习，我们可以知道：存在量词命题的否定就是全称量词命题，所以我们只要把存在量词命题改成它相应的全称量词命题即可.
【提升总结】
【变式练习】
【解析】由命题的否定为真，可知此命题为假，因此Δ=a2-4≤0.
含有一个量词的命题的否定
全称量词命题
存在量词命题
全称量词命题
存在量词命题
命题的否定
命题的否定
全称量词与
存在量词
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
全称量
词命题
存在量
词命题
逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养
（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化
（2）注意省略量词的命题的真假判断
（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理
判断全称、存在量词命题真假的方法:
（1）若全称量词命题为真，则给定集
合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.
（2）若存在量词命题为真，则给定集
合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
否定
否定结论
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，
则p的否定是( )
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
C
【解析】选C.命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
2.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（
）
A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称
存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称
C
全称量词“所有”被省略
3.(1)命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:
_____________________________.
(2)命题“有的实数没有立方根”的否定为:___命题.（填“真”“假”）
至少有一个乌鸦不是黑色的
真
4.写出下列命题的否定：
（1）
（2）
?x0∈{-2,-1,0,1,2}，︱x0-2︱<2
?x0∈R，3x0＝x0;
?x∈{-2，-1，0，1，2}，︱x-2︱≥2
所谓光辉岁月，不是万众瞩目时的闪亮夺目，而是无人理睬时的跋涉时光。
