(共26张PPT)
§3
不等式
3.1
不等式的性质
我们知道，等式有一些基本性质，如
不等式是否有类似性质呢？
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
理解不等式的概念，掌握不等式的性质（数学抽象）
会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题（逻辑推理）
在初中的数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小。关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么a>b；
如果a-b等于0，那么a=b；
如果a-b是负数，那么a探究一
不等式的性质
(传递性)
性质1
a>b且b>c，那么a>c
分析：要证a>c只需证a-c>0
证明：因为a>b且b>c
所以a-b>0，b-c>0
从而a-c=(a-b)+(b-c)>0，即a>c
性质2
a>b，那么a+c>b+c
分析：要证a+c>b+c只需证(a+c)-(b+c)>0
证明：因为a>b且a-b>0
所以(a+c)-(b+c)=a-b>0，即a+c>b+c
(可加性)
性质3
性质4
性质5
特殊地，
性质6
对于实数a,b,c,给出下列命题:
①若a>b,则ac2>bc2;
②若aab>b2;
③若a>b,则a2>b2;
其中,正确命题的序号是 .?
【即时练习】
②
【解析】直接利用不等式的基本性质逐一判断.
对于①,∵c2≥0,∴只有c≠0时才成立,故①不正确;
对于②,aab;ab2,故②正确;
对于③,若0>a>b,则a2但(-1)2<(-2)2,故③不正确;
不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件.
【规律总结】
你还有其他证明方法吗？
探究二
不等式的性质的应用
证明：
还可以利用作差法.
1.比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x;
2.已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
提示：我们知道,a-b>0?a>b,a-b<0?a【变式训练】
【解析】1.(x2+3)-3x=x2-3x+3
∴x2+3>3x
2.(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b).
∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0.
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
例2
【规律总结】
【变式训练】
D
不等式
的性质
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
利用不等式性质判断正误的方法：
(1)直接法:正确的说法利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;
说法错误的只需举出一个反例即可。
(2)特殊值法:取值的原则:一是满足题设条件;二是取值要简单，便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
（1）不等式两边同乘或除以负数时，要变号;
（2）同乘或除以代数式时，要注意代数式的正负分类讨论
逻辑推理：通过等式性质，类比推理不等式性质，培养逻辑推理的核心素养
数学建模：不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
对称性，传递性
同加保序性
乘正保序性
移项法则
正数同向可乘性
乘负反序性
正数乘方保序性
1.设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A．x2＜ax＜a2
B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax
D．x2＞a2＞ax
B
【解析】选B.∵x＜a＜0，∴x2＞a2.
∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax.
又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2.
∴x2＞ax＞a2.
2．已知a>b，c>d，且cd≠0，则( )
A．ad>bc
B．ac>bc
C．a＋c>b＋d
D．a－c>b－d
C
【解析】选C.∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
D
【解析】选D.
4.
判断正误
已知a>b且c>d
?
a-b>d-c.
(
)
?
a+d>b+c.(
)
×
√
【解析】
?∵a>b且c>d
∴a-b>0,
d-c<0即a-b>d-c.
?举反例a=5，b=1，c=10，d=2
则a+d>b+c错误
【解析】
人生有两段路要走，一段是必须走的路，一段是想走的路，必须走的路先走好，才有机会走想走的路。(共25张PPT)
3.2
基本不等式
第1课时
基本不等式
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题： 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
掌握基本不等式
，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题。
理解基本不等式
（数学抽象）
能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题（数学运算）
能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小（逻辑推理、数学运算）
1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
B
A
C
D
E
F
G
H
探究一
基本不等式
B
A
C
D
E
F
G
H
则正方形ABCD的面积
是________，
这4个直角三角形的面积之和是_________，
设AE=a,BE=b,
a2+b2
2ab
>
提示:
当且仅当a=b时，等号成立，
提示:
一般地，对于任意实数a，b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立.
3.你能给出它的证明吗？
特别地，
我们用
,
分别代替
可得
4.你能用不等式的性质直接推导吗？
通常我们把上式写作
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然,
③是成立的.当且仅当a=b时,
③中的等号成立.
基本不等式：
注意：（1）a,b均为正数；
（2）当且仅当a=b时取等号.
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
CD小于或等于圆的半径.
用不等式表示为
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
可以叙述为:
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数.
基本不等式
1.基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，
都有a2＋b2
2ab，
当且仅当
时，等号成立．
(2)基本不等式
①形式：
②成立的前提条件：
；
③等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
≥
a＝b
a>0，b>0
a＝b
【即时练习】
√
√
和定积最大
已知
a>0,b>0,a+b=1,
求证：
【解析】由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？
探究二
利用基本不等式证明简单的不等式
当且仅当
时取等号.
【变式训练】
【解析】∵a,b,c都是正数，
∴
∴
即
配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件
构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式
函数法:用代换法转化为函数问题再求函数的最大(小)值
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
重要不等式
基本不等式
（1）应用基本不等式
时，注意一正二定三相等的条件
（2）注意分析给定不等式，变形、组合、添加系数的目的是使之能够出现定值
逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不等式求最值，培养逻辑推理与数学运算的核心素养
【解析】选B.因为x>0,y>0,
所以(1＋x)·(1＋y)=1+x+y+xy=1+8+xy
所以原式最大值为25当且仅当x=y=4时
取最大值。
1.
已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为
( )
A.16
B.25
C.9
D.36
B
B
【解析】选B.
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．
【解析】
乾坤未定，你我皆是黑马！(共26张PPT)
第2课时
基本不等式的应用
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值（数学运算）
能用基本不等式解决简单实际问题中的最值问题（数学建模）
提示：设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，面积确定，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.
例1
用篱笆围一个面积为100
m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
探究一
基本不等式在求最值中的应用
【解析】设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10
m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40
m.
结论1
两个正数积为定值，则和有最小值.
当xy的值是常数
时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值
【规律方法】
提示：设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy
m2.即求xy的最大值.
例2
一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
【解析】设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
则
2(x
+
y)=
36,
x+
y=18，
矩形菜园的面积为xy
m2
.
当且仅当x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9
m时，
菜园的面积最大，最大面积是81
m2
.
结论2
两个正数和为定值，则积有最大值.
当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
xy有最大值
【规律方法】
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”，
二“定”，
三“等”.
最值定理
结论1
两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2
两个正数和为定值，则积有最大值.
例3
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4
800
m3,深为3
m.如果池底每平方米的造价为150元,
池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
提示：水池呈长方体形，高为3
m,底面的长与宽没有确定.
如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.
由容积为4
800
m3
，可得3xy=4
800,因此xy=1
600.由基本不等式与不等式的性质，可得
【解析】设底面的长为x
m，宽为y
m,水池总造价为z元，根据题意，有
所以，将水池的底面设计成边长为40
m的正方形时总造价最低，最低总造价是297
600元.
1.化正型
探究二
基本不等式在求最大、最小值中的应用
【解析】
注意因式是负数时的处理
例5
求函数
的最小值.
2.凑定型
【解析】
注意：
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.
【规律方法】
例6
已知x>0,y>0,且2x+y=1,求
的最小值.
3.整体代换型
当且仅当
即
时取“=”号.
即此时
【解析】
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
【规律方法】
基本不等式的应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求最值
证明不等式
实际应用
(1)整体代换求最值
①根据变形确定定值；②把定值变形为1；③构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值.
（2）证明不等式的方法与特征：
①方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题，
②特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
（1）证明不等式：
①多次使用基本不等式，要注意等号能否成立;
②注意使用;累加法和拼凑法
（2）用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义
数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养
1.判断题
已知x>2，则
的最小值是2.(
)
【解析】当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2.
不满足要求。
×
2.x>0,y>0
且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
【解析】由题意得2x+8y=xy
3.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________.
【解析】
既然选择了远方，便只顾风雨兼程；既然目标是地平线，留给世界的只能是背影。
