(共25张PPT)
§4
一元二次函数与一元二次不等式
4.1
一元二次函数
在初中，我们学习了一元二次函数，你还记得多少有关一元二次函数的知识呢？
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。通过梳理初中数学的相关内容，理解一元二次函数与方程不等式的关系。
理解一元二次函数的含义（数学抽象）
会做一元二次函数的图像，体会图像变换技巧（直观想象）
会判断一元二次函数函数值随自变量增大的变化趋势（逻辑推理）
【思考交流】
请分析讨论
的图像可以由函数
的图像经过怎样的变换而得到？
形如
的函数叫一元二次函数，通常把
一元二次函数的图像叫做抛物线
探究一
一元二次函数的含义
一元二次函数
都可以配方化为
例1.
判断正误
?
y＝2x2＋3x＋1是一元二次函数.(
)
?
.(
)
【解析】
?满足一元二次函数的定义，所以正确
?虽然只含有一个未知数但是分式结构不是一元二次函数
×
√
（1）y=a(x-h)2+k的图像是一条抛物线，定点坐标是(h，k),
对称轴是x=h
（2）当a>0时，抛物线开口朝上；在区间(-∞,h],上函数值y随着
自变量x的增大而减小；在区间[h,+∞)上，函数值y随着
自变量x的增大而增大；函数在x=h处有最小值ymin=k
探究二
一元二次函数
的性质
（3）当a<0时，抛物线__________；在区间(-∞,h]上函数值y随着
自变量x的增大而______；在区间[h,+∞)上，函数值y随着
自变量x的增大而______；函数在x=h处有最大值__________
开口朝上
增大
减小
ymax=k
例2.
已知一元二次函数
（1）指出它的图像可以由函数
的图像经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值。
【解析】（1）配方得
所以函数
图像可以由函数
图像向左平移2个单位后再向上平移3个单位长度而得到。
【解析】（2）由（1）知：该函数图像开口朝上，对称轴为x=-2；在区间(-∞,-2]上函数值y随着自变量x的增大而减小；在区间[-2,+∞)上，函数值y随着自变量x的增大而增大；函数在x=-2处取得最小值3，即ymin=3
【变式训练】
配方法求出下列函数图像的对称轴及函数的最大值或最小值
（1）
（2）
（1）
【解析】
所以对称轴为x=5最大值为ymax=
（2）
【解析】
所以对称轴为x=2最大值为ymax=4
一元二次函数
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
配凑法求对称轴、最值
根据二次函数顶点式会找抛物线开口方向，对称轴，函数值的变化趋势
（1）配凑法注意计算准确
（2）抛物线开口方向的判断与二次项系数a有关，注意讨论
直观想象，逻辑推理能力的培养
一元二次函数的概念
一元二次函数的性质
1.已知一元二次函数
（1）指出它的图像可以由函数
的图像经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值。
【解析】（1）配方得
所以函数
图像可以由函数
图像向右平移4个单位后再向上平移10个单位长度而得到。
【解析】（2）由（1）知：该函数图像开口朝下，对称轴为x=4；在区间(-∞,4]上函数值y随着自变量x的增大而增大；在区间[4,+∞)上，函数值y随着自变量x的增大而减小；函数在x=4处取得最大值10，即ymax=10
2.绘制一元二次函数
图像
【解析】配方得
该函数图像开口朝上，对称轴为x=1；在区间(-∞,1]上函数值y随着自变量x的增大而减小；在区间[1,+∞)上，函数值y随着自变量x的增大而增大；函数在x=1处取得最小值-4
绘制函数图像如右图所示，
对称轴为x=1；在区间(-∞,1]上函数值y随着自变量x的增大而减小；在区间[1,+∞)上，函数值y随着自变量x的增大而增大；函数在x=1处取得最小值-4
3.已知一元二次函数
则该二次函数的对称轴为__________.
【解析】用配凑法可求得对称轴为x=-2
x=-2
成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。(共27张PPT)
4.2
一元二次不等式及其解法
某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
从函数观点理解一元二次不等式的概念（数学抽象）
感悟数学知识之间的关联，会通过三个“二次”之间的联系求解一元二次不等式（数学运算）
能够熟练作出对应的一元二次函数图像，具备熟练的作图读图能力（直观想象）
探究一
一元二次不等式的概念
（1）只含有一个未知数x；
（2）未知数的最高次数为2.
观察不等式
有两个特点：
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的定义：
一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0(a≠0)
或ax2+bx+c<0
(a≠0)或ax2+bx+c≤0
(a≠0)或ax2+bx+c≥0
(a≠0)，其中a，b，c均为常数.
下列不等式中一元二次不等式的个数为( )
①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②
③－x2＋5x＋6≥0；
④
(x＋a)(x＋a＋1)＜0.
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选B.③④符合一元二次不等式的定义；对于①当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②不符合一元二次不等式的形式定义。
B
【即时训练】
怎样求一元二次不等式x2-5x≤0的解集？
画出二次函数
的图象.
（1）
当
取
时，y=0.
当
时，y>0.
当
时，y<0.
O
5
x
y
0或5
y=x2-5x
探究二
一元二次不等式的解法
提示:
（2）由图象可知：
不等式
的解集为
;
不等式
的解集为
.
O
5
x
y
不等式
的解集是什么？
无实根
的图象
有两个不等实根
有两个相等实根
完成下表：
x
x
x
y
y
y
O
O
O
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法
解为x1=x2
解为x1,x2,其中x1无实数解
不等式的解集为
是
是
否
否
不等式的解集为
不等式的解集为
R
解不等式
2x2－3x－2
>
0
.
【解析】因为△
=(-3)2-4×2×
(-2)>0,
所以方程2x2－3x－2
=0的解是
所以,原不等式的解集是
【规律方法】
先求对应方程的根,然后作出二次函数图象结合图像找解集。
注意:开口向上,大于0解集是大于大根,小于小根;小于0的解集是大于小根，小于大根.
【即时训练】
例1
求不等式
的解集.
【解析】原不等式可变形为
所以原不等式的解集为
解不等式：
所以原不等式可化为
所以原不等式的解集为
【变式训练】
【解析】
例2
求不等式
的解集.
而
的图象开口向上，
【解析】不等式可化为
所以方程
无实数根，
所以原不等式的解集为
注意:二次项系数为负数时，先转化为正数再求解.
求不等式
的解集.
而
的图象开口向上，
【解析】不等式可化为
所以方程
有两个实数根
所以原不等式的解集为
【变式训练】
先转化为
一般式
（2)求方程
的根,
解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准形式:
并画出对应的二次函数
的图象；
【反思感悟】
（3）由图象得出不等式的解集:
一元二次不等式
及其解法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
二次不等式的解法:
化标准式，看判别式符号，求方程的根，画抛物线，得解集
三个二次的关系：
（1）方程的根是不等式解集的端点横坐标；
（2）不等式大于0对应抛物线在x轴上方的部分，小于0则对应x轴下方的部分
解含参数的不等式：
（1）注意特殊情况，如二次项系数是否为0，判别式符号等；
（2）确定方程的两个根时要讨论两根的大小关系
数学运算：通过一元二次不等式的解法，建立三个二次的关系，培养数学运算的核心素养
二次不等式
二次方程
二次函数
三个二次的关系
B
【解析】选B.∵M＝{x|(x-4)(x+1)<0}＝(-1,4)
∴结合数轴可得M∩N=[0,4)
2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
【解析】选C
不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是
(－∞，－3)∪(2，＋∞).
C
3．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，则A∩Z中有______个元素．
6
【解析】(x－1)2＜3x＋7?x2－5x－6＜0?－1＜x＜6，
∴A＝{x|－1＜x＜6}，
∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，
∴A∩Z中有6个元素．
4.解不等式：x2＋2x－15＞0
【解析】x2＋2x－15＞0?(x＋5)(x－3)＞0
?x＜－5或x＞3，
∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
5.解下列不等式:
(1)x(7-x)≥12;
(2)x2>2(x-1).
提示：由于所给的不等式不是一般形式,故应先将它们
转化为一般形式,即不等式(1)可以化为x2-7x+12≤0再求解,不等式(2)可以化为x2-2x+2>0再求解.
【解析】(1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,Δ=1>0,
对应方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.
(2)原不等式可以化为x2-2x+2>0,
因为判别式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0无实根,
所以原不等式的解集为R.
那些看似不起波澜的日复一日，会在未来的某一天突然让你懂得坚持的意义。(共27张PPT)
4.3
一元二次不等式的应用
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12
m，乙车的刹车距离略超过10
m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题 如何判断甲、乙两车是否超速？
1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2.从实际生活中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联（数学抽象）
从实际生活和生产中抽象一元二次不等式模型（数学建模）
熟练求解一元二次不等式（数学运算）
例1
某种汽车在水泥路面上的刹车距离s
m和汽车车速x
km/h有如下关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5
m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01
km/h）
探究一
一元二次不等式在实际问题中的应用
方程
有两个实数根，
显然
即
移项整理，得
【解析】设这辆汽车刹车前的车速至少为
xkm/h，根据题意，得
所以这辆汽车刹车前的车速至少为
然后,画出二次函数
的图象，由图象得不等式的解集为
例2
一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线一周生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值
y(元)之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
【解析】设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.
由题意得，
移项整理得，
所以方程
有两个实数根，
因为
结合二次函数草图得不等式的解集为
因为在这个实际问题中x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.
把实际问题转化为一元二次不等式来求解，要结合问题的实际意义.
【规律方法】
阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系
将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型
解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义
回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果
读
建
解
答
例3
不等式
对所有实数
都成立，求a的取值范围.
提示：一元二次函数
开口向下，且与x轴无交点
【解析】(1)当
时，不等式为
不符合题意.
探究二
不等式恒成立的问题
(2)当
时，则
解得
综上所述，
的取值范围是
含参不等式恒成立的问题
（1）一元二次不等式
恒成立.
（2）一元二次不等式
恒成立.
【规律方法】
（4）一元二次不等式
恒成立.
（3）一元二次不等式
恒成立.
O
例4
解关于x的不等式
提示：分
进行讨论.
【解析】
(1)当
有两个不相等的实数根,
所以不等式
探究三
含参数的一元二次不等式的解法
(3)当
无实数根,所以不等式
解集为
(2)当
有两个相等的实数根，
在解含参数的不等式时，往往要进行分类讨论：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论，以确定
解集的形式；
（2）对判别式分
进行讨论，以便确定二次方
程根的个数；
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以确定解集.
【规律方法】
探究四
分式不等式解法
例5
解关于x的分式不等式
【解析】
此分式不等式等价于
∴-1【规律方法】
简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
分式不等式
不等式的恒成立
不等式的实际应用
（1）分式不等式化为等价的一元二次不等式时，要注意分母不为0等隐藏条件
（2）应用题要注意变量的实际意义
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的恒成立问题：
（1）判别式法：适用于在R上恒成立
数学运算：通过不等式恒成立问题的求解，培养数学运算的核心素养
数学建模：通过不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
1．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少
t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
[3,5]
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400(20－52t)×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
2.不等式(a-2)x2+(a-2)x+1≥0恒成立，试求a的取值范围
【解析】由题意知：
①当
，即
时，不等式化为
恒成立，满足条件.
②当
，即
时，原不等式等价于
3.已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2求a,b的值.
提示：-2和1是一元二次方程ax2+bx+1=0的两个根.
解得
【解析】由根与系数的关系，得
【解析】原不等式可化为
它所对应的二次方程的两根为
当
即
时，
原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时,解集为
4.解关于
的不等式x2-ax-6a2<0
x
综上所述，
原不等式的解集为：
当a>0时，
当a=0时，
当a<0时，
只有保持战斗，才能永远让你跟这个世界旗鼓相当！
