(共23张PPT)
第二章
函数
§1
生活中的变量关系
现实世界充满着变量。一些变量之间存在着依赖关系。你能举出一些生活中存在依赖关系的变量吗？
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念。
观察生活中现象，体会变量之间的关系（数学抽象）
会判断哪些变量间的依赖关系能构成函数（逻辑推理）
例1.在高速公路加油站地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量。
探究一
生活中的变量关系
储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关系。
对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应。但是取一个油面宽度w的值，却对应着两个储油量V。
例2.自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展。截至2020年，我国高铁运营里程近4万公里，右图展示我国高铁年运营里程变化。
从高铁年运营里程变化图中不难看出：
（1）随着时间的变化，高铁年运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；
（2）从2008年到2020年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比2014年增加的最多；
（3）如果从增速上看2009年的增速最大，增速超过300%
【知识回顾】
在初中数学中，我们曾学习过：
如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”。
依照这个概念，在以上两个例题中，储油量V是油面高度h
的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但储油量V不是油面宽度w的函数。
油面宽度w是不是储油量V的函数呢？
探究二
变量能否构成函数关系的判断
例3.弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx，其中k为劲度系数。对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，因此，
________是________的函数。
弹力
伸长量
例4.下表记录几个不同气压下水的沸点，对于变量“气压”
的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，因此________是________的函数。
沸点
气压
气压/(105Pa)
0.5
1.0
2.0
5.0
10
沸点/℃
82
100
121
152
180
例5.下图为某地一天的气温变化图，曲线反应了不同时间该地的气温变化，从图中可以反映出在一天中的任何一个“时刻”都有唯一确定的“气温”值和它相对应。
因此我们可以将________看成是________的函数。
气温
时间
【思考交流】
在例5中能将时间看成气温的函数吗？
提示：不能，因为对于任何一个气温值，时间并不是
唯一确定的值与它相对应，例如气温为0℃时，对应
了8点和21点两个时间。因此不能将时间看成气温的函数。
【变式训练】
某电器商店以2000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出。随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出台数之间存在函数关系吗？
【解析】
由题意可知每台电视机的利润为：2100元-2000元=100元
随着售出台数的增加，商店的利润也在增加
如果设商家的利润为y，售出电视的台数为x，
则利润与台数有y=100x的关系
对于销售台数x的任何一个取值，都有唯一确定的利润y与之相
对应，因此利润是台数的函数。
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
生活中的变量
关系
唯一确定的理解，注意对于自变量的定语是任意一个，对于因变量的定语是唯一确定，分清楚究竟谁是谁的函数。
在一个变量关系中对任意一个x都有唯一确定的y与之对应是构成函数关系的前提
从生活中的实例，会区分变量与常量，能找出变量之间的依赖关系，并会判断变量之间能否构成函数关系
数学抽象、逻辑推理
1.下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？
其中哪些是函数关系？
（1）地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；
（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间的关系；
（3）某超市一天的销售额与客流量之间的关系。
【解析】
（1）地球绕太阳公转的过程中距离与时间存在周期性变化的依赖关系，在某段时间内两者距离随时间增大而减少，在另一段时间内随时间增大而增大。对于任何一个确定的时间，有唯一确定的距离与之对应，因此“距离”是“时间”的函数。
（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间存在依赖关系，对于对于任何一个确定的时间，有唯一确定的高度与之对应，因此“高度”是“时间”的函数。
【解析】
（3）某超市一天的销售额与客流量之间存在对于变量“客流量”的每一个值，变量“销售额”都有唯一确定的值和它对应，因此“销售额”是“客流量”的函数。
2.坐电梯上升时，电梯距离地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？
【解析】
坐电梯上升时，电梯距离地面的高度与时间之间存在对于变量“时间”的每一个值，变量“距地面高度”都有唯一确定的值和它对应，因此“高度”是“时间”的函数。
3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间
存在怎样的依赖关系？
【解析】
在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量存在对于变量“蔗糖质量”的每一个值，变量“糖水的质量分数”都有唯一确定的值和它对应，因此“糖水质量分数”是“蔗糖质量”的函数。
4.找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系
【解析】
在生活中我们都知道吸烟有害健康，吸烟可导致肺癌等多种疾病，因此吸烟的次数与患肺癌的几率有依赖关系，但两者并不是唯一确定的依赖关系，因此“患肺癌几率”不是“吸烟次数”的函数。
函数的概念应该成为数学思维的心脏和灵魂，渗透到数学课程的每一个部分。
----克莱因（Christian
Felix
Klein,1849-1925）(共35张PPT)
§3
函数的单调性和最值
第1课时
函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.
数据表明，记忆量y是时间
间隔t的函数.
艾宾浩斯根据
这些数据描绘出了著名的
“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
记忆的数量(百分数)
天数
100
思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?
思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降
的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.
2.理解函数单调性的作用和实际意义.
3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用
.
理解增函数和减函数的定义（数学抽象）
理解函数单调性的含义，掌握利用定义证明函数单调性的方法（逻辑推理）
能够利用定义或图像求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题（直观想象）
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
局部上升或下降
下降
上升
探究一
函数单调性的定义
O
x
y
以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：
f(x)=x2
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
y
O
（-∞，0]上
随x的增大而减小;
[0，+∞）上
随x的增大而增大.
对区间D内
任意x1，x2
，
当x1图象在区间D逐渐上升
O
x
D
y
区间D内随着x的增大,
y也增大
x1
x2
f(x1)
f(x2)
M
N
思考该函数图像满足对区间D内任意
x1，x2
，
当x1x
x1
x2
D
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，
D称为f(x)的单调增区间
.
当x1)
<
f(x2
)，
增函数的定义.
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的
单调减区间
.
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1f
(x1
)>
f(x2
)，
设函数y=f(x)的定义域为I：
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？
（1）如果函数
y
=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那
么就说函数
y
=f(x)在区间I上具有单调性.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3）x1,
x2
取值的任意性.
【规律方法】
x
o
y=(x-1)2-1
1
2
-1
增区间为
增区间为
减区间为
x
o
y=2x+1
y
y
写出下列函数的单调区间：
【即时训练】
例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据
图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?
【解析】函数
的单调区间有
其中
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数．
整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并
说出所画函数的单调区间.
【解析】
单调增区间是
[8,12）,[13,18）;
单调减区间是
[12,13）,[18,20].
【变式练习】
例2.判断函数f(x)＝-3x＋2的单调性，并给出证明。
证明：任取x1，x2∈R，且x1所以，f(x1)-f(x2)=(-3x1＋2)-(-3x2＋2)
=-3(x1-x2)>0
即
f(x1)>f(x2)
由函数单调性的定义可知，函数f(x)＝-3x＋2在定义域R上是减函数。
【解析】判断函数在定义域内为减函数
①取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值,且x1②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),
并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;
③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;
④判断：根据定义得出结论.
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:
【规律方法】
画出反比例函数f(x)=
的图象.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
证明你的结论.
【变式练习】
函数图象如图
根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的.
【思考交流】
证明：
函数的
单调性
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
当c>0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相同;
当c<0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相反，
函数f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与其相同
函数f(x)与f(x)+c的单调性相同;
单调递增
单调区间
单调递减
图象
单调性的判断
（1）单调区间必须是函数定义域的子集
（2）若函数f（x)在其定义域内的两个区间A.B上都是增函数(或减函数)。一般不能简单认为f（x)在A∪B上是增函数
（3）函数单调区间的书写若在区间端点处有定义，则写成开区间或闭区间都可
数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
B
（2）.定义在R上的函数
f
(x)满足
f
(2)>
f(1)，则函数
f
(x)在R上是增函数；（
）
×
（1）.函数
f
(x)=
x2
在
是单调增函数；（
）
x
y
o
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
提示:在
不是单调的
提示:以偏概全，不具有代表性
2.
判断正误
×
3.函数
f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则
a的取值范围为________．
[4，+∞)
【解析】可利用函数图象求解.
4.已知f(x)是R上的增函数，若f(a)>f(1-2a),则a的
取值范围是
．
【解析】利用增函数的定义可知，a>1-2a,即
5.
若二次函数
在区间
上
单调递增，求a的取值范围.
二次函数
的对称轴为
,
由图象可知只要
，即
即可.
o
x
y
1
x
y
1
o
【解析】
如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.(共28张PPT)
第2课时
函数的最大值、最小值
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——
函数的最大值与最小值.
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.
理解函数的最大值和最小值的概念及几何意义（数学抽象）
能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值或值域（直观想象）
能利用函数的最值解决有关的实际应用问题（数学运算）
探究一
函数的最大值
1.观察下列两个函数的图象：
y
x
o
x0
图2
M
B
【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【提示】
f(x)≤M
思考1
这两个函数图象有何共同特征？
最高点的纵坐标即
是函数的最大值！
当一个函数f(x)的图象有最高点时，就说函数f(x)有最大值.
函数
在_______上为增函数，_______上
为减函数;图象有_____(最高（低）
)点，坐标为_____.
2.观察下面函数的图象，并回答问题
对任意
所以
y=4
是所有函数值中最大的，
故函数
f(x)有最大值4.
最高
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为D，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈D，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的
一个，并且是能够取到的.
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)
函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
【解析】函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又因为0∈[－1，2]，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
【即时训练】
2
图1
y
o
x0
x
m
x
y
o
x0
图2
m
1.观察下列两个函数的图象：
探究二
函数的最小值
思考:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？
提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.
2.函数
在_______上为增函数，_______上
为减函数；图象有_____(最高（低）
)点坐标为______.
观察下面函数的图象，并回答问题
对任意
所以y=-4是所有函数值中最小的,
故函数有最小值-4.
最低
当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.
仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？
提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在x0∈D,使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0)
,那么称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).
【思考交流】
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为D，如果存在实数N满足：
（1）对任意的
，都有f(x)≥N
；
（2）存在
，使得f(x0)=N.
那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的
一个，并且是能够取到的.
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.
因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.(
)
【解析】f(x)＝x2的最小值为0，不符合最小值定义，所以错误。
【即时训练】
×
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在
使得
.并不是所有满足
的函数都有
最大值M.如函数
,虽然对定义域上
的任意自变量都有
，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.
【规律方法】
由于2x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
所以，函数
是区间[2,6]上的减函数.
任取x1,
x2∈
[2,6]
，且x1＜x2
例1.已知函数
，求函数的最大值和最小值.
【解析】
因此,函数
在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4
.
【总结提升】函数在定义域上是减函数,必须进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.
已知函数f（x）=-x2+6x+9在区间[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求实数a，b的值．
【解析】因为y=-（x-3）2+18
因为a＜b＜3，所以当x=a时，
函数取得最小值ymin=-7；
当x=b时，函数取得最大值ymax=9；
即
解得：a=8或-2；b=0或6．又因为a所以a=-2；b=0．
【变式练习】
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
.
2.
利用图象求函数的最大(小)值.
3.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数
y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
【总结提升】
判断函数的最大(小)值的方法：
函数的最大
值、最小值
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素
在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域
直观想象：通过数形结合法求函数最大值与最小值，培养直观想象的核心素养
函数最值的求法
(1)图象法：对已知函数图象的用此法.
(2)配方法：对二次或通过换元得到的二次型函数适用
(3)单调性法：适用于可判断在闭区间上单调的函数
求解方法
概念
最大值
最小值
1.函数
在区间
上的最大值是_____
;
最小值是______.
【解析】函数
在［-2,-1］上为减函数，
当x=-2时，y=
；当x=-1时，y=-5，所以函数
在x∈［-2,
-1］
上的最大值为
,最小值为-5.
2.
函数f(x)=x2+4ax+2在区间
(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是(
)
A.a≥3
B.a≤3
C.a≥-3
D.a≤-3
D
【解析】选D.二次函数的对称轴为x=-2a
故只需-2a≥6,即a≤-3
(1).若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(
)
(2).一个函数可能有多个最小值.(
)
(3).如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(
)
3.
判断正误
【解析】
(1)M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.
(2)最大(小)值至多有1个
(3)值域确定，但不一定有最值.
×
×
×
4.
若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A.2
B.1
C.－1
D.无最大值
B
在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1.
【解析】选B.
生活坏到一定程度就会好起来，因为它无法更坏，努力过后，才知道很多事情，坚持坚持，就过来了。(共30张PPT)
§4
函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1
函数的奇偶性
第1课时
函数奇偶性的概念
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，
如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
思考：数学上有对称的函数图象吗？它们又体现了函数的什么样性质？
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义（数学抽象）
了解奇函数、偶函数图像的特征（直观想象）
会判断（或证明）函数的奇偶性（逻辑推理）
已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),
f(-2),
f(2),及f(-x)
,并画出它的图象.
f(-2)=(-2)?=4，
f(2)=4
f(0)=0,f(-1)=(-1)?=1,f(1)=1，
f(-x)=(-x)?=x?
f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)
(-x,y)
-x
x
f(-x)
f(x)
x
y
o
(
x,y)
f(-x)=f(x)
探究一
偶函数的定义
【解析】
思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？
函数图象关于y轴对称；对定义域内任意的自变量x都有
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任
意一个x，都有f(-x)=f(x)
，那么函数f(x)就
叫做偶函数.
例如，下图：
对定义域内任意的自变量x都有
对于定义在R上的函数f(x),若f(－3)=f(3),
则函数f(x)
是偶函数.
f(x)不一定是偶函数,仅有f(－3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.
【易错点拨】
若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,则a=______，b=______.
【解析】因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a=
又因为f(-x)=f(x)，
所以
x2-bx+1+b=
x2+bx+1+b,
由对应项系数相等得，-b=b，所以b=0.
0
【即时训练】
已知f(x)=x?,
求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.
f(-2)=(-2)?=-8，f(2)=8.
f(0)=0,f(-1)=(-1)?=-1，f(1)=1，
f(-x)=(-x)?=-x?
f(-1)=
-
f(1)
f(-2)=
-
f(2)
x
x
y
o
f(-x)=
-
f(x)
-x
f(-x)
f(x)
探究二
奇函数的定义
【解析】
思考:奇函数中，函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？
提示：如图，f(-x)=-x3=-f(x)，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数.
x
x
y
o
-x
f(-x)
f(x)
一般地，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意
一个x，都有
f(-x)=-f(x)
，那么函数
f(x)就叫做奇函数.
根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？
偶函数
偶函数
【即时训练】
奇函数
奇函数
【提升总结】
奇函数与偶函数定义中的三性
(1)对称性：奇、偶函数的定义域均关于原点对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个x都成立的；
(3)可逆性：f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数，f(-x)=
f(x)?f(x)是偶函数.
判断正误
(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.(
)
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.(
)
(3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有f(x)-f(－x)=0.
(
)
提示：
(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.
(2)正确.因为f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)=-f(x)，即
f(－0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故
f(－x)=-f(x)，则有f(x)+f(－x)=0.
√
√
×
【即时训练】
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
提示：求函数的定义域，判断f(x)与f(-x)的关系.
【解析】（1）对于函数f(x)=x4，其定义域是
.
因为对定义域内的每一个x，都有
所以，函数f(x)=x4为偶函数。
(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为
.
因为对定义域内的每一个x，都有
所以，函数f(x)=x5为奇函数.
(3)对于函数
，其定义域是{x|x≠0}.
因为对于定义域内的每一个x，都有
所以，函数
为奇函数.
（1）判断函数
的奇偶性.
（2）如图是函数
图象的一部分，如何
画出函数在整个定义域上的图象？
【变式练习】
(1)对于函数
，其定义域是
.由于对定义域内的任意x，都有
所以，函数f(x)是奇函数.
【解析】
(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：
（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.
（2）验证f(-x)=f(x)
，或者f(-x)=-f(x).
（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
【规律方法】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
既奇又偶函数
奇函数
偶函数
定义
定义域特征
非奇非偶函数
图象特征
函数奇偶性的几个结论:
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定这个函数为奇函数
(2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)
(3)
偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇
（1）判断函数奇偶性第一步，
先判断函数定义域是否关于原点对称
（2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则f(－2)＝________.
因为当x>0时，f(x)＝－x＋1，所以f(2)＝－2＋1＝－1.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝1.
【解析】
1
函数的定义域为R.因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数.
2.判断函数f(x)=x3＋x5的奇偶性
【解析】
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为( )
A.(2，5)
B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0)
D.(－2，0)∪(2，5)
D
因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
【解析】
4.已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2
020)＝3，则f(－2
020)＝( )
A.－7
B.－5
C.－3
D.3
因为f(2
020)＝a×2
0203＋b×2
020－2＝3，
所以a×2
0203＋b×2
020＝5，
所以f(－2
020)＝－a×2
0203－b×2
020－2
＝－5－2＝－7.
【解析】
A
f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
【解析】
吾爱吾师，吾更爱真理。
——亚里士多德(共24张PPT)
第2课时
函数奇偶性的应用
已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，你能结合奇函数与偶函数的性质将下图补充完整吗？
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.
通过函数奇偶性的应用，熟悉掌握转化、对称等思想方法
（逻辑推理）
会求函数图象的对称轴、对称中心，解决求值问题（直观想象）
探究一
根据函数奇偶性画函数图象
偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.
奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.
例1.画出下列函数的图象
（1）
（2）
提示：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.
（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.
【解析】（1）当
时，
其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，
与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).
此时函数图象在y轴右半部分如图所示：
根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.
（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）
根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.
根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。
设奇函数f(x)的定义域为［-5,5]，当x∈［0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，
（1）作出函数在［-5,0]上的图象.
（2）求使函数y＜0的x的取值范围.
【变式练习】
利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)．
【解析】
探究二
根据函数的奇偶性求函数解析式
例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.
（1）f(x)是偶函数；
（2）f(x)是奇函数.
分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求
当
时，如何用含x的表达式表示f(x).
能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.
根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义
域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
数就是f(x)=f(-x)，这样当
时，
，
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同
样处理.
（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，
当
时，
，
所以，当
时，
(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).
当
时，
，
所以，当
时，
【解析】
探究三
利用函数的奇偶性研究函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象
从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.
从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.
例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.
分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0)
上取值，然后作差，通过函数是奇函数，把函数在
(-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，
再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的
差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的
结论.
所以-f(x1)+f(x2)<0
，即f(x1)-f(x2)>0.
证明：在（-∞，0）上任取x1-x2>0
因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以
由于函数f(x)是奇函数，所以
根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.
函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.
【规律方法】
例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且
在[0,+∞)上是减函数，则
与
的
大小关系是________________.
提示：要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.
因为
又因为f(x)在［0,+∞)上是减函数,
所以
又因为f(x)是偶函数，所以
所以
【解析】
函数奇偶性的应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
利用奇偶性求分段函数求解析式，
求谁令谁
比大小时注意利用奇偶性将变量转化到同一区间
绘制补全函数图像培养直观想象，比大小解不等式培养逻辑推理的核心素养
利用定义法证明函数奇偶性一定要注意先求定义域
利用奇偶性求分段函数解析
式，注意灵活运用定义
利用奇偶性求函数解析式
奇偶性的运算性质
利用奇偶性求参数值比大小、解不等式
奇偶性与单调性的关系
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值为_____.
因为f(x)为奇函数，
f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),
所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,
f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.
-2
【解析】
2.函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小．
【解析】因为f(x)是偶函数，
所以f(1)＝f(－1),
又因为f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1，
所以f(－2)＜f(－1)＝f(1)，
即f(－2)＜f(1).
3.已知函数f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，且
在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，
求实数a的取值范围．
【解析】因为函数f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，
且在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，
则f（a+1）＜f（3-a），
解得-1＜a＜1.
4.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(3)B.f(－π)C.f(3)D.f(4)C
【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的偶函数所以f(－π)＝f(π)，
f(－4)＝f(4)，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π
＜
4
所以f(3)
＜
f(π)
＜
f(4)即f(3)
＜
f(－π)
＜
f(－4).
但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。(共23张PPT)
4.2
简单幂函数的图象和性质
我们先看几个具体问题:
1.如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报
纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数；
2.如果正方形的边长为ｘ，面积为ｙ,这里ｙ是
关于ｘ的函数;
y=x
y=x2
3.如果正方体的棱长为ｘ,
正方体的体积为ｙ,
这里ｙ是关于ｘ的函数;
4.如果一个正方形场地的面积为ｘ,
这个正方
形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;
5.如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的
平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.
思考：这五个函数有没有什么样的共同特征呢？
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
2.通过具体实例，结合y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝
的图像，理解他们的变化规律，了解幂函数。
1.通过具体实例，了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；会绘制
五个代表性幂函数图像，理解其变化规律（直观想象、数学运算）
2.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题（数学运算）
（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）幂的系数为1;x的系数为1
（4）只有一项；
都形如 这个样子！
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
探究一
幂函数的概念
共同特征
一般地,形如
的函数叫做幂函数，其中x是
自变量，a是常数.
中
前面的系数是1，后面没有其他项.
幂函数
【即时训练】
例1.下列函数中，哪几个函数是幂函数？
答案:(1)（6）
幂函数的
共同特征
C
【变式练习】
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：
探究二
幂函数的图像与性质
x
y
O
观察并找出各函数图象的共同点
x
y
O
（2）在第一象限内，
当α>0时，图象随x的增大而_____
当α<0时，图象随x的增大而_____
（1，1）
（1）图象都经过点_________
（1，1）
上升
下降
常见的幂函数的性质
函数
性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点
R
R
[0,+∞)
{x|x∈R,且x≠0}
R
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R,且y≠0}
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
增
x∈[0,+∞)时，增
x∈(-∞,0]时，减
增
增
x∈(0,+∞)时，减
x∈(-∞,0)时，减
(1,1),
(0,0)
(1,1),
(0,0)
(1,1),
(0,0)
(1,1),
(0,0)
(1,1)
特征
【提升总结】常见幂函数的特征
例2.证明幂函数
在
上是增函数.
证明：任取
则
因为
所以
即幂函数
在
上是增函数.
幂函数
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
待定系数法：求幂函数解析式
数形结合法：研究幂函数的性质
单调性法：比较幂值的大小
幂函数的判断注意函数
的系数必须是1
利用幂函数的图象解决问题，要注意图象过的定点
数学抽象：通过生活中的具体实例抽象出幂函数的概念、通过几个常见幂函数的图象抽象出幂函数的图象与性质，培养数学抽象的核心素养
α＞1时，图象下凸:
概念
性质
图象
α＞0时在第一象限内为增函数，且α越大上升速度越快
α＜0在第一象限内为减函数，且α越小下降速度越快
0＜α＜1时，图象上凸
1.下列所给的函数中是幂函数的为( )
A.y＝2x5
B.y＝x3＋1
C.y＝x－3
D.y＝3x
【解析】选项C.符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
C
2.幂函数图象过点
(2,4),则它的单调增区间是________.
【解析】
设幂函数f（x）=
，
则
=4，解得a=2，
所以f（x）=
，
其单调递增区间为（0，+∞）
（0，+∞）
3.若
，求实数
的取值范围.
解得
【解析】因为
4.已知幂函数y＝f(x)＝
，其中m∈{x|－2满足：
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)
的值域.
因为m∈{x|－2当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
【解析】
想象比知识更重要。
——爱因斯坦(共25张PPT)
§2
函数
2.1
函数概念
第1课时
函数概念
在初中，我们用函数刻画、分析了具体的“弹力”“匀速运动”等实际问题之后，学习了它们的一般形式----正比例函数。正比例函数舍去了“弹力”“匀速运动”等实际背景，强化了数与数的对应关系，是抽象的函数模型。
在初中，我们学习了三个重要的函数类型：我们一块儿来回顾一下
（1）一次函数
（2）一元二次函数
（3）反比例函数
其中k,a,b,c为常数，且k≠0,a≠0
对于每一个x的取值都有唯一确定的y值和它对应，这是函数的基本特征。
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
能够用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）
体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（直观想象）
了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域（数学运算）
探究一
函数的概念
概念
一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
____的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
1.如何理解“y=f(x)”？
提示：当a为常数时，f(a)表示的是自变量；x=a时对应的
函数值，是一个常数;而f(x)表示y是变量x的函数,是函
数符号.
提示：符号y=f(x)表示“
y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。
2.f(x)与f(a)(为常数)的区别与联系
对于函数y=f
(x)，以下说法正确的有(
)
①y是x的函数
②对于不同的x,y的值也不同
③
f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量
④
f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
【即时训练】
例1
下列图形中不是函数图象的是（
）
提示：任何一个x只能有唯一确定的y与它相对应
A
【解析】选A.A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义.
例2
已知
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值.
【解析】
求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
【规律方法】
探究二
求函数的定义域
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.
要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
【解析】
例3
已知函数
(1)求函数的定义域.（2）求
的值.
(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.
提示：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
【解析】（1）
有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，
有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数
的定义域就是
.
(2)
（3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.
已知f(x)=3x－2,
x∈{0,1,2,3,5}，
求f(0),
f(3)和函数的值域.
【解析】
值域为
【变式训练】
求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.
【规律方法】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
概念
三要素
函数
定义域
对应关系
值域
两数集间的对应
定义域的求法：
（1）分母不为零
（2）偶次根式被开方式非负
（3）自变量的实际意义
1.判断能不能构成函数要注意一个x值只能对应y值
2.求函数定义域前，尽量不要对函数解析式化简变形，以免引起定义域的变化
1.数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养
2.数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素养
1.下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
A
【解析】选A.根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1.
2.
判断正误
?
在函数的定义中，集合B是函数的值域.(
)
?
根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(
)
【解析】
?在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集
?根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应
×
×
3.下列可作为函数y=
f(x)的图象的是（
）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
Ｄ
【解析】关注是否一个自变量的值仅对应唯一一个函数值
4.下列函数中定义域为R的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.
C
先把书读厚，再把书读薄。
——华罗庚(共23张PPT)
第2课时
函数概念的综合应用
已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}
思考：函数f(2x＋1)的定义域为？
通过实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的值域。
了解分段函数的概念（数学抽象）
会判断两个函数是不是同一个函数（逻辑推理）
会求一些简单函数的值域（数学运算）
探究一
求抽象函数定义域
例1.已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}求函数f(2x＋1)的定义域？
提示：上节课学过的关于求具体函数定义域的方法无法解决该问题
我们该怎样解决这类问题呢？
【解析】因为函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，
所以－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为
{x|－3≤x≤2}.
所以对函数f(2x+1)，有－3≤2x+1≤2，解得
即函数f(2x+1)的定义域为{x|
}
【规律方法】
复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.
探究二
求简单函数值域
例2.求下列函数的值域
提示：求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域优先原则，再根据具体情况求y的取值范围.
【解析】（1）
配方法
观察法
（2）
求函数值域的常用方法
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.
(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
【规律方法】
(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
探究三
分段函数
例3.某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量（单位：KW·h）的关系是
对于变量“用电量x”的每一个值，变量“应缴电费y”都有唯一的值与之对应，所以应缴电费是用电量的函数。
形如上述的函数，一般叫做分段函数
探究四
同一函数的判断
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.
例4
下列各组函数是同一函数的是？
【解析】（1）f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；（2）f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；（3）f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；（4）f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；（5）f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数.
【变式训练】
试判断
是否为同一函数？
不相同.对于函数
，由x－1≥0，x＋1≥0，解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数
，由
(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数.
【解析】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
抽象函数
同一个函数
常见函数的
定义域与值域
定义域相同
对应关系相同
同一个函数的判断方法：
一看定义域是否相同；
二看对应关系是否相同
函数值域的求法：
(1)观察法：适于简单函数的值域；
(2)配方法:：适于“二次函数”类值域；
(3)换元法:运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数；
(4)分离常数法：将有理分式，转化为“反比例函数类”的形式。
（1）判断同一个函数时函数式化简须是等价变形自变量与用哪个字母表示无关，
（2）抽象函数f(g(x))的定义域由f(x)与g(x)共同决定
函数概念的
综合应用
数学运算：通过函数值域的求法，培养数学运算的核心素养
数学抽象：通过同一个函数的判断，培养数学抽象的核心素养
1.
【解析】
由题意知:
2.求下列函数的值域
3.求出下列函数的值域。
解：
所以函数的值域为
分离常数法
换元法
4.已知下列四组函数，其中是同一函数的是( )
A.没有
B.仅有（2）
C.有（2）（4）
D.有（2）（3）（4）
C
选C.对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.
【解析】
当你快顶不住的时候，磨难也快顶不住了！(共30张PPT)
2.2
函数的表示法
第1课时
函数的表示法
已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
思考：在初中我们还学过函数的哪些表示方法？
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.会求函数的解析式.
掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数解析式（数学运算）
在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数（数学抽象）
能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的变化趋势（直观想象）
探究一
函数的三种表示法
在初中我们学习了函数的哪几种表示法？每种表示法的意思是什么？
表示法
定义
解析法
用____________表示两个变量之间的对应关系
图象法
用________表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出________来表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
图象
表格
1.解析法
优点:
①函数关系清楚、精确；②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.解析法是中学研究函数的主要表达方法.
2.列表法
观察下面的表格，思考下列问题.(a，b，c∈R)
（1）上述表格表示y是x的函数吗？
提示：是.根据函数的定义知，对x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应，因此y是x的函数.
x
a
b
c
y
0
0
0
（2）所有的函数都能用列表法来表示吗？
提示：并不是所有函数都能用列表法来表示，如函数y=2x+1,x∈R.因为自变量x∈R不能一一列出，所以不能用列表法来表示.
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表,银行里的“利率表”等.
优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
3.图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
如：一次函数y＝kx＋b
(k＜0、b＞0)的图象是一条直线；
y
O
x
优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.
图象法可以较好反映函数的哪些要素？
函数值随自变量变化的趋势，定义域，值域.
下图是我国人口出生率变化曲线．
你能说出函数的三种表示法的优缺点吗？
优
点
缺
点
列表法
图象法
①函数关系清楚;
②容易从自变量的值求出其
对应的函数值；
③便于研究函数的性质.
不够形象直观，而且并不是所有的函数关系式都可以用数学式子表示.
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
只适用于自变量数目较少的函数.
能形象直观的表示出函数的变化情况．
不精确
解
析
法
设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={y|0≤y≤2}，给
出下列四个图象，其中能表示集合M到N的函数关系
的是_________.
②
【即时训练】
例1
某种笔记本的单价是5元，买
个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
这个函数的定义域是数集｛1,2,3,4,5｝
列表法表示如下：
用解析法表示为
【解析】
用图象法可将函数表示为下图
．
．
．
．
．
0
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
x
y
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
定义域要注意实际背景
(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？
(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
提示：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).
提示：函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域.
【思考交流】
如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数．
x
25cm
A
B
C
D
提示：
【变式训练】
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
例2
下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
测试
序号
成
绩
姓名
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.这对我们的分析很有帮助.
从图中我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀，张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大，赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式.
求函数解析式的常用方法有：
1.待定系数法.
2.换元法(构造法).
3.消元法.
探究二
求函数解析式
例3
已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x－1，求f(x)的解析式.
设f(x)=kx+b（k≠0）
则
f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b
=k2x+kb+b=4x－1
待定系数法
待定系数法适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数解析式.
【解析】
例4
已知
，求
换元法适用于已知f(g(x))的解析式,求f(x).
换元法
【解析】
例5
已知
，求
解得
方程组法
适合:
同时含有
【解析】
函数的表示法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求解析式的方法：
（1）待定系数法：函数类型已知时设出函数的一般式，然后利用条件求待定系数
（2）换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式
（3）方程组法:根据已知条件构造方程组，进而求出函数解析式
(1)用换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围
(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题
数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养
解析法
列表法
图象法
4x－5或－4x＋
1.
2.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的站数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价y
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法表示？
3.已知f（x+1）=2x2+1，则f（x-1）=________．
2x2-8x+9
【解析】设x+1=t，则x=t-1，
f（t）=2（t-1）2+1=2t2-4t+3，
f（x-1）=2（x-1）2-4（x-1）+3
=2x2-4x+2-4x+4+3=2x2-8x+9．
4.已知
，求
解得
【解析】
有志者，事竟成，百二秦关终属楚
苦心人，天不负，三千越甲可吞吴(共24张PPT)
第2课时
分段函数
如图，动点P从边长为4的正方向ABCD的顶点B开始，顺次经过点CDA绕正方形的边界运动，最后回到点B。用x表示点P运动的路程，y表示?APB的面积，你会求y关于x的函数解析式吗？
（当点P在AB上时，规定S?APB=0）
P
A
B
D
C
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
了解分段函数的概念（数学抽象）
会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像（直观想象）
能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题（逻辑推理）
观察下列函数
分段函数
探究一
分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量的
不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常
称为分段函数.
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
（3）求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
【规律方法】
以下叙述正确的有（
）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则，但它是一个函数.
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D1∩D2≠?也能成立.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
C
【即时训练】
1.求分段函数的函数值
例1
已知函数f(x)=
x+2,
x≤－1，
x2,
－1＜x＜2，
2x,
x≥2.
(2)若f(x)=3,求x的值.
(1)求
的值;
【解析】（1）
（2）
已知
求
的值.
函数值作为自变量
【变式练习】
【解析】
1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
【规律方法】
在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同.
例2
画出函数
的图象.
-2
-3
0
1
2
3
x
y
1
2
3
4
5
-1
2.画分段函数的图象
已知函数y=|x+1|+|1-x|．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）画出该函数的大致图象．
（1）函数y=|x+1|+|1-x|=
（2）据（1）中函数的解析式画出图象如图所示：
【变式训练】
【解析】
例3
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按
5公里计算）.
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，
写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
3.求分段函数的解析式
y=
2,
0≤
5
3,
5
<
x
≤
10
4,
10
<
x
≤
15
5,
15
<
x≤20
设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x的取值范围是（0，20]
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如右图:
y
○
2
O
5
10
15
20
1
3
4
5
x
○
○
○
【解析】
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨).
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
14.4x,0≤x≤
,
20.4x-4.8,
＜x≤
,
24x-9.6,x＞
.
【变式训练】
【解析】(1)依题意得y=
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈[0,
]时，y≤f(
)＜26.4；
当x∈(
,
]时，y≤f(
)＜26.4；
当x∈(
,+∞)时，令24x-9.6=26.4，得x=1.5.
所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨)，
缴水费4×1.8+3.5×3=17.7
(元)，
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).
已知函数值求字母的值的四个步骤
分段函数
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求值、作图、应用
(1)讨论：对字母的取值范围分类讨论.
(2)代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中.
(3)求解：通过解方程求出字母的值.
(4)检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内..
分段函数是一个函数，而不是几个函数
作分段函数图象时要注意衔接点的虚实
数学运算：通过分段函数的求值，培养数学运算的核心素养
1.函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
A
B
C
D
【解析】由f(－1)＝2，知图象过点(－1，2)，排除A，C，D，故选B.
B
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域.
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1].
【解析】
3.某质点在30s内运动速度vcm/s是时间t的函数,它的图象如右图，用解析式表示出这个函数.
【解析】v(t)=
t+10,
(0
≤
t<5)
3t,(5
≤
t＜10)
30,(10
≤t
＜20)
-3t+90,(20
≤
t≤30)
30
t/s
10
20
10
30
v/cm·s-1
O
15
20
25
5
4.作出下列函数图象，并求值域：
(1)题
(2)题
（1）因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y=x2-2x在区间[0,3)上的一部分图像，值域[-1,3)
（2）分别画出[0,2]和（2,3]时的图像，如图所示，值域为[-1,2]
【解析】
处于低谷时，四面都是上坡路。
