(共26张PPT)
第四章
对数运算与对数函数
§1对数的概念
把纸沿着中线对折，若要使折得页数为128页，
需折多少次？
设需要折x次，则由题意得
实例1
如何计算x的值呢？
我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…….1个这样的细胞分裂x次后,得到细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x，x∈N
表示。
实例2
1
2
4
y=2x
…
即知道8=2x，1
024=2x，8
192=2x，如何求x？
为了解决这类问题，引进一个新数——对数．
反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以得到8个、1
024个、8
192个……？已知细胞个数为y，如何求分裂次数x?
上述问题都是已知底数和幂的值，求指数的问题，
1.理解对数的概念．2.掌握指数式与对数式的互化．
3.理解并掌握对数的基本性质．
通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理素养与数学运算素养．
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
探究点1
对数的概念
思考： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
对数是通过指数幂的形式定义出来的，由此可以看出，对数运算是由指数幂运算衍生出来的．
当a＞0，且a≠1时，
两者在形式上有所不同，其中字母x，a，N
都各自有确切的含义，且名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
?
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
【特别提醒】
【特别提醒】
【特别提醒】
【即时训练】
探究点2
两个特殊底数的对数
【即时训练】
【即时训练】
B
3
进步是从看到自己的落后开始的；高明是从解剖自己的弱点开始的。(共31张PPT)
§2
对数的运算
底
底
指数
对数
幂
真数
上一节中我们学习了：
1.指数和对数的关系
2.对数的性质：
（1）负数和零没有对数
（2）
（3）
已知指数运算法则
：
对数是否也有自己的运算法则呢？
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化简、求值和证明；2.学习用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.了解对数在简化运算中的作用.
1.运用新知逻辑推理能力培养，用数学思维思考世界；
2.通过对对数的运算，培养逻辑推理能力.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
思考1：
化为对数式，
结合指数的运算性质能否将
化为对数式？
将指数式
这两个对数式有何关系？
探究点1
对数的运算性质
试一试:由
得
由
得
从而得出
思考2：结合前面的推导，由指数式
又能得到什么样的结论？
试一试:由
得
又能得到什么样的结论？
试一试:由
得
思考3：结合前面的推导，由指数式
结论：对数的运算性质
(a>0,且a≠1;
c>0,且c≠1;
【即时训练】
求下列各式的值：
（1）
（2）
（2）
解：(1)
【即时训练】
问题1:
使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？
问题2:
科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，怎么计算log215？
探究点2
换底公式
计算器上的“log键”实质是常用对数键lg。
写成指数式，得
换底公式真神奇，
换成新底可任意.
原底加底变分母，
真数加底变分子.
（底为非1的正数）
思考1:
与
有什么关系？
互为倒数
思考2:
与
有什么关系？
设a,b>0且均不为1,则
真数中的指数放于分子中,底数中的指数放于分母中
【规律总结】
对数运算法则
a>0，且a?1，M>0，N>0
能够证明
牢固掌握
熟练应用
换底公式真神奇，
换成新底可任意.
原底加底变分母，
真数加底变分子.
（底为非1的正数）
1.（log29）?（log34）=（ ）
【解析】选D.
D
不同底数的对数运算要考虑换底公式
C
D
B
不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。(共21张PPT)
§3
对数函数
3.1对数函数的概念
我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．
函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.数学抽象：通过具体实例引入对数函数的定义，培养数学抽象的核心素养.2.数学建模：通过对数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
思考1： 对一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，根据指数与对数的运算关系，转换成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否将x看成是y的函数？
根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y＝ax单调递减；当a＞1时，y＝ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对任意一个y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数．
探究点1
对数函数的概念
习惯上，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x＝logay(a＞0，且a≠1)改写为：y＝logax(a＞0，且a≠1)．这就是对数函数．
思考2：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确定其定义域，才能确定下来这个函数．现在我们已经确定了一般的对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通过与指数函数对比，你能给出一般的对数函数的定义域吗？
定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmic
function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0，＋∞)．于是就得到了：
由对数函数的定义，可知对数函数具有以下基本性质：
（1）定义域是（0，+∞）
（2）图像过定点（1,0）
【解析】选B.设函数y=f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1).
因为对数函数y=f(x)的图象过点M(9,2),
所以2=loga9,所以a2=9.因为a>0,所以a=3.
所以此对数函数的解析式为y=log3x.
B
【即时训练】
探究点2
反函数
定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmic
function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
1.已知对数函数的图象过点M(9,-2),则此对数函数的解析式为
( )
A.y=log2x
B.y=log3x
C.y=log
x
D.y=
【解析】选C.设函数f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1),因为对数函数的图象
过点M(9,-2),
所以-2=loga9,所以a-2=9,a>0,解得a=
.
所以此对数函数的解析式为y=log
x.
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象
经过点(
,a),则f(x)=
( )
A.log2x
B.
C.2-x
D.x2
【解析】选B.函数y=ax的反函数为y=logax,将点(
,a)
代入得loga
=a,所以a=
.
课堂检测·素养达标
3.下列各项中表示同一个函数的是
( )
A.y=2log2x与y=log2x2
B.y=10lg
x与y=lg
10x
C.y=x与y=
D.y=x与y=ln
ex
【解析】选D.对于A中两个函数的定义域不同,因此不是同一个函数.同样B,C中两个函数的定义域也都不同,故不是同一个函数.
4.函数y=log9x的反函数是 .?
【解析】由y=log9x得x=9y,所以其反函数为y=9x.
答案:y=9x
任何时候，我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。(共25张PPT)
3.2对数函数y=log2x的图象和性质
对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，我们应该如何研究对数函数的图象和性质？需要研究对数函数的哪些性质？
由于有了指数函数的学习经历，所以需要考虑不同的底数a对函数的影响．
类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，首先要作出对数函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象．
按照函数研究的一般过程，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性．另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点（0，1），所以对数函数也可能会过某个定点．最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系．
1.会画对数函数y=log2x的图象；2.对数函数y=log2x的性质及其应用；3.会求简单对数函数的定义域和值域.4.通过比较、对照的方法，对比指数函数，探索研究对数函数的性质，学会研究函数性质的方法.
1.通过画对数函数y=log2x的图象，培养数形结合素养；2.直观想象：通过指数函数图象的应用，培养直观想象的核心素养3.逻辑推理：通过单调性的应用，培养逻辑推理的核心素养.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
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吧！
进
走
课
堂
（1）作y=log2x的图象
…
…
列表
作图步骤:
①列表,
②描点,
③用平滑曲线连接。
探究点1
用描点法画函数
的图象
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
探究点2
由指数函数的图象得到对数函数的图像
观察函数y=log2x
的图象填写下表
2
1
-1
-2
1
2
4
O
y
x
3
图象特征
代数表述
定义域:
(0,+∞)
值
域:
R
增函数
在(0,+∞)上是
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升
探究点3
用描点法画函数
的图像
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
O
y
x
3
x
1
2
4
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
…
1
4
这两个函数的图象关于x轴对称,知道其中一个函数图象能否作出另一个函数图象？
图象特征
代数表述
定义域:
(
0,+∞)
值
域:
R
减函数
在(0,+∞)上是
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降
观察函数
的图象填写下表
2
1
-1
-2
1
2
4
O
y
x
3
互为反函数的两个函数图象关于y=x直线对称
对数函数
数形结合
图
象
性
质
概
念
解析式具有严格形式
注意底数与1的大小关系
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
D．y＝lnx
D
2.函数y=log2（x-a）的定义域为（1，+∞），
则（ ）
A．a＞1
B．0＜a＜1
C．a＜0
D．a=1
【解析】选D.要使函数y=log2（x-a）的解析式有意义,则x-a＞0，即x＞a，又因为函数y=log2（x-a）的定义域为（1，+∞），故a=1.
D
A
4.已知全集U=R，集合A={y|y=log0.5x，x＞2}，B={y|y=2x，x＞2}，则
U（A∪B）等于（ ）
A.（-∞，4]
B.[-1，4]
C.（-1，4）
D.[1，+∞）
【解析】选B.因为A={y|y=log0.5x，x＞2}={y|y＜
-1}，B={y|y=2x，x＞2}={y|y＞4}，
所以A∪B={y|y＜-1或y＞4}
所以
U（A∪B）={y|-1≤y≤4}=[-1，4].
B
6.在y=log（a-2
）（5-a）中，实数a的取值范围
是_________________．
2＜a＜3或3＜a＜5
即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。(共28张PPT)
3.3对数函数y=logax的图象和性质
思考 在4.3.2中研究指数函数的图象和性质时，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如
和
，它们的图象是否也有某种对称关系呢？用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数
的图象，并与函数
的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数
的图象，画出函数
的图象？
利用换底公式，可以得到
．因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以
图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在函数
的图象上，反之亦然．
由此可知，底数互为倒数的两个对数函数
的图象关于x轴对称．根据这种对称性，
就可以利用
的图象画出
的图象．
如右图所示．
1.掌握对数函数y=logax的图象和性质；2．掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．
1.通过对对数函数图象和性质的应用，体会数学抽象素养.
2.通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
思考 为了得到对数函数
(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝3，a＝4，a＝
，
a＝
，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数
(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．
探究点1
对数函数y=logax的图象和性质
选取底数a的若干值，例如
a＝3，a＝4，a＝
，
a＝
，利用信息技术画出图象，如下图．
(1)图象和性质:
0
a>1
图
象
性
质
①定义域:
(0，+∞
)
②值域:R
③过定点(1,0),即x=1时,y=0
④当x>1时,y<0;当00
④当x>1时,y>0;当0⑤在定义域(0，+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
⑤在定义域(0，+∞)上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大
(2)本质:作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象,观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们的共性即对数函数的性质;
(3)应用:①比较大小;②求定义域、值域;③解不等式;
④求参数的范围.
例6 设a>0,且a≠1，求下列函数的定义域：
（1）y=logax2;
(2)
y=loga(4-x).
例7 比较下列各题中两个数的大小：
（1）log25.3，log24.7；
（2）log0.27，log0.29；
（4）loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)．
（3）log3π，logπ3；
解:（1）因为底数2＞1,所以对数函数y＝log2x在定义域（0,+∞）
是增函数，由5.3>4.7,得
log25.3>log24.7．
（2）因为底数0<0.2<1,所以函数y＝log0.2x在定义域（0,+∞）
是减函数，由7<9,得
log0.27>log0.29．
（3）因为底数3>1,所以函数y＝log3x在定义域（0,+∞）
是增函数，由π>3,得
log3π>log33=1．
同理可得1=logππ>logπ3.
因此
log3π>logπ3.
（4）对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1，
而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此需要对底数进行分
类讨论.当a>1时,函数y＝logax在定义域（0,+∞）上是增函数，此时
由3.1<5.2，得
loga3.1（0,+∞）上是减函数，此时由3.1<5.2，得
loga3.1>loga5.2.
思考 选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如
a＝2，a＝3，a＝4，a＝
，a＝
，
a＝
，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？根据你所概括出的结论，写出对数函数
(a＞0，且a≠1)的变化规律，等等．
探究点2
a的变化对函数y=logax的图象和性质影响
选取底数a的若干值，例如
a＝2，a＝3，a＝4，a＝
，a＝
，
a＝
，利用信息技术画出图象，如下图．
【规律总结】
一、a变化对图像的影响
1．设a＝log3π，b＝log2
，c＝log3
，则
( )．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
A
D
3.已知a=
4,b=log45,c=0.50.4,则
( )
A.aB.aC.cD.c【解析】选B.因为
<
=0,log45>log44=1,0<0.50.4<0.50=1,
所以a4.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .?
【解析】令x-3=1,得x=4,则y=-1,所以P(4,-1).
答案:(4,-1)
在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光。(共22张PPT)
§4
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番.
兔子每年能生产4到6次，一窝6-10只
1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过.
这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？
请进入本节的学习！
1.理解指数函数、幂函数、对数函数增长速度；
2.对指数函数、幂函数、对数函数增长进行比较.
通过对指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，培养数学运算素养.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
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堂
探究点1
幂函数与对数函数的增长情况
幂函数与对数函数增长速度的比较
幂函数y=xc(x>0,c>0)比对数函数y=logbx(b>1)增长快,而且快很多.当b>1,c>0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快.
探究点2
指数函数与幂函数的增长情况
指数函数与幂函数增长速度的比较
当x的值充分大时,指数函数y=ax(a>1)比幂函数y=xc(x>0,c>0)增长快,而且快很多.当a>1,c>0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增长快.
例
(1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lg
x和指数函数y=2x的图象,并比较它们的增长差异;
(2)试着概括一次函数y=kx(k>0),对数函数y=logbx(b>1)和指数函数y=ax(a>1)的增长差异;
(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
答案:(1)
①y=2x的图象在(0,+∞)上匀速上升;
②y=2x的图象在(0,+∞)上上升越来越快;
③y=log10x的图象在(0,+∞)上上升越来越慢.
(2)①y=kx(k>0)的图象在(0,+∞)上匀速上升;
②y=logbx(b>1)的图象在(0,+∞)上增长越来越慢;
③y=ax(a>1)的图象在(0,+∞)上增长越来越快.
(3)直线上升→匀速上升,对数增长→缓慢增长,指数爆炸→增长越来越快.
1.对数函数y=logbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长的越来越慢,图象渐渐地接近与x轴平行,尽管在x的一定变化范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时就会有logbx2.对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xc(x>0,c>0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.
3.当底数a>1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,人们称这种现象为“指数爆炸”.
【总结提升】
辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=
的衰减速度越来越慢.
( )
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
( )
(3)对应任意x∈(0,+∞),总有2x>x2.
( )
提示:(1)√.由函数y=
的图象可知其衰减速度越来越慢.
(2)√.增长速度不变时图象为直线,故是一次函数.
(3)×.当x=2时,22=22.
【即时训练】
三种函数的性质及增长速度比较
指数函数
对数函数
幂函数
解析式
y=ax(a>1)
y=logbx(b>1)
y=xc(c>0)
单调性
在(0,+∞)上单调递增
图象(随x的增大)
趋向于和x轴
_____
趋向于和x轴
_____
逐渐上升
增长速度(随x的增大)
y的增长速度
越来越___
y的增长速度
越来越___
y的增长速度
_____
归
纳
总
结
总会存在一个x0,当x>x0时,___________
垂直
平行
快
慢
较快
ax>xc>logbx
1.下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=2
020x
B.y=2
020x
C.y=log2
020x
D.y=2
020
B
2.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意的序号是(
).?
A.y=3×1.04x
B.y=20+x10
C.y=40+lg
(x+1)
D.y=80.
A
3.有一组实验数据如表所示:
下列所给函数模型较适合的是( )
A.
B.y=ax+b(a>1)
C.
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
C
【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
4.(多选题)如图,能使得不等式log2x)
A.x>2
B.x>4
C.0D.2 BC
修凿可以使道路平直，但只有崎岖的未经修凿的道路才是天才的道路.