(共25张PPT)
第五章
函数应用
§1
方程解的存在性及方程的近似解
1.1利用函数性质判定方程解的存在性
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法
今天我们来学习方程的根与函数的零点！
你会求什么方程的根呢？
1.理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性.2.学习函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.3.学习掌握求函数的零点.
1.通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
探究点1
零点
零点指的是一个实数，
不是一个点
方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
?函数y＝f(x)有零点
结论
现在知道
如何求没有公式的方程的根了吗？
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
探究点2
零点存在定理
注意：
1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.
2.利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.
3.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但f(-1)·f(1)>0.
4.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上的一条连续不断的曲线.若f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
答案:×
【解析】选B.因为f(-2)=-11<0,f(-1)=2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)·f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
【即时训练】
θ
函数f(x)=x(x－4)的零点为（
）
A．(0，0)，(2，0)
B．0
C．(4，0)，(0，0)，
D．4，0
D
【解析】选D.由x(x－4)=0得x=0或x=4.
注意：函数的零点是实数，而不是点.
解方程是求函数零点的一种方法
【即时训练】
方程有实根
函数的图象与
轴有交点
函数有零点
三个等价关系
零点
代数法
图象法
零点的求法
零点的存在性定理
1.知识结构
2.二次函数的零点与二次方程的实根的关系
判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点
有两相异实根x1,x2(x1有两相等实根x1=x2
没有实根
有两个零点x1,x2
有一个二重零点x1=x2
没有零点
1.在二次函数
中，ac<0,则其零点的个数为（ ）
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则
的零点个数（ ）
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
D
B
3
5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点为
-1?（0，1），所以a≠0；??
（2）当a≠0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，即二次函数f（x）=ax2-x-1在（0，1）内恰有一个零点，所以f（0）?f（1）＜0，即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．故a的取值范围为（2，+∞）．
如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了.(共29张PPT)
1.2利用二分法求方程的近似解
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果你是维修工人，你会爬上每根线杆测试吗？想一想，怎样工作最合理？
想一想
两线杆之间的距离大约是30-50米
设闸房和指挥部的所在处为点A,B,
A
(闸房)
这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
C
B
（指挥部）
D
E
要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即两三根电杆附近，最多查几次就可以了？
7次
取中点
这种解决问题的方法，就是二分法.
1.理解二分法的原理及其适用条件．2.掌握二分法的实施步骤．3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
1.通过对二分法概念的学习，培养数学抽象素养．
2.通过利用二分法求函数零点的近似解，培养数学运算素养．
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探究点1
二分法的概念
例1
已知函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点.你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？
列出下表：
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3）
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0
2.562
5
f(2.562
5)>0
f(2.5)<0,f(2.562
5)>0
（2.5，2.562
5）
f(2.531
25)<0
2.531
25
想一想维修工人的维修方法
问题：如若要求精确度为0.01，怎么找零点？
怎样才算达到精确度了呢？
根所在区间
区间端点函数值符号
中点值
中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3）
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0
2.562
5
f(2.562
5)>0
（2.531
25，2.562
5）
f(2.5)<0
f(2.562
5)>0
（2.5，2.562
5）
f(2.531
25)<0
f(2.562
5)>0
f(2.531
25)<0
2.539
062
5
2.546
875
（2.531
25，2.546
875）
2.531
25
f(2.539
062
5)>0
f(2.531
25)<0
f(2.546
875)>0
（2.531
25，2.539
062
5）
f(2.546
875)>0
f(2.531
25)<0,
f(2.539
062
5)>0
列出下表：
由于
所以，可以将
作为函数
零点的近似值，也即方程
的近似根.
注意精确度
【即时训练】
A
1.确定区间
，验证
，给定精确度
.
2.求区间（a,b）的中点c.
3.计算
（1）若
，则c就是函数的零点.
（2）若
,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)).
（3）若
,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).
即若
，则得到零点近似值a(或b）；
4.判断是否达到精确度
：
否则重复步骤2～4．
探究点2
二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤：
用二分法求方程
f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解寻找解所在区间的方法：
（1）图象法:先画出y
=
f(x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围.
（2）函数法:把方程均转换为
f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.
【提升总结】
利用二分法求方程近似解的思想源于零点存在定理.利用二分法求方程近似解的过程，可以用图表示:
其中:1.“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间；
2.新区间的一个端点是原区间的中点，另一个端点是原区间两个端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号.
探究点2
抽象概括
选定初始区间
取区间的中点
得到新区间
选定区间内任意一个数
中点函数值为零
新区间的长度小于精度
结束
否
是
3.在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定往往需要通过分析函数的性质和试算.初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小.
4.若方程f（x）=0，有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值.
选定初始区间
取区间的中点
得到新区间
选定区间内任意一个数
中点函数值为零
新区间的长度小于精度
结束
否
是
【即时训练】
A
二分法
定义
求函数零点近似值的步骤
三种思想
逼近思想
函数思想
算法思想
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
口
诀
B
B
B
（2，3）
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。(共25张PPT)
§2实际问题中的函数模型
2.1实际问题的函数刻画
华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用到数学.”
数学来源于生活，又服务于生活.
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容.
怎样用数学知识刻画实际问题（即怎样解答应用问题）呢？
1.会用函数图象的变化刻画变化过程．
2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．
1.在利用函数刻画实际问题的过程中，培养数学抽象素养．
2．在把实际问题转化为数学模型的过程中，提升数学建模素养．
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探究点1
实际问题的函数刻画
k
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
C(k)
0
0.019
0.052
0.094
0.142
0.196
0.252
0.312
0.374
0.436
0.5
k
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
C(k)
0
0.019
0.052
0.094
0.142
0.196
0.252
0.312
0.374
0.436
0.5
⑴认真读题，缜密审题；
⑵引进数学符号，建立数学模型；
⑶会用数学结果诠释实际问题，
用数学的眼光看待实际问题.
实际问题的函数刻画
A
A
C
勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。(共24张PPT)
2.2用函数模型解决实际问题
想一想：
1.函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
实
际
问
题
数
学
模
型
实际问题
的解
数学模型
的解
抽象概括
推理演算
还原说明
2.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
1.能利用已知函数模型求解实际问题．
2.能自建确定性函数模型解决实际问题．
1.通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养．
2.通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
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课
堂
探究点1
常见的函数模型
探究点2
应用函数模型解决问题的基本过程
探究点3
工期优化模型
探究点4
存贮模型
C
C
2ln
2
1024
勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。
高考赘源网
高考资源
边的高考专家!】
情境思考
′课标要求
′素养目标
探究导学
(t)4
V(t
2t
课堂小结
训练评价
