2012年中考数学第一轮基础知识复习用书（七年级上部分书稿）
文档属性
| 名称 | 2012年中考数学第一轮基础知识复习用书（七年级上部分书稿） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 27.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 新人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-06-02 12:09:17 | ||
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文档简介
初一（上）复习用书
第四章：平面图形及其位置关系
1.线段，射线，直线
重要概念、法则、公式、定理：绷紧的琴弦，人行横道都可以近似地看作线段，线段有两个端点。将线段像一个方向无限延长就形成了射线。手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线。射线有一个端点。将线段向两个方向无限延长就形成了直线。笔直的铁轨可以近似地看作直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。
典型例题：例1：从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两点间的票价都不同，不同的票价有（B ） A.4种 B.6种 C.10种 D.12种例2：（1）过一点A可以画几条直线？ （2）过两点A，B可以画几条直线？ 解： （1）答：过一点可以画无数条直线。 （2）答：过两点可以画1条直线。
易错题：一条直线可将平面分成两个部分，两条直线最多把平面分成四个部分，则三条直线最多可把平面分成多少部分？四条直线呢？五条直线呢？ 解：答：三条直线可分7个部分； 四条直线可分11个部分； 五条直线可分16个部分。2.两条直线相交只有一个交点，三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交最多有几个交点？n条直线相交，最多有几个交点？ 解：答：三条直线相交有3个交点；四条直线相交有6个交点。 N 条有 n（n-1）/2个交点。
第二节：比较线段的长短
重要概念、法则、公式、定理：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。这时AM = BM = 1/2AB。
典型例题：例1：下列关系式中，不能判断点B是线段AC的中点的是（D） A.AC＝2BC＝2AB B.点B在线段AC上，且AB＝BCC.点B在直线AC上，且AB＝BC D.点B在直线AC上，且AC＝2BC例2：下列说法正确的是：（ D ）过A、B两点的直线长是A、B两点间的距离。线段AB是A、B两点间的距离。乘火车从无锡到北京要走1280km，这就是说无锡站于北京站间的距离为1280km。连接A、B两点的所有线中，其中最短的线就是A、B两点间的距离。
易错题：如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点若AM＝1,BC＝4,求MN的长度 解：∵ M是AC的中点， ∴ MC＝1 又∵ N是CB的中点 ∴ NC＝1/2BC＝4 1/2=2 MN＝NC+MC＝1+2＝3 答：MN的长度是3.若AB＝6,求MN的长度。 解：∵ M是AB的中点，N是BC的中点 ∴ MN＝1/2AB ∴ MN＝1/2AB=6 1/2＝3 答：MN的长度是3.
第三节：角的度量与表示
重要概念、法则、公式、定理：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角通常用三个字母及符号“ ”来表示。我们还可以用一个数字或字母表示一个角。角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。
典型例题：例1：用适当的方法分别表示下图中的每个角：解：（1）∠BAC（2）∠BAC,∠CAD,∠BAD.例2：下列说法正确的是 （C） A.平角是一条直线 B.周角是一条射线C.上午9点整时，时针和分针的夹角是90°D.已知∠AOB=30°，用2倍的放大镜看，这个角变成了60°
易错题：点B看A是北偏西58度，则由A看B是（ A ） A.南偏东58° B.南偏东52°C.北偏西32° D.北偏西58°如图，已知在 AOE的内部从O引出三条射线，求图中共有多少个小于平角的角？如果引出99条射线呢？若引出n条不同射线，共可构成多少个小于平角的角？解：1+2+3+4＝10（条） 1+2+3+……+(99+1)＝5050（条） N＝1+2+3+……+(N+1)
第四节：角的比较
重要概念、法则、公式、定理：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。2.1°＝60′，1′＝60″
典型例题：例1： 如图，已知AO⊥OC,OB⊥OD,当∠COD＝42°时，求∠AOB的度数。 解：∵ ∠AOB＝∠AOC+∠COB ∴ ∠COB＝∠DOB∠-DOC ＝90°-42° ＝48° ∴ ∠AOB＝48+90＝138° 答：∠AOB的度数是138°。
易错题：将一长方形纸片，按图1-4-6的方法折叠，BC,BD为折痕，试判断BC与BD的位置关系，并说明理由。 解：BD⊥BD 理由：∵折痕CB为∠ABA′的平分线。 ∴∠CBA′＝∠ABC 又∵折痕BD为∠EBE′的平分线。 ∴∠DBE′＝∠DBE ∵∠CBA′＝∠ABC ∴∠ABC+∠DBE＝∠CBA′+∠DBE′ 即 ∠CBD＝∠ABC+∠DBE＝0.5∠ABE＝0.5×180°＝90° ∴∠CBD＝90° ∴BC⊥BD 答：BD垂直于BD。
第五节：平行
重要概念、法则、公式、定理：我们通常用“∥ ”表示平行。如果直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
典型例题：例1：在下图哪些线段是互相平行的？
第六节：垂直
重要概念、法则、公式、定理：直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，如果用m，l表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记作l⊥m。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。平面内，过一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
典型例题：例1：如图，直线AB、CD相交于点O,OF平分∠AOC，OE⊥OB，∠DOE＝54°，求∠DOF的度数。 解：∵∠DOF＝∠AOD+∠AOF ∴∠AOD＝90°-54°＝36° 又∵∠AOF＝1/2∠AOC , ∠AOC＝180°-36°＝144° ∴∠AOF＝0.5∠AOC＝144°×1/2＝72° ∴∠DOF＝72°+36°＝108° 答：∠DOF的度数是108°.
第五章：一元一次方程
第一节：你今年几岁了
重要概念、法则、公式、定理：1.在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。2.我国古代称未知数为元，只含有一个未知数叫做一元方程，一元方程的解也叫根。3.等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。4.等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
典型例题：例1：学校准备添置一批桌椅，原订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠。结果校方购买了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润，求每套课桌椅的成本。 解：设每套桌椅的成本是X元。 （100-X）×60＝72×（100-3-X） 6000-60X ＝ 6984-72X 6000-6984＝ -72X+60X -984 ＝ -12X X ＝82 答：每套桌椅的成本是82元。
易错题：根据下列条件列出方程：（1）3和X的和的两倍是14。 （3+X）2＝14（2）X的两倍与3的差是5。２X-3＝５ （３）X的1/5与13的差的两倍等于1。 （1/5X-13）2＝1下列四个方程中，是一元一次方程的是（Ｂ）。A.1/X＝１ B.X＝0C.X+Y＝1 D.X -1＝0
第二节：解方程
重要概念、法则、公式、定理：即把原方程中的-2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成X＝a的形式。
典型例题：某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元；若超过20立方米，则超过每立方米水价按2元收费，小明家在六月交了56元水费，那么他家这个月用掉了多少水？ 解：设小明家这个月用了X立方米水。 20×1.2+2X＝56 24+2X＝56 2X＝32 X＝16 16+20＝36（ ） 答：小明家这个月用了36立方米水。例2：（1） 3（X+5）+5(X+5)-5＝7(X+5)-1（简便方法） 解： 8（X+5）-7(X-5)＝５-１ X+5＝4 X＝-1 3(X-2)+1＝X-(2X-1)解： 3X-6+1＝X-2X+1 3X-X+2X＝1-1+6 4X＝6 X＝1.5
易错题：1.2｛3[4(5x-1)-8]-20｝-7＝１ 2.8x+12-（9x+5）＝0 解: 2[3（20x-4-8）-20]＝1+7 解： 8x+12-9x-5＝0 2（60x-12-24-20）＝8 8x-9x＝0+5-12 120x-24-48-40＝8 -1x＝-7 120x＝8+24+48+40 x＝7 120x＝120 X＝1
第三节：日历中的方程
典型例题： 例1： 如果用正方形所圈出的4个数的和是76，这4天分别是几号？解：设最小的数为x，则其余3个数分别是： x+1、x+7、x+8。根据题意， 得：x+x+1+x+7+x+8＝76 4x＝60 x＝15因此，这四天分别是15号、16号、22号、23号。 例2：一个长方形（如图），恰分成六个正方形，其中最小正方形A的面积为1cm ， 求这个长方形的面积。 解：设E的边长是X。 X+X+(X+1)＝(X+2)+(X+3) X+X+X+1＝X+2+X+3 3X+1＝2X+5 3X-2X＝5-1 X＝4 宽：4+3+4＝11cm 长：4+4+4+1＝13cm 面积：13×11＝143 答：这个长方形的面积是143平方米。
易错题：一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍。如果把右边的两位数移到前面，则所得新五位数比原五位数的2倍还多75，求原来的五位数。 解：设右边两位数为X，左边三位数为5X。 2（5X+X）+75＝10X+5X 10X+2X+75＝10X+5X 75＝10X+5X-10X-2X 75＝3X X＝25 25×5＝125 答：原五位数是12525。
第四节：我变胖了
典型例题： 锻压前的体积＝锻压后的体积 例1：一个长方形合金底面长80，宽60，高100。现要锻压成新的长方形，其底 面为边长40的正方形，求新长方形的高。 解：设新长方形的高为X。 60×80×100＝40 X 480000＝1600X X＝4802000÷1600 X＝300 答：新长方形的高是300. 例2：将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少 解：高变成了X厘米。 3.14×（10÷2） ×36＝3.14（20÷2） ×X 3.14×5 ×36＝3.14×10 ×X 3.14×25×36＝3.14×100×X 900＝100X X＝9 答：高变成了9厘米。
易错题：一个农民提出一个问题：用一张长2m，宽1m的席子围成一个圆筒，摆在地上作粮囤，席子可以有两种围法：一种是用2m作高，另一种是用1m作高（席子缝合时接口处不重叠），则两种粮囤盛的粮食 （ C ）A.一样多 B.前者多 C.后者多 D.无法确定 2. 甲水池原有水159.5㎡，乙水池原有水32㎡，甲水池每分放水2㎡，乙水池每分进水3㎡，求几分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半。 解：设X分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半。 159.5-2X＝(32+3X)0.5 159.5-2X＝16+1.5X 159.5-16＝1.5X+2X X＝41 答：41分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半。
第五节：打折销售
典型例题：例1：一件夹克按成本价提高50％后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？ 解：设这批夹克每件的成本价是X元。 X(1+50％)×80％＝60 1.5X×80％＝60 1.2X＝60 X＝50 答：这批夹克每件的成本价是50元。例2：一件商品按成本价提高20％后标价，又以9折销售，售价为270元，这种商品的成本价是多少？ 解：设商品的成本价是X元。 X(1+20％)×90％＝270 1.2X×90％＝270 X＝270 答：商品的成本价是270元。
易错题：光明学校现有学生500人，计划一年后女生增加3％，男生增加4％，这样学生总数增加3.6％，那么该学校现有男、女生人数分别是（B ）A.200和300 B.300和200 C.320和180 D.180和320某商品原价200元，现以8折销售。降价前已卖60件商品。要使降价前后的销售额相等，那么销售量应该增加多少？ 解：设销售量应该增加X件。200×60＝（200×80％）×（60+X） 12000＝160×（60+X） 12000＝9600+160X 12000-9600＝160X 2400＝160X X＝15 答：销售量应该增加15件。
第六节：“希望工程”义演
典型例题：例1：小明用172元钱买了两种书，共10本，单价分别为18元、10元。每种书小明各买了多少本？解：设小明买了X本单价10元的书。 10X+18×（10-X）＝172 10X+180-18X＝172 10X-18X＝172-180 -8X＝-8 X＝1 10-1＝9（本）答：小明买了1本单价10元的书，买了9本单价18元的书。例2：一个书架宽88厘米，某一层上摆满了第一册的数学书和语文书，共90本。小明量得一本数学书厚0.8厘米，一本语文书厚1.2厘米。你知道这层书架上数学书和语文书各有多少本？ 解：设有X本数学书。 0.8X+1.2×（90-X）＝88 0.8X+108-1.2X＝88 0.8X-1.2X＝88-108 -0.4X＝-20 X＝50 语文书：90-50＝40（本） 答：这层书架上数学书有50本，语文书有40本？
易错题：一次足球比赛共赛15轮（即每队均赛15赛），胜一场计2分，平一场记1分，负一场记0分，某中学足球队所胜场数是所负场数的2倍，结果得了19分，问这个足球队共平几场？解：设这个足队负了几场。0X+2（2X）+（15-X-2X）1＝19 4X+15X-2X＝19 4X-2X-X＝19-15 X＝4 平：15-4-2×4＝3（场） 答：这个足球队共平3场.
第七节：能追上小明吗
重要概念、法则、公式、定理:行船问题公式：静水速度＝（顺水速度+逆水速度）÷2顺水速度＝静水速度+水流速度逆水速度＝静水速度-水流速度水流速度＝（顺水速度-逆水速度）÷2列车过桥问题公式： （桥长+列车长）÷速度＝过桥时间 （桥长+列车长）÷过桥时间＝速度 速度×过桥时间＝桥、车长度之和
典型例题：例1：在一条河中有甲、乙两船，现同时由A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回C地执行公务，甲船继续航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5km/h，水流速度是2.5km/h，A、C两地间距离为10km。如果乙船由A地经B地到达C地共用4h，问乙船从B地乙船从B地到C地时，甲船驶离B地多远？（C地在A、B两地之间） 解：设乙船从B地到C地用X小时。 （7.5+2.5）×（4-X）＝(7.5-2.5)X+10 10(4-X)＝5X+10 40-10X＝5X+10 30＝5X+10 X＝2 2×（7.5+2.5）＝20（km） 答：乙船从B地到C地时，甲船驶离B地20km。
易错题:1.在某公路上有相距108km的A、B两个车站，某日16点整，甲、乙两汽车分别从A、B两站同时出发，相向而行，已知甲车速度为45km/h，乙车速度为36km/h，则两车相遇时的时间是（ B ）。A.16h 20min B.17h 20min C.17h 30min D.16h 50min 2.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，设X秒后，甲可以追上乙，则下列四个方程不正确的是（ B ）。 A.7X=6.5X+5 B.7X-5=6.5 C.(7-6.5)X=5 D.6.5X=7X-5
第八节：教育储蓄
重要概念、法则、公式、定理： 顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金与利息的和叫利息和，存入的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率。 利息＝本金×利率×期数
典型例题： 例1：李阿姨购买了25000元某公司1年期的债券1年后扣除20％的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？解：设这种债券的年利率是X。 25000+（25000×1×X）×（1-20％）＝26000 25000+25000X×0.8＝26000 25000+20000X＝26000 20000X＝26000-25000 20000X＝1000 X＝0.05 年利率：0.05×100％＝5％ 答：这种债券的年利率是5％。 例2：张玲在大学三年级时向银行贷了一笔款（助学贷款）。三年期，年利率为5.95％，但贷款利息的50％由政府补贴。三年后，张玲向银行一次性还清了贷款，共付21785元。问张玲在大学三年级时向银行贷了多少钱？ 解：设张玲在大学三年级时向银行贷了X元。 X+X×5.95％×3×50％＝21785 X+0.08925X＝21785 1.08925X＝21785 X＝20000 答：张玲在大学三年级时向银行贷了20000元。
易错题：1.某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在降价的幅度是（10％ ）。2.国家规定公职人员每月工资超出800元以上部分缴纳个人所得税，如果税率为20％，某公务员12月份交纳了45.46元的税费，则他12月份的工资是（B ）。A.8045.49元 B.1027.3元 C.1227.45元 D.1045.49元3.我国股市交易中，每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买了上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际赢利为（ C ）。 A.2000元 B.1925元 C.1835元 D.1910元
第四章：平面图形及其位置关系
1.线段，射线，直线
重要概念、法则、公式、定理：绷紧的琴弦，人行横道都可以近似地看作线段，线段有两个端点。将线段像一个方向无限延长就形成了射线。手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线。射线有一个端点。将线段向两个方向无限延长就形成了直线。笔直的铁轨可以近似地看作直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。
典型例题：例1：从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两点间的票价都不同，不同的票价有（B ） A.4种 B.6种 C.10种 D.12种例2：（1）过一点A可以画几条直线？ （2）过两点A，B可以画几条直线？ 解： （1）答：过一点可以画无数条直线。 （2）答：过两点可以画1条直线。
易错题：一条直线可将平面分成两个部分，两条直线最多把平面分成四个部分，则三条直线最多可把平面分成多少部分？四条直线呢？五条直线呢？ 解：答：三条直线可分7个部分； 四条直线可分11个部分； 五条直线可分16个部分。2.两条直线相交只有一个交点，三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交最多有几个交点？n条直线相交，最多有几个交点？ 解：答：三条直线相交有3个交点；四条直线相交有6个交点。 N 条有 n（n-1）/2个交点。
第二节：比较线段的长短
重要概念、法则、公式、定理：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。这时AM = BM = 1/2AB。
典型例题：例1：下列关系式中，不能判断点B是线段AC的中点的是（D） A.AC＝2BC＝2AB B.点B在线段AC上，且AB＝BCC.点B在直线AC上，且AB＝BC D.点B在直线AC上，且AC＝2BC例2：下列说法正确的是：（ D ）过A、B两点的直线长是A、B两点间的距离。线段AB是A、B两点间的距离。乘火车从无锡到北京要走1280km，这就是说无锡站于北京站间的距离为1280km。连接A、B两点的所有线中，其中最短的线就是A、B两点间的距离。
易错题：如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点若AM＝1,BC＝4,求MN的长度 解：∵ M是AC的中点， ∴ MC＝1 又∵ N是CB的中点 ∴ NC＝1/2BC＝4 1/2=2 MN＝NC+MC＝1+2＝3 答：MN的长度是3.若AB＝6,求MN的长度。 解：∵ M是AB的中点，N是BC的中点 ∴ MN＝1/2AB ∴ MN＝1/2AB=6 1/2＝3 答：MN的长度是3.
第三节：角的度量与表示
重要概念、法则、公式、定理：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角通常用三个字母及符号“ ”来表示。我们还可以用一个数字或字母表示一个角。角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。
典型例题：例1：用适当的方法分别表示下图中的每个角：解：（1）∠BAC（2）∠BAC,∠CAD,∠BAD.例2：下列说法正确的是 （C） A.平角是一条直线 B.周角是一条射线C.上午9点整时，时针和分针的夹角是90°D.已知∠AOB=30°，用2倍的放大镜看，这个角变成了60°
易错题：点B看A是北偏西58度，则由A看B是（ A ） A.南偏东58° B.南偏东52°C.北偏西32° D.北偏西58°如图，已知在 AOE的内部从O引出三条射线，求图中共有多少个小于平角的角？如果引出99条射线呢？若引出n条不同射线，共可构成多少个小于平角的角？解：1+2+3+4＝10（条） 1+2+3+……+(99+1)＝5050（条） N＝1+2+3+……+(N+1)
第四节：角的比较
重要概念、法则、公式、定理：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。2.1°＝60′，1′＝60″
典型例题：例1： 如图，已知AO⊥OC,OB⊥OD,当∠COD＝42°时，求∠AOB的度数。 解：∵ ∠AOB＝∠AOC+∠COB ∴ ∠COB＝∠DOB∠-DOC ＝90°-42° ＝48° ∴ ∠AOB＝48+90＝138° 答：∠AOB的度数是138°。
易错题：将一长方形纸片，按图1-4-6的方法折叠，BC,BD为折痕，试判断BC与BD的位置关系，并说明理由。 解：BD⊥BD 理由：∵折痕CB为∠ABA′的平分线。 ∴∠CBA′＝∠ABC 又∵折痕BD为∠EBE′的平分线。 ∴∠DBE′＝∠DBE ∵∠CBA′＝∠ABC ∴∠ABC+∠DBE＝∠CBA′+∠DBE′ 即 ∠CBD＝∠ABC+∠DBE＝0.5∠ABE＝0.5×180°＝90° ∴∠CBD＝90° ∴BC⊥BD 答：BD垂直于BD。
第五节：平行
重要概念、法则、公式、定理：我们通常用“∥ ”表示平行。如果直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
典型例题：例1：在下图哪些线段是互相平行的？
第六节：垂直
重要概念、法则、公式、定理：直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，如果用m，l表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记作l⊥m。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。平面内，过一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
典型例题：例1：如图，直线AB、CD相交于点O,OF平分∠AOC，OE⊥OB，∠DOE＝54°，求∠DOF的度数。 解：∵∠DOF＝∠AOD+∠AOF ∴∠AOD＝90°-54°＝36° 又∵∠AOF＝1/2∠AOC , ∠AOC＝180°-36°＝144° ∴∠AOF＝0.5∠AOC＝144°×1/2＝72° ∴∠DOF＝72°+36°＝108° 答：∠DOF的度数是108°.
第五章：一元一次方程
第一节：你今年几岁了
重要概念、法则、公式、定理：1.在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。2.我国古代称未知数为元，只含有一个未知数叫做一元方程，一元方程的解也叫根。3.等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。4.等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
典型例题：例1：学校准备添置一批桌椅，原订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠。结果校方购买了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润，求每套课桌椅的成本。 解：设每套桌椅的成本是X元。 （100-X）×60＝72×（100-3-X） 6000-60X ＝ 6984-72X 6000-6984＝ -72X+60X -984 ＝ -12X X ＝82 答：每套桌椅的成本是82元。
易错题：根据下列条件列出方程：（1）3和X的和的两倍是14。 （3+X）2＝14（2）X的两倍与3的差是5。２X-3＝５ （３）X的1/5与13的差的两倍等于1。 （1/5X-13）2＝1下列四个方程中，是一元一次方程的是（Ｂ）。A.1/X＝１ B.X＝0C.X+Y＝1 D.X -1＝0
第二节：解方程
重要概念、法则、公式、定理：即把原方程中的-2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成X＝a的形式。
典型例题：某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元；若超过20立方米，则超过每立方米水价按2元收费，小明家在六月交了56元水费，那么他家这个月用掉了多少水？ 解：设小明家这个月用了X立方米水。 20×1.2+2X＝56 24+2X＝56 2X＝32 X＝16 16+20＝36（ ） 答：小明家这个月用了36立方米水。例2：（1） 3（X+5）+5(X+5)-5＝7(X+5)-1（简便方法） 解： 8（X+5）-7(X-5)＝５-１ X+5＝4 X＝-1 3(X-2)+1＝X-(2X-1)解： 3X-6+1＝X-2X+1 3X-X+2X＝1-1+6 4X＝6 X＝1.5
易错题：1.2｛3[4(5x-1)-8]-20｝-7＝１ 2.8x+12-（9x+5）＝0 解: 2[3（20x-4-8）-20]＝1+7 解： 8x+12-9x-5＝0 2（60x-12-24-20）＝8 8x-9x＝0+5-12 120x-24-48-40＝8 -1x＝-7 120x＝8+24+48+40 x＝7 120x＝120 X＝1
第三节：日历中的方程
典型例题： 例1： 如果用正方形所圈出的4个数的和是76，这4天分别是几号？解：设最小的数为x，则其余3个数分别是： x+1、x+7、x+8。根据题意， 得：x+x+1+x+7+x+8＝76 4x＝60 x＝15因此，这四天分别是15号、16号、22号、23号。 例2：一个长方形（如图），恰分成六个正方形，其中最小正方形A的面积为1cm ， 求这个长方形的面积。 解：设E的边长是X。 X+X+(X+1)＝(X+2)+(X+3) X+X+X+1＝X+2+X+3 3X+1＝2X+5 3X-2X＝5-1 X＝4 宽：4+3+4＝11cm 长：4+4+4+1＝13cm 面积：13×11＝143 答：这个长方形的面积是143平方米。
易错题：一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍。如果把右边的两位数移到前面，则所得新五位数比原五位数的2倍还多75，求原来的五位数。 解：设右边两位数为X，左边三位数为5X。 2（5X+X）+75＝10X+5X 10X+2X+75＝10X+5X 75＝10X+5X-10X-2X 75＝3X X＝25 25×5＝125 答：原五位数是12525。
第四节：我变胖了
典型例题： 锻压前的体积＝锻压后的体积 例1：一个长方形合金底面长80，宽60，高100。现要锻压成新的长方形，其底 面为边长40的正方形，求新长方形的高。 解：设新长方形的高为X。 60×80×100＝40 X 480000＝1600X X＝4802000÷1600 X＝300 答：新长方形的高是300. 例2：将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少 解：高变成了X厘米。 3.14×（10÷2） ×36＝3.14（20÷2） ×X 3.14×5 ×36＝3.14×10 ×X 3.14×25×36＝3.14×100×X 900＝100X X＝9 答：高变成了9厘米。
易错题：一个农民提出一个问题：用一张长2m，宽1m的席子围成一个圆筒，摆在地上作粮囤，席子可以有两种围法：一种是用2m作高，另一种是用1m作高（席子缝合时接口处不重叠），则两种粮囤盛的粮食 （ C ）A.一样多 B.前者多 C.后者多 D.无法确定 2. 甲水池原有水159.5㎡，乙水池原有水32㎡，甲水池每分放水2㎡，乙水池每分进水3㎡，求几分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半。 解：设X分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半。 159.5-2X＝(32+3X)0.5 159.5-2X＝16+1.5X 159.5-16＝1.5X+2X X＝41 答：41分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半。
第五节：打折销售
典型例题：例1：一件夹克按成本价提高50％后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？ 解：设这批夹克每件的成本价是X元。 X(1+50％)×80％＝60 1.5X×80％＝60 1.2X＝60 X＝50 答：这批夹克每件的成本价是50元。例2：一件商品按成本价提高20％后标价，又以9折销售，售价为270元，这种商品的成本价是多少？ 解：设商品的成本价是X元。 X(1+20％)×90％＝270 1.2X×90％＝270 X＝270 答：商品的成本价是270元。
易错题：光明学校现有学生500人，计划一年后女生增加3％，男生增加4％，这样学生总数增加3.6％，那么该学校现有男、女生人数分别是（B ）A.200和300 B.300和200 C.320和180 D.180和320某商品原价200元，现以8折销售。降价前已卖60件商品。要使降价前后的销售额相等，那么销售量应该增加多少？ 解：设销售量应该增加X件。200×60＝（200×80％）×（60+X） 12000＝160×（60+X） 12000＝9600+160X 12000-9600＝160X 2400＝160X X＝15 答：销售量应该增加15件。
第六节：“希望工程”义演
典型例题：例1：小明用172元钱买了两种书，共10本，单价分别为18元、10元。每种书小明各买了多少本？解：设小明买了X本单价10元的书。 10X+18×（10-X）＝172 10X+180-18X＝172 10X-18X＝172-180 -8X＝-8 X＝1 10-1＝9（本）答：小明买了1本单价10元的书，买了9本单价18元的书。例2：一个书架宽88厘米，某一层上摆满了第一册的数学书和语文书，共90本。小明量得一本数学书厚0.8厘米，一本语文书厚1.2厘米。你知道这层书架上数学书和语文书各有多少本？ 解：设有X本数学书。 0.8X+1.2×（90-X）＝88 0.8X+108-1.2X＝88 0.8X-1.2X＝88-108 -0.4X＝-20 X＝50 语文书：90-50＝40（本） 答：这层书架上数学书有50本，语文书有40本？
易错题：一次足球比赛共赛15轮（即每队均赛15赛），胜一场计2分，平一场记1分，负一场记0分，某中学足球队所胜场数是所负场数的2倍，结果得了19分，问这个足球队共平几场？解：设这个足队负了几场。0X+2（2X）+（15-X-2X）1＝19 4X+15X-2X＝19 4X-2X-X＝19-15 X＝4 平：15-4-2×4＝3（场） 答：这个足球队共平3场.
第七节：能追上小明吗
重要概念、法则、公式、定理:行船问题公式：静水速度＝（顺水速度+逆水速度）÷2顺水速度＝静水速度+水流速度逆水速度＝静水速度-水流速度水流速度＝（顺水速度-逆水速度）÷2列车过桥问题公式： （桥长+列车长）÷速度＝过桥时间 （桥长+列车长）÷过桥时间＝速度 速度×过桥时间＝桥、车长度之和
典型例题：例1：在一条河中有甲、乙两船，现同时由A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回C地执行公务，甲船继续航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5km/h，水流速度是2.5km/h，A、C两地间距离为10km。如果乙船由A地经B地到达C地共用4h，问乙船从B地乙船从B地到C地时，甲船驶离B地多远？（C地在A、B两地之间） 解：设乙船从B地到C地用X小时。 （7.5+2.5）×（4-X）＝(7.5-2.5)X+10 10(4-X)＝5X+10 40-10X＝5X+10 30＝5X+10 X＝2 2×（7.5+2.5）＝20（km） 答：乙船从B地到C地时，甲船驶离B地20km。
易错题:1.在某公路上有相距108km的A、B两个车站，某日16点整，甲、乙两汽车分别从A、B两站同时出发，相向而行，已知甲车速度为45km/h，乙车速度为36km/h，则两车相遇时的时间是（ B ）。A.16h 20min B.17h 20min C.17h 30min D.16h 50min 2.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，设X秒后，甲可以追上乙，则下列四个方程不正确的是（ B ）。 A.7X=6.5X+5 B.7X-5=6.5 C.(7-6.5)X=5 D.6.5X=7X-5
第八节：教育储蓄
重要概念、法则、公式、定理： 顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金与利息的和叫利息和，存入的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率。 利息＝本金×利率×期数
典型例题： 例1：李阿姨购买了25000元某公司1年期的债券1年后扣除20％的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？解：设这种债券的年利率是X。 25000+（25000×1×X）×（1-20％）＝26000 25000+25000X×0.8＝26000 25000+20000X＝26000 20000X＝26000-25000 20000X＝1000 X＝0.05 年利率：0.05×100％＝5％ 答：这种债券的年利率是5％。 例2：张玲在大学三年级时向银行贷了一笔款（助学贷款）。三年期，年利率为5.95％，但贷款利息的50％由政府补贴。三年后，张玲向银行一次性还清了贷款，共付21785元。问张玲在大学三年级时向银行贷了多少钱？ 解：设张玲在大学三年级时向银行贷了X元。 X+X×5.95％×3×50％＝21785 X+0.08925X＝21785 1.08925X＝21785 X＝20000 答：张玲在大学三年级时向银行贷了20000元。
易错题：1.某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在降价的幅度是（10％ ）。2.国家规定公职人员每月工资超出800元以上部分缴纳个人所得税，如果税率为20％，某公务员12月份交纳了45.46元的税费，则他12月份的工资是（B ）。A.8045.49元 B.1027.3元 C.1227.45元 D.1045.49元3.我国股市交易中，每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买了上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际赢利为（ C ）。 A.2000元 B.1925元 C.1835元 D.1910元
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