2012年中考数学第一轮基础知识复习用书（七年级下部分书稿）

初一（下）：
第一章：整式的运算
第一节：整式
重要概念、法则、公式、定理：数与字母的乘积的代数式叫做单项式。几个单项式的和叫做多项式。单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
典型例题：例1：关于X的多项式（a-4）x -x +2x-m是二次三项式，则a为（4）.若x=﹣2，则此代数式的值为（﹣10）例2：小明和小亮各收集了一些废电池，如果小明再多收集6个，他的废电池个数就是小亮的2倍。根据题意列出整式:（1）若小明收集了X个废电池，则小亮收集了（X+6）1/2 个废电池。（2）若小亮收集了X个废电池，则两人一共收集了3X-6 个废电池。
易错题：1.写出代数式3ab 和﹣a的三个相同点：都是单项式 （2）次数都是3 （3）都有单项式a商场中某牌子的电视机有A，B，C三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A型的a台，B型的b台，C型的c台，则该商场三月份这三种电视的销售额是3000a+3500b+4000c。若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如：a+b+c就是完全对称式。下列三个代数式：①（a-b） ② ab+bc+ca ③a b+b c+c a其中是完全对称式的是（A）。A. ①② B.①③ C.②③ D.①②③
第二节：整式的加减
典型例题：例1. 计算①（2x-3x+1）+（﹣3x +5x-7）解：原式=2x －3x+1-3x +5x-7=2x -3x -3x+5x+1-7=﹣x +2x-6②7（p +p -p-1）－2（p +p）解：原式=7p +7p -7p-7-2p -2p=5p +7p -9p-7
易错题：1. 3x -（2x +5x-1）-（3x+1），其中x=10.解：原式=3x -2x -5x+1-3x-1=x -8x∵x=10∴原式=10 -8×10=100-80=204y -（x +y）+（x -4y ），其中x=﹣28，y=18.解：原式=4y -x -y+x -4y =﹣y∵x=﹣28，y=18∴原式=﹣183. （7a +2a+b）-（3a +2a-b），其中a=2，b=4.解：原式=7a +2a+b-3a -2a+b=4a +2b∵a=2，b=4.∴原式=4×2 +2×4=16+8=24
第三节：同底数幂的乘法
第四节：幂的乘方与积的乘方
重要概念、法则、公式、定理：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。例：a ×a =a 幂的乘方，底数不变，指数相乘。例:(a ) =a 积的乘方等于每个因式分别乘方后的积。例：（ab） =a b
典型例题：光的速度约为3×10 千米／秒，太阳光照射到地球上大约需要5×10 千米／秒，地球距离太阳大约有多远？解： 3×10 ×5×10 原式=15×100000=1500000（千米）答：地球距离太阳大约有1500000千米。例2. 下列各式不能成立的是（ D ）。A、（x=x B、xC、(x D、x
易错题：1.（—2+x）原式=3. 下列计算正确的是：（ D）A、2a2+2a3=2a5 B、2a-1=C、(5a3)2=25a5 D、(-a2)2÷a=a3(-2x2y)(-3xy3)2原式=(-2x2y)（9x y6)=
第五节：同底数幂的除法
重要概念、法则、公式、定理：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减。a0=1（a≠0）p=ap/1（a≠0，p是正整数）
典型例题：下列运算正确的是（D）。A.6a-5a=1 B.（a2）3=a5 C.a6÷a3=a2 D.a2×a3=a5例2． 106×10-2÷107×（-10）5原式=104÷107×（-10）5=10-3×（-10）5=-100
易错题：1.（x3）2÷x2÷x＋x3÷（-x）2×（-x2）原式=x6÷x2÷x＋x3÷x2×（-x2）=x ＋x×=x＋（-x）2.若32x+1=1,则x= ;若3x=,则x= .答案：－3. (1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3解： (1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2
第六节： 整式的乘法
重要概念、法则、公式、定理：1. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。2. 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
典型例题：例1：下列各题中计算正确的个数是( B )①(a 3b)( 6a) = 6a2+18ab ② x2y( 9xy+1) = 3x3y2+1③( a2b)2( 4ab) = 4a5b3 ④( ab2 2ab)( ab) =a2b3+a2b2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2： 三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5×10 ＋ ＋ 千瓦时，某市有10万户居民，如果平均每户每年用电2.75×10 千瓦时，那么三峡工程该年所发的电量能使该市居民使用多少年？5.5×10 ＋ ＋ =5.5×10︿95.5×10︿9÷(2.75×10 ×10×10 )=20年
易错题：2.(x2+ax+8)(x2 3x+b)中不含x3和x项，则a、b的值分别为( C )A．a = 0，b = 0 　　 　 B．a = 3，b = 9C．a = 3，b = 8 　　　 D．a = 3，b = 1说明：(x2+ax+8)(x2 3x+b)= x4 3x3+bx2+ax3 3ax2+abx+8x2 24x+8b = x4+(a 3)x3+(b 3a+8)x2+(ab 24)x+8b，因为(x2+ax+8)(x2 3x+b)中不含x3和x项，所以a 3 = 0且ab 24 = 0，可解得a = 3，b = 8，答案为C．
第七节： 平方差公式
重要概念、法则、公式、定理：1. (a+b)(a-b)=a2-b2(两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.)
典型例题：例1：先化简，在求值：（a-2）（a+2）-a（a-2），其中a=－1解：原式=（a -2 ）-（a -2a）=a -4-a +2a=－4+2a∵ a=－1∴原式=－4+2×（－1）=－6例2：计算：（1） ；（2）解：（1）原式（2） 原式
易错题：1. 计算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)=2a2-ab-4ab+2b2-［(2a)2-b2］=2a2-5ab+2b2-(4a2-b2)=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！
第八节： 完全平方公式
重要概念、法则、公式、定理：1. (a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b2)=a2-2ab+b2（口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减）2.（a+b+c） =a +b +c +2ab+2ac+2bc（三数和的完全平方等于这三个数的平方和，再加上每两个数乘积的两倍）
典型例题：例1：运用乘法公式计算：（1） ； （2） ；解：（1）原式=（2）原式==例2：某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？点拨：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解： 原正方形面积：a2现正方形面积：(a-3)2面积减少了a2-(a-3)2=a2-(a2-6a+9)=a2-a2+6a-9=(6a-9)(cm2)答：面积减少了（6a-9） cm2.
易错题：1. 利用完全平方公式计算：(－x+2y)2解：原式=(－x+2y)2=(2y－x)2=4y2－4xy+x2
第九节：整式的除法
重要概念、法则、公式、定理：1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
典型例题：例1：下列等式中，计算正确的是:（ A ）A. a10÷a9＝a； B. x3－x2＝x；C. （－3pq）2＝6pq； D. x3·x2＝x6例2：计算：（1） （2）解：（1）原式 （ 2）原式
易错题：1. 多项式2x3－4x2－1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x－1，求这个多项式。分析：顺利解决这类问题的关键为熟记关系式：被除式＝除式×商式＋余式。解：A＝［（2x3－4x2－1）－（x－1）］÷2x＝（2x3－4x2－x） ÷2x＝x2－2x－∴这个多项式为x2－2x－2. 先化简，再求值已知a－b＝，ab＝－，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．解： a3b－2a2b2＋ab3＝＝＝
第五章：三角形
第一节：认识三角形
重要概念、法则、公式、定理：1.由在不同。一直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形有三条边、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△”来表示。3.三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。4.三角形三个内角的和等于180度。5.一个三角形的外角等于两个不与它相邻的两个内角的和。6.直角三角形的两个内角互余。7.三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。8.三角形的三条高所在的直线交于一点。
典型例题：1．三角形两边的长分别为3和5，则周长l的范围是( )　　A．2易错题：1　如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( )毛　　A．是边BB′上的中线　　B．是边BB′上的高　　C．是∠BAB′的角平分线　　D．以上三种性质合一　　答案：D说明：由已知∠ACB = 90 ，知AC⊥BB，所以线段AC是BB上的高；又因为ΔABC沿直线AC翻折180 后B点落在B的位置上，所以BC = CB，∠BAC =∠BAC，则C为BB的中点，因此线段AC是边BB上的中线，同时AC平分∠BAB，所以答案为D．
第二节： 图形的全等
重要概念、法则、公式、定理：1. 全等图形的形状和大小都相同。
典型例题：例1： 指出右面8个图形中的全等图形解：右面8个图形中，全等图形有：　　 （1）与（6），（4）与（5），（7）与（8）
易错题：1. 下列叙述：（1）能够重合的图形一定是全等图形　　（2）全等图形的面积一定相同　　（3）两个面积相等的图形一定是全等图形　　（4）两个周长相等的图形一定是全等图形．　　中正确的个数是（ B ）A．1个 B．2个 C．3个分析：全等图形的形状、大小、面积、周长均相同，但是很明显，面积或周长相同的两个图形未必是全等图形，因为它们的形状可以各种各样．故本题中，（1）、（2）是正确的，而（3）、（4）是错误的．
第三节： 全等三角形
重要概念、法则、公式、定理：1.全等三角形的对应边相等，对应角相等。
典型例题：例1：如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。分析：由AB=AC，则AB和AC是对应边，可找AB的对角∠AEB，AC的对角∠ADC，则∠AEB和∠ADC为对应角。由∠A是这两个三角形的公共角，它与其自身对应，因而∠A的对边为BE、DC为对应边，于是剩下的∠B、∠C是对应角。AE和AD是对应边。
　　解：对应边：AB和AC，BE和DC，AE和AD
　　对应角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC
　　∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE
　　又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（对顶角相等）于是构 成一对全等三角形为△BFD和△CFE。　　
易错题：如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为2cm. 分析: AB不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为AB=CD，而使AB+CD=AD-BC可利用已知的AD与BC求得．解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，
∴CA=BD，
∴CA-BC=DB-BC，
即AB=CD，
∴AB+CD=2AB=AD-BC=9-5=4（cm），
∴AB=2（cm）．
故填2．
第四节： 探索三角形全等的条件
重要概念、法则、公式、定理：1.三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
典型例题：例1：已知，如图1，AB＝AD，∠1＝∠2，你能说明线段BC和DC相等么？解：在△ABC与△ADC中 ∴△ABC≌△ADC（SAS）∴BC＝DC（全等三角形对应边相等）
易错题：分析下列结论:
(1)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
(2)有两边和一角对应相等的两个三角形全等
(3)判定两个三角形全等,至少需要一对对边应相等
(4)三个角对应相等的两个三角形全等
(5)三条边对应相等的两个三角形全等其中,正确的个数是( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在生活中，我们常常会看见在电线杆上拉两条钢筋来加固电线杆，这是利用三角形的（ A ）A. 稳定性 B. 全等性 C. 灵活性 D. 对称性
第五节： 作三角形
典型例题：例1：如图，已知∠α、∠β，线段a。求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a 作法： （2）作线段BC＝a （3）分别以B、C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ，射线BM、CN交于点A，则△ABC就是所求作的三角形。 解：如图： △ABC就是所求作的三角形。
易错题：1. 1. 已知：斜边和一直角边，求作直角三角形。 已知：线段c和b（c＞b） 求作：Rt△ABC，使它的斜边AB＝c，一条直角边AC＝b。作法：（1）在l上任取一点C，过点C作CD⊥l （2）在l上截取CA＝b（3）以点A为圆心，C为半径作弧，交CD于点B （4）连结AB ∴△ABC为所求的直角三角形解：如图 △ABC为所求的直角三角形
第六节：利用三角形全等测距离
典型例题：例1：有一个池塘的形状如图所示，A、B之间的距离不能直接测得，你能否想办法测量A、B之间的距离？并且说明理由（只有卷尺可以利用）．解：在池塘右边的空地上找一个能直接到达点A和点B的点C，连结AC并延长至D，使得 ，连接BC并延长至E，使得 ，连接DE，则DE的长度就是A、B之间的距离．理由：在 和 中　　 （已知）， （对顶角相等） （已知）　　∴ ≌ （SAS）　　∴ （全等三角形的对应边相等）例2：如图，将两根钢条 的中点O连在一起，可以作成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳），只要量出 的长度，就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能说出工人这样做的道理吗？解：在 和 中∴ ≌ （SAS）∴
易错题：如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段弧状，A、B之间的距离不能直接测量，你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B之间的距离吗？方案：在湖右边的空地上选一个能直接到达A点和B点的C点，连接AC并延长至D，使 ，连接BC并延长至E，使 ，连接DE，并测量DE的长度即可求出A、B之间的距离．
第七节：探索直角三角形全等的条件
重要概念、法则、公式、定理：1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”.
典型例题： 例1：如图5－172.已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF.则AB与CD平行吗？为什么？ 解：AB与CD平行.△ABF≌△CDE∠BAF=∠DCEAB∥CD.例2： 下列说法错误的是 （C）A.周长相等的两个等腰直角三角形全等B.面积相等的两个等腰直角三角形全等C.有一条角平分线相等的两个直角三角形全等D.有一腰上的中线对应相等的两个直角三角形全等
易错题：1.下列说法正确的是（D）A.周长相等的两个直角三角形全等B.面积相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个直角三角形全等D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等给出下列结论：①两条边分别相等的两个三角形全等。 ②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ③斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。 ④一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 ⑤两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 上述结论正确的有： （B） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个