云南省丽江市2020-2021学年高一下学期期末教学质量监测
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
B
D
B
C
C
A
C
C
D
12．题答案解析：如图，取的中点记为，连接，，分别取和的外心与，过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点，则就是外接球的球心，连接，，为二面角的平面角为，则是等边三角形，其边长为，，在中，
，∴
∵，
∴，
则四面体的外接球的表面积为.故选：D．
二、填空题
13．
假
14．3
15．
16．
三、解答题
17．解：（1）因为（a－b）·（a＋b）＝，即＝，
即，
所以，故.
…………………………（4分）
（2）因为，故.
……………（5分）
又因为，
所以，
又θ∈[0，π]，故.…………………………（10分）
18．解：列出所有的基本事件25种（古城区，古城区）、（古城区，玉龙县）、（古城区，永胜县）、（古城区，宁蒗县）、（古城区，华坪县）、（玉龙县，玉龙县）、（玉龙县，古城区）、（玉龙县，永胜县）、（玉龙县，宁蒗县）、（玉龙县，华坪县）、（永胜县，永胜县）、（永胜县，古城区）、（永胜县，玉龙县）（永胜县，宁蒗县）、（永胜县，华坪县）、（宁蒗县，宁蒗县）、（宁蒗县，古城区）、（宁蒗县，玉龙县）、（宁蒗县，永胜县）、（宁蒗县，华坪县）、（华坪县，华坪县）、（华坪县，古城区）、（华坪县，玉龙县）、（华坪县，永胜县）、（华坪县，宁蒗县）…………………………（4分）
（1）设事件A=“两人在不同地方视察工作”，则A事件基本事件有20种，
所以P（A）==…………………………（8分）
（2）设事件B=“两人在不同地方视察工作”，则B事件基本事件有5种，
所以P（B）==…………………………（12分）
19．解：（1）在直三棱柱中，∵⊥平面ABC，∴⊥AB．
又∵AB⊥BC，＝B，∴AB⊥平面．又∵
∴平面ABE⊥平面…………………………（4分）
（2）
取AC中点M，连接，FM，∵F为BC的中点，∴FM∥AB．
∵AB平面ABE，FM平面ABE，∴FM∥平面ABE．
∵AM∥，AM＝，∴四边形为平行四边形．
∴∥AE，平面ABE．∴∥平面ABE．
∵FM＝M，∴平面∥平面ABE，
即存在AC的中点M使得平面∥平面ABE．…………………………（8分）
（3）
∵
∴
点E到底面的距离即为侧棱长＝2．
∵在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
∴，
∴．…………………………（12分）
20．解：将这20组数据从小到大的顺序排列为：51
51
52
52
52
53
54
55
55
55
56
56
56
56
56
57
58
58
58
59
…………………………（1分）
中位数=55.5
…………………………（3分）
平均数：
…………………………（5分）
极差：59-51=8
…………………………（6分）
这组数据方差为：
所以标准差．…………………………（8分）
（2）70%×20=14
数据从小到大的顺序排列，第14个数据为56，所以每天应该进56千克苹果。
…（12分）
21．解：（1）在△ABC中，由余弦定理，
得，
①
在△ABD中，由余弦定理
整理得
②
由①②得，－2×7×7cosD＝－2×8×5cosC，
又∵∠C＝∠D
整理得cosC＝.
∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，
故AB＝7，即A、B两点的距离为7.…………………………（7分）
（2）小李的设计使建造费用最低．
理由如下：
S△ABD＝AD·BDsinD，
S△ABC＝AC·BCsinC．
∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC，
∴S△ABD＞S△ABC．
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低．……（12分）
22．（1）证明：如图，连接CQ，DP．∵Q为AB的中点，且AC＝BC，∴
CQ⊥AB．
∵
DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴
EB⊥平面ABC，∴
CQ⊥EB，
∴
CQ⊥平面ABE．…………………………（5分）
（2）解：由（1）有PQ∥DC，又∵
PQ＝EB＝DC，
∴
四边形CQPD为平行四边形，
∴
DP∥CQ，∴
DP⊥平面ABE，
∴
∠DAP为AD和平面ABE所成的角．……（9分）
在Rt△DPA中，∵
AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝，
∴
AD和平面ABE所成角的正弦值为．………（12分）
（第19题图）
（第22题图）
高一数学参考答案·第1页（共3页）秘密★考试结束前
云南省丽江市2020-2021学年高一下学期期末教学质量监测
数学试卷
（全卷三个大题，共22个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。
2．考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
A={1,2,3}，B=｛3，4，5，6｝（
）
A．{7,8,9}
B．{0,7,8,9}
C．{1,2,4,5,6,7,8,9}
D．{0,1,2,4,5,6,7,8,9}
2．若复数z满足z(1＋i)＝1－i（i是虚数单位），则z
=（
）
A．?1
B．?i
C．?
i
D．
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如：图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取
的高中生近视人数分别为（
）
A．200,40
B．200,20
C．200,10
D．100,10
4．甲、乙两人同时参加考试，甲及格的概率为0.7，乙不及格的概率为0.8，则甲、乙两人同时及格的概率为（
）．
A．0.9
B．0.14
C．0.2
D．0.6
5．若函数，的值为（
）
A．
B．
C．1
D．
6．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在
之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（
）
A．可求得
B．这200名参赛者得分的中位数为65
C．得分在之间的频率为0.5
D．得分在之间的共有80人
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知平面，直线，，，满足，，且，，，互为异面直线，则“且”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点（
）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向右移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
10．函数的大致图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．在菱形ABCD中，，，连结BD，沿BD把△ABD折起，使得二面角的大小为，连结AC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“”的否定是_________，该命题的否定是_________命题（填“真”或“假”）.
14．已知x>1，求的最小值：_________.
15．已知为实数，函数的定义域为R，则的取值范围为：______.
16．已知定义在上的奇函数满足，且，则
的值为_________．
三、解答题（共70分，其中17题10分，其余每题12分。解答题应写出文字说明，证明或演算步骤）
17．（10分）已知非零向量a，b满足|a|＝1，且（a?b）·（a+b）＝
（1）求|b|；
（2）当a·b＝?时，求向量a与a+2b的夹角的值．
18．（12分）丽江市有两单位领导甲、乙，分别要在古城区、玉龙县、永胜县、宁蒗县、华坪县五个地方随机选择一处视察工作（每个人去每一个地方是等可能的）．
（1）求两人在不同地方视察工作的概率．
（2）求两人在同一地方视察工作的概率．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，AB⊥BC，＝AC＝2，BC＝1，E，F分别为，BC的中点.
（1）求证：平面ABE⊥平面.
（2）求证：在棱AC上存在一点M，使得平面∥平面ABE．
（3）求三棱锥C?ABE的体积．
20．（12分）我市一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg）结果如下：56，52，55，52，57，59，54，53，55，51，56，56，58，56，52，58，56，55，51，58
（1）请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数，平均数，极差和标准差．
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜：进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能70%的满足顾客需求，（在100天中，大约有70天可以满足顾客的需求），请问，每天应该进多少千克苹果？
21．（12分）小李、小王在我市某栋建筑物外墙设计三角形标志，小李、小王设计的三角形形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7m，BC＝5m，AC＝8m，∠C＝∠D．
（1）求AB的长度.
（2）若建造标志的费用与面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低？请说明理由．
22．（12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（1）证明：PQ∥平面ACD．
（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
小学生
3500名
高中生
2000名
初中生
4500名
甲
50
30
10
0
近视率%
小学
初中
高中
年级
乙
（第19题图）
第22题图
高一数学试卷·第1页（共3页）
