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1.5三角形全等的判定
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且AB平分∠CAD，则利用（ ）可说明△ABC与△ABD全等．
A．AAS
B．ASA
C．SAS
D．SSA
解：∵BC⊥AC，BD⊥AD，AB平分∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），
故选：A．
2．（2021春?砀山县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带1，2或2，3去就可以了
B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可
D．带其中的任意两块去都可以
解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
带2、4可以延长还原出原三角形，
故选：C．
3．（2021春?高州市期末）如图，已知点M，N分别在AC，AB上，∠MBN＝∠MCN，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABM≌△ACN的是（ ）
A．AM＝AN
B．AB＝AC
C．BM＝CN
D．∠AMB＝∠ANC
解：如果AM＝AN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（AAS）．
如果AB＝AC，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（ASA）．
如果BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（ASA）．
只有D选项不满足题意，
故选：D．
4．（2021春?西安期末）下列说法正确的有（ ）
①全等三角形的周长相等；
②面积相等的两个三角形全等；
③全等三角形的对应角相等；
④全等图形的形状和大小都相同．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
解：①全等三角形的周长相等，是真命题；
②面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
③全等三角形的对应角相等，是真命题；
④全等图形的形状和大小都相同，是真命题；
故选：A．
5．（2021春?东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°
B．55°
C．50°
D．无法计算
解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
故选：B．
6．（2021?湘西州模拟）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（ ）
A．a
B．b
C．b﹣a
D．（b﹣a）
解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝a，
∵EF＝b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），
故选：D．
7．（2021春?沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DF
B．BD＝FD
C．∠1＝∠2
D．AB＝AC
解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，
故A选项错误；
（2）△BDE与△DCF，只满足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BD＝FD，
另一方面，假设BD＝FD，
在Rt△DBE与△DFC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠DFC，
而图中∠B大小是固定的，∠DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的，
故B选项错误；
（3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，
利用角平分线的判定，
DC是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
故C选项正确；
（4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到AB＞AC，
故D选项错误，
故选：C．
8．（2021春?福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?会宁县期末）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是 90 cm．
解：在△OCF与△ODG中，，
∴△OCF≌△ODG（AAS），
∴CF＝DG＝40，
∴小明离地面的高度是50+40＝90，
故答案为：90．
10．（2021春?长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有
4 对．
解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△OED和△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；
∴OD＝OC，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BEC（ASA）；
∴AD＝BC，
∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，
在△OAE和△OBE中，
，
∴△OAE≌△OBE（SAS），
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
故答案为4．
11．（2020秋?东阳市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝ 5 cm．
解：∵CF∥AB，
∴∠AED＝∠F，∠FCD＝∠A．
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD．
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF，
∵AB＝15cm，CF＝10cm，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣CF＝15﹣10＝5（cm）．
故答案为5．
12．（2021春?苏州期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ 1或或12 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
解：当E在BC上，D在AC上时，即，
CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴8﹣3t＝6﹣t，
∴t＝1s，
当E在AC上，D在AC上时，即，
CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∴3t﹣8＝6﹣t，
∴t＝s，
三．解答题（共4小题）
13．（2020秋?赫山区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
14．（2020秋?柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
15．（2021春?平顶山期末）某班数学兴趣小组为了测量湛河南北两岸的宽度AB，他们的方法是：让小明从点A出发，沿河岸向东走50步到达电线杆C处，继续前行50步到达D处，然后右转90°直行130步到达E处，这时B，C，E三点在一条直线上．
（1）小组得到结论“DE的长度就是河宽”，请说明其中的道理．
（2）若小明一步的长度为60厘米，请估计河宽有多少米．
解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠BAC＝∠EDC，
在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴DE＝AB；
（2）∵DE＝130×0.6＝78（米），
∴河宽AB＝78米．
16．（2021春?泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
（1）证明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
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1.5三角形全等的判定
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且AB平分∠CAD，则利用（ ）可说明△ABC与△ABD全等．
A．AAS
B．ASA
C．SAS
D．SSA
2．（2021春?砀山县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带1，2或2，3去就可以了
B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可
D．带其中的任意两块去都可以
3．（2021春?高州市期末）如图，已知点M，N分别在AC，AB上，∠MBN＝∠MCN，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABM≌△ACN的是（ ）
A．AM＝AN
B．AB＝AC
C．BM＝CN
D．∠AMB＝∠ANC
4．（2021春?西安期末）下列说法正确的有（ ）
①全等三角形的周长相等；
②面积相等的两个三角形全等；
③全等三角形的对应角相等；
④全等图形的形状和大小都相同．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
5．（2021春?东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°
B．55°
C．50°
D．无法计算
6．（2021?湘西州模拟）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（ ）
A．a
B．b
C．b﹣a
D．（b﹣a）
7．（2021春?沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DF
B．BD＝FD
C．∠1＝∠2
D．AB＝AC
8．（2021春?福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?会宁县期末）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是
cm．
10．（2021春?长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有
对．
11．（2020秋?东阳市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝
cm．
12．（2021春?苏州期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝
s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
三．解答题（共4小题）
13．（2020秋?赫山区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
14．（2020秋?柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
15．（2021春?平顶山期末）某班数学兴趣小组为了测量湛河南北两岸的宽度AB，他们的方法是：让小明从点A出发，沿河岸向东走50步到达电线杆C处，继续前行50步到达D处，然后右转90°直行130步到达E处，这时B，C，E三点在一条直线上．
（1）小组得到结论“DE的长度就是河宽”，请说明其中的道理．
（2）若小明一步的长度为60厘米，请估计河宽有多少米．
16．（2021春?泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
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