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1.3证明
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?高邮市期末）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元
B．13元
C．14元
D．无法确定
解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
2．（2021春?丰台区校级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而bb为正整数，
则b＝1，又cc为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，cc为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
3．（2020秋?越城区期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子
B．5号杯子
C．6号杯子
D．7号杯子
解：∵1号杯左侧出口比右侧低，
∴水先从左边流出，进入3号杯，
∵3号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，
∴水最终会先灌满3号杯，
故选：A．
4．（2021春?新罗区期末）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英
B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明
D．小亮，小英，小华，小明
解：由题干中小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；
小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，
可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的；
又有小华的得分超过小明与小亮的得分和，
所以可得四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．
故选：C．
5．（2017?宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a＝b+x，y﹣a+x+a＝y+x，
故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
6．（2020?浙江自主招生）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解：假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；
假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；
假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；
假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；
因此丙的成绩最好，
故选：C．
7．（2019秋?临海市期末）有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（ ）
A．甲说实话，乙和丙说谎
B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎
D．甲、乙、丙都说谎
解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；
B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；
C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；
D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；
故选：B．
8．（2020春?海淀区校级月考）小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是（ ）
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A．①
B．②③
C．③
D．①③
解：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）．
（AA）→C，A与B一奇一偶；
（BB）→C，A与B一奇一偶；
（CC）→C，A与B一奇一偶；
（AB）→C，A与B一奇一偶；
（AC）→B，A与B一奇一偶；
（BC）→A，A与B一奇一偶．
由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③正确．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?岳麓区月考）今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是 会计 ．
解：记已知条件为①，②，③，
由①知甲不是医生，由③知乙也不是医生，故知丙是医生，
假定甲是教师，则乙应是会计，
但由②知丙比乙年轻，由③又得丙比乙年长，两者矛盾，故甲不是教师，
∴甲是会计．
故答案为：会计．
10．（2021春?莆田期末）现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是
520 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
解：根据③知密码里不含有8，6，9，
∴①中只有0正确，且位置正确，
∵②中有两个号码正确且位置不正确，
∴2和5数字正确，且位置不正确，
所以该密码里含有2，5，0三个数字，位置确定为520，
故答案为：520．
11．（2021春?昌平区期末）“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是
一班与四班 ．
解：∵一班、二班、三班、四班四个班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，
∴一班得分为7分，2胜1平，二班得分5分，1胜2平，三班得分3分，1胜0平，四班得分1分，0胜1平，
∵一班、二班都没有输球，
∴一班一定与二班平，
∵三班得分3分，1胜0平，二班得分5分，1胜2平，
∴与二班踢平的班是一班与四班．
故答案为：一班与四班．
12．（2021?湘潭）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是
辛丑 年．（用天干地支纪年法表示）
解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年．
故答案为：辛丑．
三．解答题（共4小题）
13．如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”
B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”
你能确定他们的位置吗？
解：如图，有两种可能．
14．（2020?丰台区模拟）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
（1）则甲同学错的是第 五 题；
（2）丁同学的得分是 3 ；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 CACCC （写出一种即可）
解：（1）∵有5道选择题，每题1分，
甲、乙、丙各得4，3，2分，
观察表格可知：第二题选C和第四题选B，甲、乙、丙、丁四位同学都正确，
所以丙同学答对第二题和第四题，得2分；
第一题选C，甲和乙同学都正确，
所以乙同学答对了第一、第二、第四题，得3分；
通过第三题可知：
乙，丙同学选B，C都答错了，
所以选项A正确，
所以第三题选A；
通过第五题，乙、丙两位同学选C和B都错误，
所以选A正确，
所以甲同学错的是第五题；
故答案为：五；
（2）因为五个题的正确答案是：C、C、A、B、A，
所以丁同学答对了第二、四、五题，
所以丁同学得分是3分．
故答案为：3；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是：C、A、C、C、C（答案不唯一）．
故答案为：C、A、C、C、C．
15．有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？
解：若苹果在红箱子里?（1）（2）正确（3）错误
若苹果在黄箱子里?（1）（2）错误（3）正确
若苹果在蓝箱子里?（1）错（2）（3）正确
故苹果在黄箱子里．
16．（2020秋?鼓楼区期中）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．
（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少 7 次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 14 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．
解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，
次数（至少）：14÷2＝7，
故答案为：7；
（3）由题可知：0＜n≤7．
①当n＝1时，由（1）可知能够做到，
②当n＝2时，由（2）可知无法做到，
③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，
14＝6+6+2，
故n＝3可以，
④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，
14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，
故＝4不可以，
⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，
14＝10+2+2，
故n＝5可以，
⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，
无法组合，
故n＝6不可以，
⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，
故n＝1，3，5，7时，可以．
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1.3证明
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?高邮市期末）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元
B．13元
C．14元
D．无法确定
2．（2021春?丰台区校级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
3．（2020秋?越城区期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子
B．5号杯子
C．6号杯子
D．7号杯子
4．（2021春?新罗区期末）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英
B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明
D．小亮，小英，小华，小明
5．（2017?宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（2020?浙江自主招生）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．（2019秋?临海市期末）有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（ ）
A．甲说实话，乙和丙说谎
B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎
D．甲、乙、丙都说谎
8．（2020春?海淀区校级月考）小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是（ ）
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A．①
B．②③
C．③
D．①③
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?岳麓区月考）今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是
．
10．（2021春?莆田期末）现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是
．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
11．（2021春?昌平区期末）“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是
．
12．（2021?湘潭）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是
年．（用天干地支纪年法表示）
三．解答题（共4小题）
13．如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”
B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”
你能确定他们的位置吗？
14．（2020?丰台区模拟）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
（1）则甲同学错的是第
题；
（2）丁同学的得分是
；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是
（写出一种即可）
15．有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？
16．（2020秋?鼓楼区期中）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．
（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少
次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是
，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．
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