初中数学浙教版九年级上册第三章 圆的基本性质单元测试
一、单选题
1．（2021·上海）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故答案为：C
【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.
2．（2021·桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故答案为：B
【分析】根据圆周角的定理解答，由圆周角的定理可得直径所对的圆周角为直角.
3．（2021·黄冈模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°.
故答案为：A.
【分析】正n边形的中心角可得结果.
4．（2021八下·吴兴期末）4张扑克牌如图1所示放在桌子上，小明将其中一张旋转180°后得到的图如图2所示，那么他旋转的牌从左起是（ ）．
A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张
【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，故本选项符合题意
B不是中心对称图形，故本选项不符合题意
C不是中心对称图形，故本选项不符合题意
D不是中心对称图形，故本选项不符合题意
故答案为A
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．（2021·玉林）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” .下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可得结果.
6．（2021·南海模拟）如图，在 中， 为直径， 为弦，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
∵AB为⊙O直径，
∴ ．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由圆周角定理得，，再由直角三角形的性质即可求解。
7．（2021·长春模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°，若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OD，
∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=2，
∴AB=2OA=4.
故答案为：D.
【分析】连接AC，OD，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACD=30°，从而得出∠AOD=60°，证出△AOD是等边三角形，得出OA=AD=2，即可求出AB=2OA=4.
8．（2021九上·新抚期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OD、OF，利用圆内接正多边形的性质可求出∠AOD和∠AOF的度数；再求出∠DOF的度数；然后用360°除以一个中心角的度数=正多边形的边数，由此可求解.
9．（2021·云南）如图，等边 的三个顶点都在 上， 是 的直径．若 ，则劣弧 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，
∴劣弧BD的长为 =π，
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠BAO=∠CAO=30°，利用圆周角定理可得∠BOD=60°，利用弧长公式即可求出结论.
10．（2021·成都）如图，正六边形 的边长为6，以顶点A为圆心， 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB= ，AB=6，
∴扇形ABF的面积= ，
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的性质得∠FAB= ，半径=正六边形的边长，然后根据扇形面积S=可求解.
二、填空题
11．（2021·盐城）如图，在⊙O内接四边形 中，若 ，则 .
【答案】80
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴ .
故答案为80.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠ABC+∠ADC=180°，据此计算即可.
12．（2021·青海）点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距离是 ，则 的半径是 ．
【答案】6.5cm或2.5cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为：6.5cm或2.5cm
【分析】分类讨论，计算求解即可。
13．（2021九下·玉门月考）如图，已知⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上一动点，连结OP，则线段OP的最小长度是 .
【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据垂线段最短知，当OP⊥AB时，OP的长度最小，
此时由垂径定理知，点P是AB的中点，BP＝ AB＝4，
连接OB， OP＝ ，
故答案为：3.
【分析】根据垂线段最短知，当OP⊥AB时，OP的长度最小，根据垂径定理和勾股定理求解即可.
14．（2021·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB= .
【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO，再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。
15．（2021九下·大洼开学考）如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上，则 的度数为
【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OE、OB，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠BOE= ×2=144°，
∴∠BFE= ∠BOE=72°，
故答案为：72°．
【分析】连接圆心和点B点E，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠BFE的度数即可．
16．（2021·朝阳模拟）如图，AB是 的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D．若 ，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留 ）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接AC，BC，AD，BD，
，
同理
．
阴影部分图形的周长和为：
．
故答案为： ．
【分析】利用作法得到，得到，在根据弧长公式计算图中弧CAD的长。
三、解答题
17．（2020九上·泗阳期中）如图： ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD=CE.
【答案】证明： ，
，
CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∠CDO=∠CEO=90°，
在△ODC和△OEC中，
，
△ODC≌△OEC（AAS），
CD=CE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由等弧所对的圆心角相等得 ，由用CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，得 ∠CDO=∠CEO=90°，从而利用AAS可证△ODC≌△OEC，利用全等三角形的对应边相等得CD=CE.
18．（2020九上·元阳期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．
【答案】解：圆锥的底面周长 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据题意求出 ，最后计算求解即可。
19．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
20．（2020九上·南京月考）如图，四边形 内接于 ， 与 为对角线， ，过点A作 交 的延长线于点E.求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质结合已知条件证得 ，根据同角的补角相等得出 ，利用三角形内角和定理证得 ，从而证明结论.
21．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角求出，再根据对顶角求出，最后利用三角形的外角求解即可。
22．（2021九上·安定期末）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长.
【答案】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝ ，
∴CD＝2CE＝6.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得到CE=ED，连接OC，再根据已知条件得到OE和OC的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长.
23．（2019九上·西城期中）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是线段BC上的一点，CD＝4，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接CE．求CE的长．
【答案】解：∵△ACE是△ABD绕点A旋转得到的，
∴△ACE≌△ABD．
∴CE＝BD，
∵BC＝6，CD＝4，
∴CE＝BD＝BC﹣CD＝2．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转可知△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，即可求得BD的长．
四、综合题
24．（2021·临淄模拟）如图
如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 ？
【答案】（1）解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
（2）解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
(2)解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【分析】（1）重点要准确画出三次旋转后的图形，找到O点的行动轨迹
（2） 重点需要知道把正方形旋转四次后，O点的相对位置不变，把握住O点的规律.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册第三章 圆的基本性质单元测试
一、单选题
1．（2021·上海）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
2．（2021·桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．（2021·黄冈模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
4．（2021八下·吴兴期末）4张扑克牌如图1所示放在桌子上，小明将其中一张旋转180°后得到的图如图2所示，那么他旋转的牌从左起是（ ）．
A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张
5．（2021·玉林）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” .下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
6．（2021·南海模拟）如图，在 中， 为直径， 为弦，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·长春模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°，若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8．（2021九上·新抚期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
9．（2021·云南）如图，等边 的三个顶点都在 上， 是 的直径．若 ，则劣弧 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·成都）如图，正六边形 的边长为6，以顶点A为圆心， 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·盐城）如图，在⊙O内接四边形 中，若 ，则 .
12．（2021·青海）点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距离是 ，则 的半径是 ．
13．（2021九下·玉门月考）如图，已知⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上一动点，连结OP，则线段OP的最小长度是 .
14．（2021·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
15．（2021九下·大洼开学考）如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上，则 的度数为
16．（2021·朝阳模拟）如图，AB是 的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D．若 ，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留 ）
三、解答题
17．（2020九上·泗阳期中）如图： ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD=CE.
18．（2020九上·元阳期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．
19．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
20．（2020九上·南京月考）如图，四边形 内接于 ， 与 为对角线， ，过点A作 交 的延长线于点E.求证： .
21．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
22．（2021九上·安定期末）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长.
23．（2019九上·西城期中）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是线段BC上的一点，CD＝4，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接CE．求CE的长．
四、综合题
24．（2021·临淄模拟）如图
如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 ？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故答案为：C
【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故答案为：B
【分析】根据圆周角的定理解答，由圆周角的定理可得直径所对的圆周角为直角.
3．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°.
故答案为：A.
【分析】正n边形的中心角可得结果.
4．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，故本选项符合题意
B不是中心对称图形，故本选项不符合题意
C不是中心对称图形，故本选项不符合题意
D不是中心对称图形，故本选项不符合题意
故答案为A
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可得结果.
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
∵AB为⊙O直径，
∴ ．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由圆周角定理得，，再由直角三角形的性质即可求解。
7．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OD，
∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=2，
∴AB=2OA=4.
故答案为：D.
【分析】连接AC，OD，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACD=30°，从而得出∠AOD=60°，证出△AOD是等边三角形，得出OA=AD=2，即可求出AB=2OA=4.
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OD、OF，利用圆内接正多边形的性质可求出∠AOD和∠AOF的度数；再求出∠DOF的度数；然后用360°除以一个中心角的度数=正多边形的边数，由此可求解.
9．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，
∴劣弧BD的长为 =π，
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠BAO=∠CAO=30°，利用圆周角定理可得∠BOD=60°，利用弧长公式即可求出结论.
10．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB= ，AB=6，
∴扇形ABF的面积= ，
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的性质得∠FAB= ，半径=正六边形的边长，然后根据扇形面积S=可求解.
11．【答案】80
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴ .
故答案为80.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠ABC+∠ADC=180°，据此计算即可.
12．【答案】6.5cm或2.5cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为：6.5cm或2.5cm
【分析】分类讨论，计算求解即可。
13．【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据垂线段最短知，当OP⊥AB时，OP的长度最小，
此时由垂径定理知，点P是AB的中点，BP＝ AB＝4，
连接OB， OP＝ ，
故答案为：3.
【分析】根据垂线段最短知，当OP⊥AB时，OP的长度最小，根据垂径定理和勾股定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB= .
【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO，再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。
15．【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OE、OB，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠BOE= ×2=144°，
∴∠BFE= ∠BOE=72°，
故答案为：72°．
【分析】连接圆心和点B点E，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠BFE的度数即可．
16．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接AC，BC，AD，BD，
，
同理
．
阴影部分图形的周长和为：
．
故答案为： ．
【分析】利用作法得到，得到，在根据弧长公式计算图中弧CAD的长。
17．【答案】证明： ，
，
CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∠CDO=∠CEO=90°，
在△ODC和△OEC中，
，
△ODC≌△OEC（AAS），
CD=CE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由等弧所对的圆心角相等得 ，由用CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，得 ∠CDO=∠CEO=90°，从而利用AAS可证△ODC≌△OEC，利用全等三角形的对应边相等得CD=CE.
18．【答案】解：圆锥的底面周长 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据题意求出 ，最后计算求解即可。
19．【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
20．【答案】证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质结合已知条件证得 ，根据同角的补角相等得出 ，利用三角形内角和定理证得 ，从而证明结论.
21．【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角求出，再根据对顶角求出，最后利用三角形的外角求解即可。
22．【答案】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝ ，
∴CD＝2CE＝6.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得到CE=ED，连接OC，再根据已知条件得到OE和OC的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长.
23．【答案】解：∵△ACE是△ABD绕点A旋转得到的，
∴△ACE≌△ABD．
∴CE＝BD，
∵BC＝6，CD＝4，
∴CE＝BD＝BC﹣CD＝2．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转可知△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，即可求得BD的长．
24．【答案】（1）解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
（2）解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
(2)解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【分析】（1）重点要准确画出三次旋转后的图形，找到O点的行动轨迹
（2） 重点需要知道把正方形旋转四次后，O点的相对位置不变，把握住O点的规律.
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