【精品解析】初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转同步练习

初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转同步练习
一、单选题
1．（2021八下·定陶期末）将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·苏州）如图，在方格纸中，将 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到 ，则下列四个图形中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021·大连）如图，在 中， ， ，将 绕点C顺时针旋转90°得到 ，点B的对应点 在边 上（不与点A，C重合），则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021八下·天桥期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C1，此时点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝B1C B．CA1＝A1B
C．A1B1⊥BC D．∠CA1A＝∠CA1B1
5．（2021八下·槐荫期末）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点A旋转到 的位置，使得 ，则 的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
6．（2021·天津）如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
7．（2021·哈尔滨模拟）如图．将 绕点 按顺时针方向旋转20°， 点落在 位置，点 落在 位置，若 ，则 的度数为（　　）
A．45° B．60° C．70° D．90°
8．（2021·郓城模拟）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是正方形，点 ，点D是 中点，将 以C为旋转中心逆时针旋转 后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标（　　）
A． B． C． D．
9．（2021·和平模拟）如图，以点 为旋转中心，把 顺时针旋转得 ．记旋转角为 ，连接AE， 为 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·滨海模拟）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，此时使点 的对应点 恰好在 边上，点 的对应点为 ， 与 交于点 ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021·柳州模拟）如图，将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，若 ，则 　 　．
12．（2021八下·新华期末）如图，正五边形 的边 在直线 上，现将其绕点 按顺时针方向旋转一定角度，使五边形的边 的对应边 落在直线 上，则正五边形旋转的最小角度是　 　°．
13．（2021·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，若将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为　 　．
14．（2021·李沧模拟）如图，正方形 的边长为2，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上，将正方形 绕点 逆时针旋转30°至正方形 的位置， 与 相交于点 ，则点 的坐标为　 　．
15．（2021八下·中原期中）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为　 　.
16．（2021七下·南开期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ， ， ．若按住三角板 不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则 的度数为　 　．
三、解答题
17．（2020九上·宁城期末）如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长
18．（2019九上·洮北月考）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数
19．（2019·中山模拟）如图，已知△ 和点 。
（1）把△ 绕点 顺时针旋转90°得到△ ，在网格中画出△ ；
（2）用直尺和圆规作△ 的边 ， 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 （要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点 是△ 的内心，还是外心？
20．（2019九上·潮南期末）如图在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），求证：AB1∥CB．
21．（2018九上·花都期中）已知：如图，在 中， ，将 绕点B按逆时针方向旋转 得到 ，点C在边BD上．
求： 的度数．
22．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个四边形OABP，使得点P的横、纵坐标之和等于5．
（2）在图2中画一个四边形OABQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于20．
23．如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．
（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；
（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．
四、综合题
24．（2020九上·三台月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标.
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转图形的性质：
可以得出旋转后的图形为 .
故答案为：A
【分析】一个图形绕着一定点旋转一定的角度（小于平角）后，能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】A、 是由 关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、 是由 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、 与 对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、 是由 绕点 按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质并结合各选项可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得： ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】先求出 等腰直角三角形，再求出，最后计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C1，此时点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，∠ACB＝90°，
∴AB＝A1B1，CA＝CA1，A1B1不一定垂直BC，
∴∠CA1A＝∠CAB＝∠CA1B1，
则A、B、C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可。
5．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点A旋转到 的位置，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】由旋转可知 ，求出 ，据此判断A；由旋转可知 ，在△EDC中，，可得，据此判断B；在△EDC中，由 ，可得 ，据此判断C；可证 为等边三角形，
可得 ，从而得出，可证 ，据此判断D.
7．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： 绕着点 按顺时针方向旋转 ， 点落在 位置，
， ，
，
，
．
．
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质求出 ，再求出∠BAC=70°，最后求解即可。
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，
∵ 以C为旋转中心逆时针旋转 得到 ，
则 ，
∴ ，
当使点C与点O重合，点C向下平移4个单位长度，得到 ，
∴点 向下平移4个单位长度，
∴ ；
故答案为：A．
【分析】根据题意和旋转变换的性质、平移的性质化出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和便宜性质解答。
9．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：延长AB交DE于点F
由以点 为旋转中心，把 顺时针旋转得 ．记旋转角为 ，
∴∠DFA=α
又∵ 为 ，则 的度数为
故答案为：A
【分析】根据旋转的性质求解即可。
10．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，不能得 ，故A不符合题意；
，不能得 ，故B不符合题意；
不一定等于 ，即 不一定平行于AC，不能得 ，故C不符合题意；
， ，可得 ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 和旋转的性质对每个选项一一判断求解即可。
11．【答案】30°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：30°．
【分析】根据旋转的性质得到 ， ，利用角的和差即可求解．
12．【答案】72°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCD＝（5 2）×180°÷5＝108°，
当按顺时针方向旋转后五边形的边 的对应边 落在直线 上时，旋转角∠DCD'＋∠BCD＝180°，
∴最小旋转角∠DCD'＝180° 108°＝72°，
故答案是：72°．
【分析】先求出正五边形内角∠BCD＝108°，根据旋转的性质可得∠DCD'＋∠BCD＝180°，据此计算即可.
13．【答案】(7，4)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：作 轴于点 ，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴点 坐标为(7，4)．
故答案为：(7，4)．
【分析】先求出四边形 为矩形，再求出 ， ，最后求点的坐标即可。
14．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OM，
∵将边长为2的正方形OBCD绕点O逆时针旋转30°得到正方形OB′C′D′，
∴OD=OB′=2，∠BOB′=30°，
∴∠B′OD=60°，
在Rt△ODM和Rt△OB′M中，
，
∴Rt△ODM≌Rt△OB′M（HL），
∴∠DOM=∠B′OM= ∠B′OD=30°，
∴DM=ODtan∠DOM=2× = ，
∴点M的坐标为（-2， ），
故答案为：（-2， ）．
【分析】连接OM，由旋转性质知OD=OB′=2，∠BOB′=30°，∠B′OD=60°，证Rt△ODM≌Rt△OB′M得∠DOM= ∠B′OD=30°，由DM=ODtan∠DOM可得答案．
15．【答案】20°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴∠ACA′=40°，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠CA′A，
∴∠AA′C= ，
∵AC⊥A'B'，
∴∠B′A′C+∠ACA′=180°-90°=90°，
∴∠B′A′C=90°-∠ACA′=50°，
∴∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C=70°-50°=20°.
故答案为：20°.
【分析】由旋转的性质可得∠ACA′=40°，AC=A′C，由等边对等角可得∠CAA′=∠CA′A，然后根据三角形的内角和等于180°可求得∠AA′C的度数，由直角三角形两锐角互余可求得∠B′A′C的度数，再根据角的构成∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C可求解.
16．【答案】 或120°或165°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
①当CD∥AB时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当CE∥AB时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
③当DE∥AB时，过点C作CF∥DE，如图所示：
∴DE∥AB∥CF，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则 的度数为 或120°或165°；
故答案为 或120°或165°．
【分析】分三种情况画出图形，有平行线的性质可得答案。
17．【答案】解： ， ， ，
， ， ．
由旋转的性质可知： ， ， ，
是等边三角形．
．
．
故答案为： ．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】先依据特殊锐角三角函数值可求得 BC 、 AB 的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到 是等边三角形，从而得到 的长度，最后依据 求解即可．
18．【答案】解：∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴OC=OF，∠COF=40°，
∴OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°，
∴∠OFA= （180°-130°）=25°．
故答案为25°．
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】本题的重点是求出∠AOF的度数，利用旋转的性质，可得AO=FO，在利用等腰三角形的性质既可以求出∠OFA的度数了。
19．【答案】（1）△ 如图所示；
（2）如图所示；点 是△ 的外心．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别将三角形三个边进行旋转90°即可。
（2）根据线段垂直平分线的做法画出即可。
20．【答案】解：∵△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，
∴AC1＝AC，∠B1AC1＝∠BAC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠B1AC1＝∠C，
∵AC＝AC1，
∴∠AC1C＝∠C，
∴∠B1AC1＝∠AC1C，
∴AB1∥CB．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转性质可得：∠B1AC1＝∠BAC，AC1＝AC，进而用”等边对等角“证得∠AC1C＝∠C，∠BAC＝∠C，可得∠B1AC1＝∠AC1C，从而证得AB1∥CB。
21．【答案】解：根据旋转的性质可知 ≌ ，
．
又 ，
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠E=∠ACB=90°，∠EBD=53°，然后利用直角三角形的性质即可求出∠D的度数。
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】图形的旋转
【解析】【分析】（1）在坐标图上寻找一点P，使得点P的横坐标和纵坐标的和为5即可，例如：（3+2）。
（2）在坐标图上寻找一点Q，使得点Q的横坐标和纵坐标的平方和为20即可，例如：（22+42）。
23．【答案】（1）解：旋转中心点P位置如图所示，
点P的坐标为（0，1）
（2）解：旋转后的三角形④如图所示．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）找出旋转图形的两组对应点，连接对应点，做对应点线段之间的垂直平分线，两个平分线的交点即为旋转中心。
（2）根据已经确定的旋转中心，作出第四个经过旋转的图形即可。
24．【答案】 解：（1）（3）如图所示，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转同步练习
一、单选题
1．（2021八下·定陶期末）将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转图形的性质：
可以得出旋转后的图形为 .
故答案为：A
【分析】一个图形绕着一定点旋转一定的角度（小于平角）后，能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，据此逐一判断即可.
2．（2021·苏州）如图，在方格纸中，将 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到 ，则下列四个图形中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】A、 是由 关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、 是由 绕点 按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、 与 对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、 是由 绕点 按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质并结合各选项可判断求解.
3．（2021·大连）如图，在 中， ， ，将 绕点C顺时针旋转90°得到 ，点B的对应点 在边 上（不与点A，C重合），则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得： ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】先求出 等腰直角三角形，再求出，最后计算求解即可。
4．（2021八下·天桥期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C1，此时点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝B1C B．CA1＝A1B
C．A1B1⊥BC D．∠CA1A＝∠CA1B1
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C1，此时点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，∠ACB＝90°，
∴AB＝A1B1，CA＝CA1，A1B1不一定垂直BC，
∴∠CA1A＝∠CAB＝∠CA1B1，
则A、B、C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可。
5．（2021八下·槐荫期末）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点A旋转到 的位置，使得 ，则 的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点A旋转到 的位置，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
6．（2021·天津）如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】由旋转可知 ，求出 ，据此判断A；由旋转可知 ，在△EDC中，，可得，据此判断B；在△EDC中，由 ，可得 ，据此判断C；可证 为等边三角形，
可得 ，从而得出，可证 ，据此判断D.
7．（2021·哈尔滨模拟）如图．将 绕点 按顺时针方向旋转20°， 点落在 位置，点 落在 位置，若 ，则 的度数为（　　）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： 绕着点 按顺时针方向旋转 ， 点落在 位置，
， ，
，
，
．
．
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质求出 ，再求出∠BAC=70°，最后求解即可。
8．（2021·郓城模拟）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是正方形，点 ，点D是 中点，将 以C为旋转中心逆时针旋转 后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，
∵ 以C为旋转中心逆时针旋转 得到 ，
则 ，
∴ ，
当使点C与点O重合，点C向下平移4个单位长度，得到 ，
∴点 向下平移4个单位长度，
∴ ；
故答案为：A．
【分析】根据题意和旋转变换的性质、平移的性质化出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和便宜性质解答。
9．（2021·和平模拟）如图，以点 为旋转中心，把 顺时针旋转得 ．记旋转角为 ，连接AE， 为 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：延长AB交DE于点F
由以点 为旋转中心，把 顺时针旋转得 ．记旋转角为 ，
∴∠DFA=α
又∵ 为 ，则 的度数为
故答案为：A
【分析】根据旋转的性质求解即可。
10．（2021·滨海模拟）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，此时使点 的对应点 恰好在 边上，点 的对应点为 ， 与 交于点 ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，不能得 ，故A不符合题意；
，不能得 ，故B不符合题意；
不一定等于 ，即 不一定平行于AC，不能得 ，故C不符合题意；
， ，可得 ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 和旋转的性质对每个选项一一判断求解即可。
二、填空题
11．（2021·柳州模拟）如图，将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，若 ，则 　 　．
【答案】30°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：30°．
【分析】根据旋转的性质得到 ， ，利用角的和差即可求解．
12．（2021八下·新华期末）如图，正五边形 的边 在直线 上，现将其绕点 按顺时针方向旋转一定角度，使五边形的边 的对应边 落在直线 上，则正五边形旋转的最小角度是　 　°．
【答案】72°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCD＝（5 2）×180°÷5＝108°，
当按顺时针方向旋转后五边形的边 的对应边 落在直线 上时，旋转角∠DCD'＋∠BCD＝180°，
∴最小旋转角∠DCD'＝180° 108°＝72°，
故答案是：72°．
【分析】先求出正五边形内角∠BCD＝108°，根据旋转的性质可得∠DCD'＋∠BCD＝180°，据此计算即可.
13．（2021·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，若将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为　 　．
【答案】(7，4)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：作 轴于点 ，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴点 坐标为(7，4)．
故答案为：(7，4)．
【分析】先求出四边形 为矩形，再求出 ， ，最后求点的坐标即可。
14．（2021·李沧模拟）如图，正方形 的边长为2，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上，将正方形 绕点 逆时针旋转30°至正方形 的位置， 与 相交于点 ，则点 的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OM，
∵将边长为2的正方形OBCD绕点O逆时针旋转30°得到正方形OB′C′D′，
∴OD=OB′=2，∠BOB′=30°，
∴∠B′OD=60°，
在Rt△ODM和Rt△OB′M中，
，
∴Rt△ODM≌Rt△OB′M（HL），
∴∠DOM=∠B′OM= ∠B′OD=30°，
∴DM=ODtan∠DOM=2× = ，
∴点M的坐标为（-2， ），
故答案为：（-2， ）．
【分析】连接OM，由旋转性质知OD=OB′=2，∠BOB′=30°，∠B′OD=60°，证Rt△ODM≌Rt△OB′M得∠DOM= ∠B′OD=30°，由DM=ODtan∠DOM可得答案．
15．（2021八下·中原期中）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为　 　.
【答案】20°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴∠ACA′=40°，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠CA′A，
∴∠AA′C= ，
∵AC⊥A'B'，
∴∠B′A′C+∠ACA′=180°-90°=90°，
∴∠B′A′C=90°-∠ACA′=50°，
∴∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C=70°-50°=20°.
故答案为：20°.
【分析】由旋转的性质可得∠ACA′=40°，AC=A′C，由等边对等角可得∠CAA′=∠CA′A，然后根据三角形的内角和等于180°可求得∠AA′C的度数，由直角三角形两锐角互余可求得∠B′A′C的度数，再根据角的构成∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C可求解.
16．（2021七下·南开期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ， ， ．若按住三角板 不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则 的度数为　 　．
【答案】 或120°或165°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
①当CD∥AB时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当CE∥AB时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
③当DE∥AB时，过点C作CF∥DE，如图所示：
∴DE∥AB∥CF，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则 的度数为 或120°或165°；
故答案为 或120°或165°．
【分析】分三种情况画出图形，有平行线的性质可得答案。
三、解答题
17．（2020九上·宁城期末）如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长
【答案】解： ， ， ，
， ， ．
由旋转的性质可知： ， ， ，
是等边三角形．
．
．
故答案为： ．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】先依据特殊锐角三角函数值可求得 BC 、 AB 的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到 是等边三角形，从而得到 的长度，最后依据 求解即可．
18．（2019九上·洮北月考）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数
【答案】解：∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴OC=OF，∠COF=40°，
∴OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°，
∴∠OFA= （180°-130°）=25°．
故答案为25°．
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】本题的重点是求出∠AOF的度数，利用旋转的性质，可得AO=FO，在利用等腰三角形的性质既可以求出∠OFA的度数了。
19．（2019·中山模拟）如图，已知△ 和点 。
（1）把△ 绕点 顺时针旋转90°得到△ ，在网格中画出△ ；
（2）用直尺和圆规作△ 的边 ， 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 （要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点 是△ 的内心，还是外心？
【答案】（1）△ 如图所示；
（2）如图所示；点 是△ 的外心．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别将三角形三个边进行旋转90°即可。
（2）根据线段垂直平分线的做法画出即可。
20．（2019九上·潮南期末）如图在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），求证：AB1∥CB．
【答案】解：∵△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，
∴AC1＝AC，∠B1AC1＝∠BAC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠B1AC1＝∠C，
∵AC＝AC1，
∴∠AC1C＝∠C，
∴∠B1AC1＝∠AC1C，
∴AB1∥CB．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转性质可得：∠B1AC1＝∠BAC，AC1＝AC，进而用”等边对等角“证得∠AC1C＝∠C，∠BAC＝∠C，可得∠B1AC1＝∠AC1C，从而证得AB1∥CB。
21．（2018九上·花都期中）已知：如图，在 中， ，将 绕点B按逆时针方向旋转 得到 ，点C在边BD上．
求： 的度数．
【答案】解：根据旋转的性质可知 ≌ ，
．
又 ，
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠E=∠ACB=90°，∠EBD=53°，然后利用直角三角形的性质即可求出∠D的度数。
22．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个四边形OABP，使得点P的横、纵坐标之和等于5．
（2）在图2中画一个四边形OABQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于20．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】图形的旋转
【解析】【分析】（1）在坐标图上寻找一点P，使得点P的横坐标和纵坐标的和为5即可，例如：（3+2）。
（2）在坐标图上寻找一点Q，使得点Q的横坐标和纵坐标的平方和为20即可，例如：（22+42）。
23．如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．
（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；
（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．
【答案】（1）解：旋转中心点P位置如图所示，
点P的坐标为（0，1）
（2）解：旋转后的三角形④如图所示．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）找出旋转图形的两组对应点，连接对应点，做对应点线段之间的垂直平分线，两个平分线的交点即为旋转中心。
（2）根据已经确定的旋转中心，作出第四个经过旋转的图形即可。
四、综合题
24．（2020九上·三台月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标.
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
【答案】 解：（1）（3）如图所示，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
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