初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角同步练习
一、单选题
1．（2021·长沙）如图，点 ， ， 在⊙O上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ，
由圆周角定理得： ，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”得∠BOC=2∠BAC可求解.
2．（2021·金牛模拟）如图， 为 的直径， 是 的弦， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由直径所对的圆周角是直角易得∠B的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得 的度数 .
3．（2021·宜昌）如图， ， 是 上直径 两侧的两点.设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故答案为：D.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠BDC的度数.
4．（2021·吉林）如图，四边形 内接于 ，点 为边 上任意一点（点 不与点 ， 重合）连接 ．若 ，则 的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的外角，
∴ ，只有D满足题意．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
5．（2021·绿园模拟）如图， 是 的直径， 是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径 两侧），若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】连接AC，求出，即可得出 的度数。
6．（2021·邳州模拟）如图， 是⊙O的直径， 、 是⊙O上的两点， ，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CDB=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角定理证明∠ACB=90°，再利用圆周角定理求出∠CAB可得结论.
7．（2021·南关模拟）如图， 的弦 、 的延长线交圆外于点 ，若 ， ，则 的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC=100°，∠ABC与∠AOC所对弧为同弧，
∴∠ABC= ∠AOC=50°，
∵∠ABC为△BCE的外角，
∴∠E=∠ABC-∠BCE=50°-20°=30°．
故答案为：C．
【分析】由同弧所对的圆周角的一半可得∠ABC的度数，再通过外角定理求解。
8．（2021·松北模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故答案为：B．
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求出∠BCD的度数。
9．（2021·滨江模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，交BC于点D，若CD＝BD，则（ ）
A．AC＝BC B．
C．AB＝2DE D．BC BD＝AB CE
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD、DE，
∵直径AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ CD＝BD，
∴AC=AB，
故选项A错误；
∴∠CAD=∠BAD，
∴DE=BD，，
∴
故选项B、C错误；
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴BC·DE=AB·CE，
∵DE=BD，
∴BC·BD=AB·CE.
故答案为：D.
【分析】连接AD、DE，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据线段垂直平分线的性质得AC=AB，即可判断A选项错误；
再根据等腰三角形的性质得出∠CAD=∠BAD，从而得出DE=BD，，得出，即可判断B、C选项错误；
证出△CDE∽△CAB，得出，再根据DE=BD，得出BC·BD=AB·CE，即可判断选项D正确.
10．（2021·平房模拟）如图， 与 是 的两条互相垂直的弦，交点为点 ， ，点 在圆上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用垂直的定义和圆周角定理求解即可。
二、填空题
11．（2021·锡山模拟）如图，在 中， 为 直径， 为圆上一点，若 ，则 的度数为 ．
【答案】52°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得答案.
12．（2021·随县）如图， 是 的外接圆，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 的度数为 .
【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，连接BD，则
AD为直径
故答案为40°
【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠D的度数；再利用圆周角定理可求出∠BAD的度数.
13．（2021·平谷模拟）如图所示的网格是正方形网格， ， ， ， 是网格线交点， 恰好经过点 ， ， ，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC 与∠AOD大小关系为：∠ABC ∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】=
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，分别连接 、
∵ 恰好经过点 ， ，
∴
∵OD为与网格线重合的一条半径
∴
∴
∴
∴
故答案为：＝．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
14．（2021·南海模拟）如图， 是⊙O的直径， 是直径 两侧⊙O上的点，若 ，那么 的度数为 °．
【答案】57
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ，
∴∠ACD= ，
∴ =∠ACB-∠ACD=90°-33°=57°，
故答案是：57°．
【分析】根据圆周角定理及其推论，可得∠ACB=90°，∠ACD= ，进而即可求解．
15．（2021·茶陵模拟）如图，AD是⊙O的直径， ＝ ，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是 .
【答案】54°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AD是⊙O的直径， ＝ ，若∠AOB＝36°，
∴∠AOB=∠COD=36°，
∴∠BOC=180°-36°-36°=108°，
∵∠BPC和∠BOC分别是 所对的圆周角和圆心角，
∴∠BPC= ∠BOC= ×108°=54°，
故答案为：54°
【分析】根据AD是⊙O的直径， ＝ 可得∠AOB=∠COD，根据平角的定义可得∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得答案.
16．（2021九上·南浔期末）已知一条弧所对的圆心角为 80°，则这条弧所对的圆周角度数为 °.
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵一条弧所对的圆心角为 80°，
∴这条弧所对的圆周角度数为40°；
故答案为：40.
【分析】根据同圆中同弧所对的圆心角和圆周角的关系即可求出结果.
三、解答题
17．（2020九上·乐清期中）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M.
求证：AM＝DM.
【答案】证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ，
∴∠D＝∠A，
∴MA＝MD.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】欲证明AM＝DM，只要证明∠D＝∠A即可；
18．（2021·西城模拟）如下是小华设计的“作 的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤 作法 推断
第一步 在 上任取一点C，以点C为圆心， 为半径作半圆，分别交射线 于点P，点Q，连接 ▲ ，理由是 ▲
第二步 过点C作 的垂线，交 于点D，交 于点E ， ③
第三步 作射线 射线 平分
射线 为所求作．
【答案】解：补全的图形如图1所示．
；90；
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：①∵OQ是直径
∴∠OPQ=90°
故答案为：90；
②故答案为：直径所对的圆周角是直角；
③∵CE⊥PQ
∴由垂径定理得： ．
故答案为：
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得到结论。
19．（2020九上·东阿期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．
【答案】解：连接 ，
是 直径，
，
∵ ，
∴ ，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接 BC ，根据圆周角定理即可得到结论．
20．（2020九上·宜春期中）如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
21．（2020九上·武汉月考）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若 = ，∠E＝70°，求∠ABC的度数.
【答案】解：连接DB.
∵∠E＝70°，
∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵ = ，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接DB由同弧所对的圆周角相等，得∠A＝∠E＝70°，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°﹣∠A＝20°，再由等弧所对的圆周角相等，得∠DBC＝∠DBA＝20°，进而求出∠ABC的度数.
22．（2020九上·南京月考）用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”.
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O.
求证：∠B＋∠D＝180°.
证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴（ ）.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是 ，
∴（ ）.
∴∠B＋∠ADC＝180°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证法2：
【答案】解：证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是 ，
∴∠AEC＝∠B..
∴∠B＋∠ADC＝180°.
证法2：连接OA、OC
∵∠B、∠1所对的弧是 ，
∠D、∠2所对的弧是 ，
∴∠B＝ ∠1，∠D＝ ∠2
∵∠1＋∠2＝360°，
∴∠B＋∠D＝ (∠1＋∠2)＝ ×360°＝180°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角为90°及同弧所对的圆周角相等即可补全证明过程；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠B＝ ∠1，∠D＝ ∠2 ，继而根据周角的定义即可得出答案.
23．（2020九上·玉山期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，求∠C．
【答案】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOB=57°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】此题根据圆周角与圆心角的关系求解即可．
四、综合题
24．（2020九上·平山期中）如图①，将一块含30°角的三角板和一个量角器拼在一起，如图②是拼接示意图，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合且∠CAB=30°，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E．
（1）当旋转7.5秒时，连结BE，E点处量角器上的读数为 度；
（2）在（1）的条件下求证BE=CE；
（3）设旋转x秒后，E点处量角器上的读数为y度，写出y与x的函数表达式．
【答案】（1）30
（2）证明：∠ECB=90°-15°=75°，∠EBC=90°-30°+15°=75°，
∴∠ECB=∠EBC．
∴BE=CE；
（3）解：当旋转x秒后，∠ACE=2x°，根据圆周角性质可知∠ABE=∠ACE=2x°，
∵OB=OE，∴∠AOE=2∠ABE=4x°．即y=4x°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）由于 ，AB为斜边，所以此量角器所在圆是以AB中点O为圆心，AB为直径的圆，
连接OE，BE， ，
∵ 和 都是弧AE所对的圆周角，
∴ ，
∵OE=OB，
∴ ，
即E点处量角器的度数为 ；
【分析】（1）根据直角三角形的特性可得此量角器所在圆是以AB中点O为圆心，AB为直径的圆，根据圆周角定理转化旋转角 ，即可得解；；（2）证明 即可；（3）与（1）类似，可得∠ABE=∠ACE=2x°，即可求解；
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角同步练习
一、单选题
1．（2021·长沙）如图，点 ， ， 在⊙O上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·金牛模拟）如图， 为 的直径， 是 的弦， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·宜昌）如图， ， 是 上直径 两侧的两点.设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·吉林）如图，四边形 内接于 ，点 为边 上任意一点（点 不与点 ， 重合）连接 ．若 ，则 的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·绿园模拟）如图， 是 的直径， 是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径 两侧），若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·邳州模拟）如图， 是⊙O的直径， 、 是⊙O上的两点， ，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．（2021·南关模拟）如图， 的弦 、 的延长线交圆外于点 ，若 ， ，则 的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
8．（2021·松北模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
9．（2021·滨江模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，交BC于点D，若CD＝BD，则（ ）
A．AC＝BC B．
C．AB＝2DE D．BC BD＝AB CE
10．（2021·平房模拟）如图， 与 是 的两条互相垂直的弦，交点为点 ， ，点 在圆上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·锡山模拟）如图，在 中， 为 直径， 为圆上一点，若 ，则 的度数为 ．
12．（2021·随县）如图， 是 的外接圆，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 的度数为 .
13．（2021·平谷模拟）如图所示的网格是正方形网格， ， ， ， 是网格线交点， 恰好经过点 ， ， ，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC 与∠AOD大小关系为：∠ABC ∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．（2021·南海模拟）如图， 是⊙O的直径， 是直径 两侧⊙O上的点，若 ，那么 的度数为 °．
15．（2021·茶陵模拟）如图，AD是⊙O的直径， ＝ ，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是 .
16．（2021九上·南浔期末）已知一条弧所对的圆心角为 80°，则这条弧所对的圆周角度数为 °.
三、解答题
17．（2020九上·乐清期中）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M.
求证：AM＝DM.
18．（2021·西城模拟）如下是小华设计的“作 的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤 作法 推断
第一步 在 上任取一点C，以点C为圆心， 为半径作半圆，分别交射线 于点P，点Q，连接 ▲ ，理由是 ▲
第二步 过点C作 的垂线，交 于点D，交 于点E ， ③
第三步 作射线 射线 平分
射线 为所求作．
19．（2020九上·东阿期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．
20．（2020九上·宜春期中）如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
21．（2020九上·武汉月考）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若 = ，∠E＝70°，求∠ABC的度数.
22．（2020九上·南京月考）用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”.
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O.
求证：∠B＋∠D＝180°.
证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴（ ）.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是 ，
∴（ ）.
∴∠B＋∠ADC＝180°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证法2：
23．（2020九上·玉山期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，求∠C．
四、综合题
24．（2020九上·平山期中）如图①，将一块含30°角的三角板和一个量角器拼在一起，如图②是拼接示意图，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合且∠CAB=30°，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E．
（1）当旋转7.5秒时，连结BE，E点处量角器上的读数为 度；
（2）在（1）的条件下求证BE=CE；
（3）设旋转x秒后，E点处量角器上的读数为y度，写出y与x的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ，
由圆周角定理得： ，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”得∠BOC=2∠BAC可求解.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由直径所对的圆周角是直角易得∠B的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得 的度数 .
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故答案为：D.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠BDC的度数.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的外角，
∴ ，只有D满足题意．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】连接AC，求出，即可得出 的度数。
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CDB=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角定理证明∠ACB=90°，再利用圆周角定理求出∠CAB可得结论.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC=100°，∠ABC与∠AOC所对弧为同弧，
∴∠ABC= ∠AOC=50°，
∵∠ABC为△BCE的外角，
∴∠E=∠ABC-∠BCE=50°-20°=30°．
故答案为：C．
【分析】由同弧所对的圆周角的一半可得∠ABC的度数，再通过外角定理求解。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故答案为：B．
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求出∠BCD的度数。
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD、DE，
∵直径AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ CD＝BD，
∴AC=AB，
故选项A错误；
∴∠CAD=∠BAD，
∴DE=BD，，
∴
故选项B、C错误；
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴BC·DE=AB·CE，
∵DE=BD，
∴BC·BD=AB·CE.
故答案为：D.
【分析】连接AD、DE，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据线段垂直平分线的性质得AC=AB，即可判断A选项错误；
再根据等腰三角形的性质得出∠CAD=∠BAD，从而得出DE=BD，，得出，即可判断B、C选项错误；
证出△CDE∽△CAB，得出，再根据DE=BD，得出BC·BD=AB·CE，即可判断选项D正确.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用垂直的定义和圆周角定理求解即可。
11．【答案】52°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得答案.
12．【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，连接BD，则
AD为直径
故答案为40°
【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠D的度数；再利用圆周角定理可求出∠BAD的度数.
13．【答案】=
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，分别连接 、
∵ 恰好经过点 ， ，
∴
∵OD为与网格线重合的一条半径
∴
∴
∴
∴
故答案为：＝．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
14．【答案】57
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ，
∴∠ACD= ，
∴ =∠ACB-∠ACD=90°-33°=57°，
故答案是：57°．
【分析】根据圆周角定理及其推论，可得∠ACB=90°，∠ACD= ，进而即可求解．
15．【答案】54°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AD是⊙O的直径， ＝ ，若∠AOB＝36°，
∴∠AOB=∠COD=36°，
∴∠BOC=180°-36°-36°=108°，
∵∠BPC和∠BOC分别是 所对的圆周角和圆心角，
∴∠BPC= ∠BOC= ×108°=54°，
故答案为：54°
【分析】根据AD是⊙O的直径， ＝ 可得∠AOB=∠COD，根据平角的定义可得∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得答案.
16．【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵一条弧所对的圆心角为 80°，
∴这条弧所对的圆周角度数为40°；
故答案为：40.
【分析】根据同圆中同弧所对的圆心角和圆周角的关系即可求出结果.
17．【答案】证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ，
∴∠D＝∠A，
∴MA＝MD.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】欲证明AM＝DM，只要证明∠D＝∠A即可；
18．【答案】解：补全的图形如图1所示．
；90；
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：①∵OQ是直径
∴∠OPQ=90°
故答案为：90；
②故答案为：直径所对的圆周角是直角；
③∵CE⊥PQ
∴由垂径定理得： ．
故答案为：
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得到结论。
19．【答案】解：连接 ，
是 直径，
，
∵ ，
∴ ，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接 BC ，根据圆周角定理即可得到结论．
20．【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
21．【答案】解：连接DB.
∵∠E＝70°，
∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵ = ，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接DB由同弧所对的圆周角相等，得∠A＝∠E＝70°，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°﹣∠A＝20°，再由等弧所对的圆周角相等，得∠DBC＝∠DBA＝20°，进而求出∠ABC的度数.
22．【答案】解：证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是 ，
∴∠AEC＝∠B..
∴∠B＋∠ADC＝180°.
证法2：连接OA、OC
∵∠B、∠1所对的弧是 ，
∠D、∠2所对的弧是 ，
∴∠B＝ ∠1，∠D＝ ∠2
∵∠1＋∠2＝360°，
∴∠B＋∠D＝ (∠1＋∠2)＝ ×360°＝180°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角为90°及同弧所对的圆周角相等即可补全证明过程；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠B＝ ∠1，∠D＝ ∠2 ，继而根据周角的定义即可得出答案.
23．【答案】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOB=57°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】此题根据圆周角与圆心角的关系求解即可．
24．【答案】（1）30
（2）证明：∠ECB=90°-15°=75°，∠EBC=90°-30°+15°=75°，
∴∠ECB=∠EBC．
∴BE=CE；
（3）解：当旋转x秒后，∠ACE=2x°，根据圆周角性质可知∠ABE=∠ACE=2x°，
∵OB=OE，∴∠AOE=2∠ABE=4x°．即y=4x°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）由于 ，AB为斜边，所以此量角器所在圆是以AB中点O为圆心，AB为直径的圆，
连接OE，BE， ，
∵ 和 都是弧AE所对的圆周角，
∴ ，
∵OE=OB，
∴ ，
即E点处量角器的度数为 ；
【分析】（1）根据直角三角形的特性可得此量角器所在圆是以AB中点O为圆心，AB为直径的圆，根据圆周角定理转化旋转角 ，即可得解；；（2）证明 即可；（3）与（1）类似，可得∠ABE=∠ACE=2x°，即可求解；
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